книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

В данном случае разница между величиной предельной силы, вычисленной по балочной и комбинированной схемам, неболь­ шая, хотя комбинированная схема дает все-таки меньшую вели­ чину Рпр, поэтому эта предельная сила ближе подходит к истин­ ной несущей способности плиты. Бесконечно протяженная плита в данном случае дает преувеличенное значение несущей способ­ ности плиты. Следует иметь в виду, что для плиты, имеющей большую жесткость при тех же размерах, несущая способность определяется по балочной схеме; например, если а = 0 , то с0 — = 0,279 и/>б = 3,58 Мпл.

5.7. Трехслойная плита

Рассмотрим трехслойиую плиту, состоящую из двух плит разной жесткости, разделенных упругой прокладкой. Плита рас­ положена на упругом основании и нагружена сосредоточенной силой Р. Размеры плиты в плане будут достаточно большие для того, чтобы ее можно было считать бесконечно протяженной. Распределение сил в такой плите зависит от соотношения жест­ костей всех элементов, из которых образована плита. Изменение жесткости одного элемента, например упругого основания или упругой прокладки, вызывает перераспределение сил во всей си­ стеме. Это обстоятельство значительно усложняет расчет слои­ стой плиты, хотя для его выполнения можно применить прежние методы.

Для расчета в упругой стадии составим два дифференциаль­ ных уравнения равновесия для каждой плиты в отдельности:

В этих уравнениях: кц, ад2 — прогиб верхней и нижней плиты; Яі(х, У) — внешняя нагрузка на верхнюю плиту; Ці(х, у) — ре­ акция упругого основания; D\, D2 — жесткость верхней и ниж­ ней плиты; Dz — жесткость упругой прокладки, которая подчи­ няется гипотезе пропорциональности.

Если связи, размещенные между плитами, будут абсолютно жесткими, то аді = ад2 и, складывая оба уравнения, получим:

За предел упругости перейдет сначала верхняя плита, у ко­ торой толщина больше. При дальнейшем увеличении нагрузки, после того как в верхней плите образуется пластический шар­ нир и момент стабилизируется на величине УИ0 і, в нижней плите изгибающий момент будет быстро нарастать, так как М2= М —

111

—Моь После того как в обеих плитах образуются пластические шарниры, суммарный момент, воспринимаемый обеими плитами, будет равен: М0 = Ма1-\-М02. Значит, схема разрушения слоистой плиты в этом случае может быть принята такой же, как п для однородной плиты с образованием пластического конуса, по об­ разующим которого располагаются линейные пластические шар­ ниры, а в основании конуса возникает круговой пластический шарнир, в сечении которого имеется наибольший отрицательный момент. Величину предельной силы в этом случае получим по формуле

Рп = 4лЛ4пл -1- у - лг- (<7 макс — qr) + -у nr2qr.

Входящие в эту формулу величины вычисляются так:

Подсчитаем последние два члена в формуле для Р„:

у - яг2 (<7„акс — Яг) = у я-2,52 Рп (0,123 — 0,017) =

= 0,0552Рп-я = 0,173Рп;

+гпг% = Дя-2,5=.0,017РП= 0,111РП.

О о

После подстановки получим

р п = }_ 4р 2 8 4 Млл = 1,395 • 4яМпл = 1,395 - 4л (М0 1 + М02). (5.7)

Теперь Мпл вычисляется сложением пластических моментов обе­ их плит. Более сложный случай получим, если будем учитывать упругость прокладки, расположенной между плитами. Основные дифференциальные уравнения равновесия теперь необходимо ре­ шить совместно; для этого введем новое переменное z=Wi—w2, которое будет представлять деформацию прокладки. Затем пре­ образуем основные уравнения равновесия таким образом:

Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим:

Д4 (Ші _ од + ( у + у ) К — w2) =-■у Ьх (х, у) + у - q2{x, г/); (5.9)

112

Величина z имеет физический смысл и представляет собой ве­ личину обжатия упругой прокладки, размещенной между плита­ ми. При сосредоточенной силе, приложенной к верхней плите, <7 і(.ѵ, у) = 0 ; учитывая это, получим

Функция q2(x, у) представляет известную функцию, так как реакции упругого полупространства зависят от жесткости на из­ гиб слоистой плиты, т. е. от суммарной жесткости (DI+ D 2) обе­ их плит.

