книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

Если субспектры хорошо разделены, как здесь показано, то каждый из них можно выделить с помощью соответст­ вующих полосовых фильтров. Выходные сигналы этих фильтров можно затем демодулировать методами, обсуж­ давшимися выше в связи с определением и

Рис. 2.4.2. Многочастотный спектр.

Можно вывести критерий, определяющий условия, при которых удается успешно провести измерения векто­ ров частотных преобразований (в предположении, что шу­ мы отсутствуют и фильтры идеальны). Перепишем (2.4.38) в *виде

i= l

обозначая звездочкой комплексно сопряженные величины и применим к обеим частям последнего равенства преобра­ зование Фурье

<2

У1(t o , 7» = 3 a ii'2 (г ( t o , i (м- — ®4)] + г [— t o , / ( ц + C0i)]}. i=l

(2.4.40)

Здесь Г означает преобразование Фурье от у. Если суб­ спектры не пересекаются, слагаемые в этом равенстве раз­ делены, откуда следует, что скалярное произведение

для всех г = 1,2, ...,? . Можно показать, что при выполне­ нии этого условия не только каждый субспектр, формиру-

42 КЛАССИЧЕСКИЕ М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ f [ГЛ . 2*

ющийся около частоты сог, может быть отделен от других с помощыо полосовых фильтров, но и выходной сигнал

Пример 2.4.1. Рассмотрим задачу идентификации си­ стемы, показанной на рис. 2.4.3. Предполагается, что на вход подается только тестовый сигнал и в стационарной

Рис. 2.4.3. Нестационарная динамическая система второго порядка.

части системы закончились переходные процессы. Струк­ тура системы подсказывает выбор такого пробного воз­ действия иг, чтобы щ = cos at. Тогда нестационарная часть системы может быть идентифицирована так, как буд­ то только она и исследуется, — не нужно вносить никаких изменений в изложенную выше теорию. Нетрудно пока­ зать, что правильней всет'о выбрать их = 2 cos coi —

— со sin <j)t. Образовав матрицу G и обратив ее, получим

■fm '

ь (t) _ -fnR— (^I1/nI).

Величины hi, /r и fi подлежат измерению обсуждав­ шимися выше методами. Реализация рассмотренной схе­ мы идентификации показана на рис. 2.4.4.

Проблема шума в этой схеме идентификации представ­ ляет определенный интерес и заслуживает краткого об­ суждения. Желательно достижение двух основных ре­ зультатов: минимизации влияния шума, возникающего на входе, и уменьшения влияния шума на оценки у, по­ лучаемые в условиях, когда не все компоненты х молено измерять непосредственно.

Шум на входе системы часто может быть известным уп­ равляющим воздействием, которое является «шумом»

постольку, поскольку рассматривается данный метод иден­ тификации. В отдельных случаях удается увеличить амп­ литуду тестового сигнала и (или) выбрать его максималь­ ную частоту значительно превосходящей частоту среза си­ стемы. При попытках использовать подобные «лекарства» следует соблюдать большую осторожность ввиду очевид­ ных отрицательных эффектов.

Более совершенный метод ослабления влияния вход­ ного шума основан на использовании следящей модели ис­ ходной системы, как показано на рис. 2.4.5. В этой схе­ ме уничтожения шума следящая модель настраивается как можно ближе к исследуемой системе. В этих условиях на вход вычислительной машины, производящей идентифи­ кацию, поступает реакция системы только на тестовый сигнал. Таким образом, мы получим разновидность мето­ да идентификации с эталонной моделью, обсуждаемого в разделе 2.5.

Итак, мы рассмотрели схему идентификации линей­ ных нестационарных динамических объектов. Этот метод представляется обещающим при использовании для иден­ тификации в реальном масштабе времени и особенно удачным для идентификации вне контура регулирования, когда моделирование физически нереализуемых фильтров позволяет достичь показателей идентификации, прибли­ жающихся к теоретическому максимуму.

Был предложен критерий выбора частот тестовых сиг­ налов, который можно использовать для оценки правдо­ подобности экспериментальных данных, полученных в от­ дельном конкретном процессе идентификации.

2.5. ОБУЧАЮЩИЕСЯ МОДЕЛИ

Одним из идейно наиболее простых и в то же время на­ иболее гибких методов идентификации является подход, называемый обычно методом обучающихся моделей или идентификацией с эталонной моделью. Основную идею этого подхода иллюстрирует рис. 2.5.1. Известный вход­ ной сигнал (или класс входных сигналов) подается на вхо­ ды исследуемой системы и модели, предназначенной для отслеживания неизвестных параметров системы. Разность двух выходных сигналов используется для настройки мо­ дели, и затем процедура повторяется. Обычно модель име-

2.5] ОБУЧАЮ Щ ИЕСЯ МОДЕЛИ 45

от фиксированную структуру, и настройке подвергается лишь конечное число параметров.

Этот процесс можно использовать и для идентификации непосредственно в контуре управления, разделяя входной сигнал на куски ограниченной длины и проводя собственно

1)как выбирать структуру модели,

2)каким должен быть масштаб времени,

3)критерий оценки ошибок,

4)начальные условия,

5)стратегия подстраивания модели.

