книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

62 ФУН КЦИ И Ш ТРАФА В ЗАД АЧ АХ ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ . 3

Используя определение условной вероятности

можно записать

Р[X (&/)] = р [х (&,)' X (kf — 1)] р [х (kf — 1) |X (kf — 2)]...

•••Р [х (hi) |х (&0)] р [х (&„)]. (3.2.18)

Так как w (к) — гауссовская марковская последователь­ ность, то последовательность х (к) также является мар­ ковской и

Р[х(& /)|Х(/с,— 1)] = p[x(kf)\x(kf — 1)]. (3.2.19)

Следовательно, р [Х(/с/)1 образована из гауссовских ком­ понент

ft/

Р [X (kf)] = р [х (А0)] П Р Iх (к) Iх (к — 4)1 (3.2.20) /С—

(где р [х (к) |х (к — 1)] — гауссовские плотности) и, со­ гласно (3.2.1), имеет среднее значение <р [х (к — 1), к — 1] и ковариационную матрицу

Г [х (к - 1), к — 1] Vw (к - 1) Гт [х (к — 1), к - 11.

р [Z (&/)] не зависит от х (к), и Z (к/) является известной величиной в процессе максимизации, который мы должны провести. Поэтому р [Z (к/)] можно рассматривать по от­ ношению к этой максимизации как нормировочную кон­ станту. После простых преобразований (3.2.15) в обозна­ чениях (3.2.16) и (3.2.20) можно переписать как

Р [X (kf) |Z (kf)] =

*/

kf

—2 l!x (*) — cp [ж(A: — 1),/с— l]||n-i(^D —

ft=fco+l

- 4 - и * 0) + м & о ) г у-х }, (3-2-21)

при ограничении, задаваемом дифференциальным урав­ нением (3.2.5). Соотношение (3.2.24) задает штрафную функцию метода наименьших квадратов, которая при правильном выборе априорных дисперсий и выполнении предположений о гауссовости х (к0), v (к) и w (к) эквива­ лентна штрафной функции максимума апостериорной вероятности.

Форма уравнения (3.2.23) такова, что напрашивается применение дискретного принципа максимума или дис­ кретных уравнений Эйлера — Лагранжа (Сейдж [116]). Гамильтониан задается формулой

Н [х (к), w (к), % (к + 1), А] =

*) Это справедливо, если Г не зависит от х и является само по себе полезным результатом.

G4 ФУНКЦИЙ Ш ТРАФА В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 3

в которой

д

X [x(ft), w(ft), ft -f 1]

= h {ф [х (к), А:] + Г [х (к), ft] w (к), к + 1} =

= h[x(ft + l), * + 1]. (3.2.26)

Канонические уравнения и граничные условия имеют вид

Этими каноническими уравнениями и соответствующими граничными условиями определяется нелинейная двух­ точечная краевая задача (ДТКЗ), решением которой яв­ ляется искомая оценка при фиксированном интервале сглаживания.

Довольно трудоемкие вычисления позволяют получить следующую развернутую запись канонических уравнений:

использовании процедуры инвариантного погружения чле-

ны степени выше первой по X исчезают. Поэтому при ре­ шении методом инвариантного погружения можно поль­ зоваться эквивалентным выражением

dq>T [х (к|ftp, ft]

(3.2.33)

дх (ft |fty)

Эти уравнения необходимо решить при двухточечных граничных условиях

Двухточечную краевую задачу для непрерывного слу­ чая можно получить, устремляя к бесконечности плот­ ность точек фиксации в уравнениях (3.2.30) и (3.2.31) или применяя непрерывный вариант принципа максимума (Сейдж, [116]) для минимизации функции штрафа (3.2.24) при ограничении, задаваемом дифференциальным урав­ нением (3.2.5). При использовании последнего подхода вводится гамильтониан

H[x(t), w(/), X(t), t] =

= 4 иz (о - ь [x (о, t] rv;X(()+ 4 - иw (o fv-i (0+

4- %T (t) {f [x (t), t] + G [x (t), t] w (t)} (3.2.35)

и выписываются канонические уравнения

ЭЯ = 0.

dvt

Проводя необходимые преобразования, получим двухто­ чечную краевую задачу

3 Э. П. Сейдж, Дж. Л, Мелса

3.2] МАКСИМУМ АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ G7

легко убедиться, что такая задача идентификации пол­ ностью укладывается в рамки модели (3.2.5) и (3.2.6), Для того чтобы, решая ДТКЗ (3.2.37) — (3.2.39), полу­ чить решение задачи идентификации по критерию мак­ симума апостериорной вероятности, необходимо, чтобы неизвестные случайные параметры обладали гауссовской плотностью распределения с известными средними зна­ чениями и дисперсиями. При невыполнении этих условий решение ДТКЗ тем не менее гарантирует получение оценки по методу наименьших квадратов с функцией штра­ фа (3.2.24).

Четыре вопроса, представляющие интерес при иден­ тификации, оказались не охваченными моделью (3.2.40) — (3.2.42):

1) задачи с неизвестной дисперсией ошибки измерений, 2) задачи, в которых хотя бы одна из помех (входной шум или шум измерений) отличается от белого шума,

3)задачи оценки зависящих от времени параметров и

4)задачи с коррелированными шумами на входе и выходе объекта.

Штрафные функции двух следующих разделов позво­ лят нам решать задачи идентификации с неизвестными дис­ персиями шума на выходе (т. е. ошибок измерений). За­ дачи с отличным от белого («цветным») шумом на входе Удается решить, расширяя вектор состояния таким обра­ зом, чтобы входной шум для расширенного вектора со­ стояния был белым. В случае «цветного» шума измерений можно применить многократное дифференцирование век­ тора наблюдений z с тем, чтобы в результате в продиффе­ ренцированном векторе наблюдений присутствовал уже белый шум. У Сейджа и Мелсы [127] можно найти под­ робное обсуждение задач с «цветными» входными и выход­ ными шумами.

Задачи с переменными параметрами можно исследо­ вать, представляя неизвестный параметр как случайный процесс, порожденный марковской моделью

где 1] (t) — гауссовский белый шум с известными средним значением и интенсивностью, а а(() — неизвестный пере­ менный параметр. Для осуществления идентификации

3*