книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

М-* (А) = М-1 (к - 1) - М 1(к - 1) Нт (к) X

X[1 + Н (к) М-1 (А) Нт (А)]'1 Н (к) М"1 (к — 1).

Ксожалению, для более сложных задач, чем рассмот­ ренная нами, не удается получить решение в последо­ вательностной или даже непоследователыгостной форме

столь простым образом, как в данном случае. Например, если априорная дисперсия х конечна, оценка (непосле­ довательностная), дающая решение задачи сглаживания

и не может быть определена без предварительного нахож­

дения оценки V0 (kf |kf), в свою очередь зависящей от х (kf |kf). Возникающие здесь затруднения удается раз­ решить вычислительными методами, излагаемыми в сле­ дующих главах.

Ч

+0,5 2 V ;1(ft)[z(A )-H (A )x(A )]*

К= 1

при ограничениях

Канонические уравнения в соответствии с (3.3.21) — (3.3.30) запишутся в виде

£ (А + 1 1kt) = х (к |kf),

82 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ . 3

Эти уравнения должны быть решены при двухточечных граничных условиях

Обратимся теперь к формулировке задач идентифика­ ции с использованием метода максимума правдоподобия.

3.4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМУМА ПРАВДОПОДОБИЯ

В предыдущем изложении штрафных функций для задач идентификации предполагалось, что необходимо оценить (идентифицировать) параметры и состояние си­ стемы. Избавимся теперь от формального требования идентифицировать состояние системы. Таким образом, при идентификации по максимуму апостериорной вероят­

параметры (не включающие состояние системы), по отно­ шению к которым осуществляется максимизация. При идентификации по критерию максимума правдоподобия максимизируется p{ Z{ kf ) |0] или p [ Z { t f) |0] относи­ тельно 0. Если неизвестные параметры распределены рав­

но в предыдущем разделе, методы идентификации по максимуму правдоподобия и апостериорной вероятности эквивалентны. В этом разделе будут исследованы только оценки максимального правдоподобия для параметров системы (в том числе и для параметров априорных рас­ пределений). Если известны априорные значения пара-

метров распределений неизвестных параметров системы, их можно включать в штрафные функции, рассматрива­ емые в данном разделе. Однако подробно этот случай рас­ сматриваться не будет. Как и прежде, вначале исследуются дискретные системы. Затем результаты формулируются и для непрерывного случая. Для простоты рассмотрим сначала случай, когда помеха наблюдений не зависит от входного шума, а затем снимем это ограничение.

Рассмотрим нелинейную модель формирования и на­ блюдения сигнала (3.2.1), (3.2.2)

где а, b и с — векторы неизвестных параметров, которые необходимо идентифицировать. Кроме того, некоррели­ рованные гауссовские шумы объекта и наблюдений с ну­ левыми средними значениями могут иметь ковариацион­ ные матрицы, также подлежащие идентификации. Пусть символ 6обозначает все неизвестные константы, которые должны быть идентифицированы. Мы не будем в явной форме указывать зависимость ф, Г и h от неизвестных па­

к^кг

Поскольку по предположению в момент к0 наблюдения не производятся, то

84 ФУНКЦИЙ Ш ТРАФА В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ.

Плотности распределений в (3.4.3), вообще говоря, не гауссовские. Возможно, однако, получить «псевдобайесовскую» плотность, допуская, что условные плотности в (3.4.3) гауссовские, так что

При подобном псевдобайесовском допущении функция

который представляет новую информацию, вносимую на­ блюдением z (к). Часто удобнее минимизировать взятый с обратным знаком логарифм выражения (3.4.9), а не

Используя методы стохастического анализа Ито, можно показать, что по мере сгущения точек фиксации миними-

зация (3.4.11) или максимизация (3.4.9) становится бес­ смысленной операцией. Это связано с двумя факторами. Дисперсии шумов объекта и измерений в непрерывном случае бесконечны. Кроме того, плотность (3.4.9) беско­ нечномерна по переменной Z (tf) в непрерывном случае. При этом отсутствует возможность идентификации Vw или Vv, поскольку они бесконечны. Отказавшись от возможности оценки Vv, задачу идентификации можно переформулировать как задачу максимизации отношения правдоподобия