Рассмотрим все эти вопросы несколько подробнее. Проблема выбора модели — неотъемлемая часть почти

любого метода идентификации. Во многих практических задачах имеется значительная информация о физических процессах, протекающих в исследуемой системе, и основ­ ная цель состоит в определении конкретных значений па­ раметров. Если мы ничего не знаем о структуре системы, нам остается наугад выбрать несколько вариантов струк­ туры модели и посмотреть, не может ли один из них до­ статочно адекватно отражать наблюдаемое поведение ис­

46 КЛАССИЧЕСКИЕ М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 2

следуемой системы. Конечно, первая ситуация предпочти­ тельнее, так как при этом мы можем «чувствовать» диапа­ зон возможных значений параметров и сразу поймем, не лишен ли полученный ответ физического смысла. Встре­ чаются также и ситуации, когда намеренно вводится в

рассмотрение модель, заведомо отличающаяся от истин­ ного описания системы. С таким случаем сталкиваются, например, при поиске наилучшей линейной модели сис­ темы, характеристики которой на самом деле оказались нелинейными. Линейная модель может понадобиться на некоторых этапах анализа или синтеза системы.

Использование записей входных и выходных реализа­ ций предоставляет возможность значительного ускоре­ ния модельного времени, так что процедура выбора зна­ чений параметров может быть завершена намного быстрее. Идентификация с эталонной моделью идеально приспособ­ лена для использования гибридной вычислительной тех­ ники, и в этом случае изменение масштаба времени не представляет затруднений. Разумеется, при моделирова­ нии на цифровых машинах масштабирование времени бес­ смысленно, так как в этом случае обычно нет никаких «часов истинного времени».

Поскольку оптимизация обучающихся моделей почти всегда осуществляется некоторой поисковой процедурой (в противоположность аналитическим методам), имеется значительное число критериев оценки погрешностей, каждый из которых можно использовать без существен­ ных различий в сложности вычислений. Среди возможных критериев — интеграл от квадрата ошибки, интеграл от абсолютной величины ошибки, различные варианты этих критериев с отличными от константы весовыми функция­ ми, а также средневзвешенные критерии более высокого порядка. Можно использовать минимаксный критерий, когда выбором параметров минимизируется максимальное значение ошибки. Вероятно, чаще всего используется критерий среднеквадратической ошибки, потому что он обычно приводит к более гладким функциям ошибок и, следовательно, к быстрой сходимости.

Если процесс идентификации основывается на ограни­ ченных во времени реализациях сигналов, необходимо вы­ брать начальные условия для модели. По возможности все измерения на реальной системе следует проводить при

48 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОД i..7 ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ . 2

Эти функции получаются из полиномов Лагерра умноже­ нием на экспоненту, так что для многочлена Лагерра

соответствующая п-я функция Лагерра определяется как

Функции gn (i) ортогональны при всех t ЕЕ [0, оо]. Прош­ лые значения входного сигнала можно представить рядом

Ясно, что необходимые нам коэффициенты Лагерра мож­ но получить, пропуская х (t) через цепочку линейных ди­ намических звеньев. Рассмотрим генерацию коэффициен­ тов Лагерра с помощью линейной системы с передаточной функцией, являющейся преобразованием Лапласа уравне­

ния (2.6.1)

1 -1П-1

Эта система показана на рис. 2.6.1. Для полного исполь­ зования всех выгод разложения входного сигнала в ряд по функциям Лагерра, в излагаемой теории предполага­ ется, что для возбуждения системы на вход подается гаус­ совский белый шум. Можно показать, что при таком выбо­ ре входного сигнала функции Лагерра оказываются некор­ релированными гауссовскими случайными процессами с равными дисперсиями. Поскольку полиномы Эрмита ор­ тогональны при всех t Е= I— оо, оо], естественно восполь­ зоваться разложением оператора системы по функциям Эрмита. Для л-го полинома Эрмита т)„ (и) Винер определил (л 1)-ю функцию Эрмита как

Винер показал, что формулы перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу можно записать в терминах функций Эрмита с помощью ряда

ОО ОО ОО

Рис. 2.6.1. Генерация коэффициентов Лагерра с помощью линейной системы.

функций Н п (и) и усредняя по t Е [— оо, оо]. Однако, благодаря выбору входного сигнала и формы разложения, необходимое усреднение можно осуществить путем опре­ деления корреляционной функции выхода системы и по­ линомов Эрмита. Например, можно показать, что

т

Это уравнение резюмирует винеровскую эксперимен­ тальную теорию нелинейных систем. На рис. 2.6.2 пред­ ставлена схема вычислений, необходимых для реализа­ ции этого метода. Несмотря на кажущуюся простоту урав­ нений (2.6.8), приведенное выражение предполагает вы­ полнение, вообще говоря, бесконечного числа операций. Для практического использования винеровской теории необходимо обрезать все операции, связанные с предель­ ными переходами, как по отношению к продолжительности измерений, так и по отношению к числу членов в разло­ жении и (<). Анализ погрешностей, связанных с подоб­ ным усечением, был бы исключительно сложным. Кроме

того, дополнительные трудности связаны с особенностью описанной процедуры, неосуществимой в режиме нормаль­ ного функционирования, поскольку в течение длительного

Рис. 2.6.2. Схема для оценки коэффициентов Винера.

времени система должна подвергаться воздействию спе­ циальных тестовых сигналов. Далее, мы не рассматрива­ ем нестационарные и неустойчивые системы. Наконец, возникает необходимость перехода от коэффициентов Винера к параметрам системы дифференциальных урав­ нений, что часто оказывается непростой задачей. В цити­ руемых нами в библиографии работах можно найти много дополнительных деталей этого метода идентификации.

2.7.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вэтой главе был исследован ряд методов идентифика­ ции, которые в прошлом использовались весьма эффектив­ но. Рассмотрены различные процедуры: от простых чис­ ленных алгоритмов решения уравнения свертки в разделе

2.2до более сложной методики изучения реакции на си­ нусоидальный входной сигнал для линейных нестационар­

ных систем. Остальные главы книги посвящены исследо­ ванию так называемых современных подходов к задачам идентификации. Прежде чем заняться этим мы, однако, должны определить функции штрафа для задач идентифи­ кации, что и составляет содержание следующей главы.