Поэтому процесс деформирования слоистой плиты в упругой стадии можно рассматривать состоящим из двух частей. Снача­ ла возникают прогибы и усилия в плите, имеющей несжимае­ мую прокладку, т. е. прогибы обеих плит будут одинаковыми, и внешний момент разделяется между плитами пропорционально их жесткостям. Затем из уравнения (5.11) определяется величи­ на z, т. е. деформация упругой прокладки. Из уравнения видно, что эта деформация зависит не только от соотношения жестко­ стей всех трех слоев, но также и от модуля деформации основа­ ния, так как закон изменения q2(x, у) зависит от модуля дефор­ мации основания.

Прогиб слоистой плиты при жестких связях следует рассмат­ ривать как среднюю величину между прогибами верхней и ниж­ ней плит, поэтому при упругих связях для получения истинного прогиба верхней плиты к среднему прогибу необходимо приба­ вить половину разности прогибов, т. е. z/2 , а если от среднего прогиба отнять z/2 , то получим прогиб нижней плиты.

Изгибающие моменты, возникающие в каждой отдельной плите, из которых составлено слоистое покрытие, можно рас­ сматривать как результат сложения двух моментов:

Мг = М ^ - + AMZ и Мо = М —: — ДМ

1 D D г

Из этих формул видно, что при упругих связях момент в верхней плите будет больше, чем в нижней, если даже их жесткости бу­ дут одинаковыми. В практических случаях жесткость верхней плиты обычно бывает больше, чем в нижней, поэтому в верхней плите будет раньше возникать первый пластический шарнир, чем в нижней. Можно было бы найти формулу для величины ДМг интегрированием соответствующего уравнения, но в этом нет особой надобности.

После того как образовался пластический шарнир под гру­ зом в верхней плите, за счет податливости прокладки начнется образование пластического конуса с кольцевым пластическим шарниром, расположенным на расстоянии гх от груза. Величина

г1 зависит от соотношения жесткостей верхней плиты и упругой прокладки и соответствует сечению, в котором отрицательный момент будет наибольшим по абсолютной величине. Используем, такую формулу для вычисления /ц:

Тогда величина внешней силы, при которой в верхней плите об­ разуется пластический конус, будет определяться так:

После подстановки этих величин получим

При этой величине внешней силы пластический конус образу­ ется только в верхней плите; нижняя плита будет находиться в упругой стадии, и поэтому несущая способность слоистой плиты еще не будет использована. Верхняя плита будет передавать из­ быток нагрузки на нижнюю плиту, в результате этого эпюра на­ грузки на нижнюю плиту будет состоять из двух частей; от си­ лы Рп эпюра будет приближаться к равномерно распределенной эпюре на площади радиуса гІГ а от приращения нагрузки — к эпюре от сосредоточенной силы. Благодаря этому кольцевой шарнир в нижней плите образуется на расстоянии г2 от точки приложения нагрузки, причем г2 будет больше гь Вторая часть нагрузки Р", воспринимаемая нижней плитой, будет подсчитана

аналогично, но величина г2 определится из формулы

114

Таким образом, полная несущая способность трехслойной пли­ ты будет:

Ри = Рп + Р'п = 4я (1 ,34Моі + 2,77М02) .

При наличии упругой прокладки несущая способность слоис­ той плиты выше, чем при жестком соединении плит. Например, если слоистая плита состоит из двух одинаковых плит, то М0 1 =

При упругой прокладке несущая способность плиты увеличи­ лась в 1,48 раза. Оценивая благоприятное влияние упругой про­ кладки между плитами, следует иметь в виду, что толщина ее должна быть достаточно большой для того, чтобы получилась полная приспособляемость конструкции; в противном случае ве­ личину внешней силы следует уменьшить.