Если идентификация Vv не предусматривается, максими­ зация (3.4.16) по 0 эквивалентна максимизации (3.4.11)

3.4] КРИТЕРИЙ МАКСИМУМА ПРАВДОПОДОБИЯ 87

Линейная аппроксимация штрафной функции в этом

причем различные составляющие этого выражения опре­ деляются формулами (3.4.23) — (3.4.27). Таким образом, получен интересный и фундаментальный результат: для определения штрафной функции максимального правдо­ подобия необходимо знание решения задачи одношаговой экстраполяции х (к), т. е. оценки х (к |к — 1, 0), даже в том случае, если задача оценивания х (к) первоначально не ставилась. Для действительно эффективного исполь­ зования этой функции штрафа необходимо обладать алго­ ритмами определения х (к |к — 1, 0) и Vi (к |к — 1, 0)

по Z (к — 1).

Вообще говоря, алгоритмы оценивания, основанные на условном математическом ожидании, которые можно вывести для нелинейной модели формирования сигнала (3.4.1), бесконечномерны, и для получения реализуемых алгоритмов необходимо производить аппроксимацию. Один возможный способ аппроксимации заключается

88 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 3

в предыдущем разделе было получено «псевдобайесовское» приближение для отношения правдоподобия.

Для облегчения определения искомых алгоритмов оценивания следует использовать теоремы об условном среднем значении и дисперсии гауссовских случайных величин. Эти теоремы утверждают, что для гауссовских случайных величин я и J3 условное математическое ожи­ дание и условная дисперсия я относительно § определя­

вкоторых

Р« = § {а},

= Ш(х (к) |Z (к — 1), 0} + cov {х (к), z(k)\Z(k — 1), 0} х

X v a r 1{z (к) |Z ( к - 1), 0} [z (к) — $ {z(k)\Z(k — 1), 0}], (3.4.31)

так что оценка условного математического ожидания при­

var (х (к) |Z (к), 0} = var {х (к) |Z (к — 1), 0} —

— cov (х (к), z{k)\Z(k — 1), 0} var-1 (z (к) |Z (к — 1), 0} х

носкольку оценка условного среднего несмещенная. Таким образом, теорема об условной дисперсии приводит к при­ ближенному соотношению для дисперсии ошибки филь­ трации

Уравнения (3.4.32) и (3.4.36) выражают, следовательно, приближенные алгоритмы для дискретной нелинейной фильтрации методом условного среднего и для дисперсии

ееошибки.

Для использования алгоритмов необходимо определить

нелинейна, эти соотношения не могут быть найдены точно, так что возникает необходимость в дальнейших аппроксимациях. Порядком этих аппроксимаций опреде­ ляется окончательный вид алгоритмов фильтрации.

Линейное приближение для указанных выше ковари­ аций можно получить, заменяя <р и h линейными членами соответствующих рядов Тейлора в окрестности решений

*) Для получения аналогичного результата можно исполь-

!^ВрТД ? аппроксимацию нулевого порядка Г [х (к), Л] ==

— Г [х (к'1 в), А],

9 0 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ СГЛ. 3

для rV wr T в окрестности решения задачи фильтрации

х(А |0)

Г[х (А), A] Vw(A)rT[x(*),A]:

:г [х (А 10), A] Vw (к) Г [х (к 10), к] -f- [х (к) — х (к 10)] х

что позволяет нам оценить (приближенно) искомые кова­ риации. Эти оценки таковы:

cov (х (к), z (А) |Z (А — 1), 0} =

= cov {х {к |к — 1,0), h [х (к), А] |Z (А — 1), 0} ^

var {г (к) |Z (к — 1), 0} = var {h [х (к), А]|Z (А — 1), 0} +

Для завершения вывода уравнений этого фильтра первого порядка, основанного на методе условного математиче­ ского ожидания, осталось определить априорную дис­ персию ошибки. С помощью разложения в ряд легко по­ лучить, что

(3.4.37) в модель формирования сигнала (3.4.1) и взятием условного математического ожидания относительно Z (А)