Полученные формулы позволяют определить ту уменьшен­ ную толщину слоистой плиты с упругой прокладкой, при кото­ рой эта плита будет способна выдержать такую же внешнюю си­ лу, как и плита с жесткой прокладкой. Для этого надо прирав­ нять Рд.ш и Рп.у и из найденного таким путем уравнения найти

Мо *

искомую величину. Например, при Мй\—Мй 2 = ——была вычисле-

2

на внешняя предельная сила Рп.ж = 1,395-4яЛ4о. Теперь опреде­ лим, насколько можно уменьшить момент в нижней плите для того, чтобы воспринять ту же силу, но при наличии упругой про­ кладки и сохранив толщину верхней плиты. Уравнение будет со­ ставлено так:

4402 = М0 — 0.262AV

Это значит, что при упругой прокладке можно снизить толщи­

ну нижней плиты в |^ / ~ ~ ~ 1,38 раза или, если сохранить

толщину нижней плиты, можно соответственно снизить предел прочности материала, из которого сделана нижняя плита.

Для определения оптимального соотношения в толщинах сло­ истой плиты с упругой прокладкой можно составить график, как это указано в п. 1.5. В общем случае величина предельной силы будет определяться по формуле

Рп = АМ01+ ВМ02.

При данной величине Рп, изменяя А и В, которые зависят от соотношения жесткостей элементов, получим семейство прямых, которые образуют многоугольник на координатной плоскости /М0 1 —М02, как это показано на рис. 5.8 жирной линией. Полная толщина плиты равна сумме тол­ щин плит, а каждая из этих тол­ щин пропорциональна корню квадратному из момента, поэтому

іі = с Ѵ Ж і + в Ѵ м ^ .

Параметры С и D зависят от предела прочности материала, не­ которого сделана плита. Для дан­ ного случая это будут постоянные величины, поэтому для данного' значения /і получим кривую, ко­ торая связывает М0\ и М02. При изменении величины /г= /г1 -</і2 <

< /г3. .. получим семейство кривых, которые показаны на рис. 5.8 пунктиром.

Наименьшее значение толщины плиты получим, если найдем ту кривую h, которая касается многоугольника. В данном слу­ чае это будет кривая /і3. Хотя кривые hi и Іг2 соответствуют меньшему значению толщины плиты, но они расположены ле­ вее многоугольника, ограничивающего величину Рп, т. е. вели­ чина несущей способности плиты толщиной hi и Іг2 будет мень­ ше требуемой по условиям задачи.

Толщины hi и h5 соответствуют значению предельной несу­ щей способности, которое больше требуемого. Толщина /г3, по­ лученная из графика, представляет суммарную толщину сло­ истой плиты и отвечает вполне определенным -значениям пре­ дельных изгибающих моментов, которые должны быть воспри­ няты верхней и нижней плитами; их значение возьмем из рис. 5.8 для точки, в которой линия /г3 касается многоугольника. По этим моментам можно подобрать толщину верхней и нижней плиты. Толщины плит будут разные, так как в данном случае

Мо2<СМоі.

Изложенный способ, основанный на общих принципах про­ ектирования сложных систем наименьшего веса, позволяет оп­ ределить оптимальную толщину слоистой плиты, состоящей из двух плит, соединенных упругой прокладкой, которая передает нормальные напряжения и позволяет свободно скользить верх­

116

ней плите по нижней при деформировании плиты. Влияние ка­ сательных напряжений, возникающих в упругой прокладке, мо­ жно также учесть, но при этом задача значительно усложняет­ ся, а объем вычислений возрастает. Хотя касательные напря­ жения, возникающие в упругой прокладке, оказывают второ­ степенное влияние на распределение сил и определение несу­ щей способности, они существенных изменений в полученные результаты не вносят.

5.8. Нагрузка на краю плиты

Когда сосредоточенный груз располагается вблизи края до­ статочно протяженной или полубесконечной плиты, то образу­ ется характерный механизм разрушения плиты. В отличие от бесконечной плиты взамен кольцевого шарнира и полного пла­ стического конуса возникает половина конуса, основанием кото­ рого служит полуэллипс. Очертание кривой, по которой распо­ лагается пластический шарнир, соответствующий сечениям с от­ рицательными моментами, приближается в плане к полуэллип­ су, у которого размер вдоль края плиты вдвое больше попереч­ ного.

Линейные пластические шарниры, соответствующие образу­ ющим конуса, заполняют всю область, и работа пластических моментов в пределах всего конуса будет подсчитана как для бесконечной плиты. Теперь боковая поверхность пластической области будет почти в два раза меньше. Также уменьшится и работа пластических моментов в кольцевом шарнире, длина которого будет меньше, чем половина от полуокружности, по­ строенной на большом диаметре пластического конуса. Реакции упругого основания, которые совершают работу при деформи­

решение приближенно. Поэтому вдоль края плиты эпюру ре­ акций можно получить, выделяя из плиты полосу и рассматри­ вая ее как бесконечную балку. В направлении, перпендикуляр­ ном краю, выделенная полоса будет представлять собой полу­ бесконечную балку, нагруженную силой на конце. Из условий равенства прогибов для бесконечной и полубесконечной балок в точке приложения груза можно получить формулу для рас­ пределения внешней нагрузки между продольной и поперечной балкой. Для определения границ, через которые проходит коль­ цевой шарнир, можно использовать эпюру моментов, возника­ ющих в балках. Кольцевой шарнир образуется в том сечении, где возникает наибольший отрицательный момент.

Для этого используем данные, приведенные в табл. 6 .

При а — 1 балку можно рассматривать при расположении груза в середине пролета как бесконечно длинную и при распо­ ложении груза на краю как полубесконечную, тогда для строч-

117

кн а = 1 при грузе в точке 0 (середина пролета) получим гі = = 2с, при грузе же на краю (т. е. в точке 4) г2=1с, поэтому

Для величины г, и г2 можно принять формулу, использованную для бесконечной плиты в п. 5.1:

ны по образующим конуса.

Второй интеграл относится к работе пластических моментов в кольцевом шарнире. Последний интеграл учитывает работу реакций упругого полупространства. Можно было бы вычислять эти интегралы, применяя общее уравнение эллипса; для этого нужно сначала вычислить соответствующие производные. Так, например:

= Г 1 r 2 (r\ - r \ ) { r l COS2 Ѳ+ Г2 Sin Ѳ)-5/2 [r2 COS4 Ѳ-

— r\ sin4 Ѳ+ 2 {r\ — r\) sin2 Ѳcos2 Ѳ].

Эти выражения надо подставить под интеграл и вычислить его в пределах изменения центрального угла Ѳ от 0 до л.

118

Работа, совершаемая в линейных шарнирах, равна 1,25 я ЛіплТакое же выражение получим для работы моментов в кольце­ вом шарнире. Работу реакций упругого основания можно под­ считать, предполагая, что основание конуса пластичности явля­ ется окружностью, тогда получим

q(r — р) 2яар

Ф = І 2 F ^ макс — ^

здесь F будет представлять собой площадь основания конуса пластичности;

яг, г, = 0,5 яг2;

Теперь можно подсчитать величину предельной силы:

Полученное решение является приближенным, но оно пока­ зывает, что нагрузка, приложенная на краю плиты, значительно раньше вызывает разрушение плиты, чем нагрузка, приложен­ ная в центре плиты. Соотношение этих нагрузок зависит от же­ сткости плиты и основания. Для жестких плит разница в на­ грузках будет больше, чем для гибких плит. Если плита имеет конечные размеры, то необходимо также рассмотреть возмож­ ность разрушения плиты по комбинированной схеме, когда кро­ ме пластического конуса еще образуется линейный пластичес­ кий шарнир, соединяющий пластический конус с незагружен­ ной стороной плиты.

5.9. Сборные плиты

Сборные фундаментные плиты отличаются от монолитных тем, что они выполняются из отдельных плит меньшего разме­ ра. При проектировании сборных плит монолитную плиту раз­ резают на несколько частей. Устройством поперечного или про­ дольного шва прямоугольная плита может быть составлена из двух частей. Если сделать два взаимно перпендикулярных шва, то плита будет складываться из четырех частей.

Нагрузка чаще всего распределяется между отдельными сборными плитами, из которых сделан фундамент. В швах пли­

119