книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

Удобно определить вектор г (t) — В (t)u (^.представляю­ щий свободные члены рассматриваемой системы

х (t) = А (t) х (t) + В (<) u (t).

Можно показать, что для вектора состояния справедливо выражение

являющееся обобщением известного матричного соотно­ шения для стационарных систем.

Важным свойством матрицы характеристик реакции системы на показательное возмущение Ф (t, /со) является то, что она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, решить которое проще, чем интегральное уравнение для передаточной функции системы. Кроме то­ го, она позволяет разработать перспективный подход к задаче идентификации нестационарных линейных объек­ тов. Можно показать, что эта матрица должна удовлетво­ рять линейному матричному дифференциальному урав­ нению

ф (*» Щ + I/®1 — A (t)) Ф (<, /со) = I, (2.4.5)

в котором /со рассматривается как фиксированный пара­ метр. Последнее уравнение представляет интерпретацию в терминах состояния уравнения Заде (Заде [149]) для зави­ сящих от времени частотных преобразований. Для стацио­ нарной системы

и, как уже указывалось выше,

Ф(£, /со) = [/col — А]-1.

Приведем теперь схему идентификации нестационар­ ных линейных систем, основанную на этом зависящем от времени преобразовании Заде. Воспользуемся тем фактом, что это преобразование удовлетворяет обыкновенному ли­ нейному дифференциальному уравнению, тесно связан­

82 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1ГЛ. 2

ному с уравнением, описывающим динамику физической системы. Если рассматриваемое преобразование удается измерить, его можно подставить в это уравнение и опре­ делить его коэффициенты. С помощью алгебраических опе­ раций над этими коэффициентами можно получить выра­ жение характеристической матрицы дифференциального уравнения, описывающего неизвестную систему. Перио­ дическое повторение этой процедуры позволяет выявить изменения, происходящие в системе с течением времени (Сейдж и Чоат [119]).

Для математической формулировки задачи рассмотрим

Здесь х — /г-мерный вектор состояния, a z— скалярный выход, определяемый уравнением (2.4.8) через известные матрицы С и D. Предполагается, что по крайней мере пер­ вая компонента хг вектора х может быть определена одно­ временно с наблюдением *. m-мерный вектор входа и по­ лучается из скалярного входа и в соответствии с уравне­ нием

или ’могут быть приведены к такому виду невырожденным линейным преобразованием. Таким образом, задача иден­ тификации, сформулированная в терминах уравнения

Эта формула дает возможность осуществить идентифика­ цию системы, если G и v удается измерить в результате наблюдений за системой. Рассмотрим теперь подробнее процесс измерений.

При использовании уравнения (2.4.31) для идентифи­ кации системы необходимо располагать способами опреде­ ления h (/со,-, t) и f n (/сог, t), i = 1 ,2 , ..., q. По существу, предлагаемый метод заключается в возмущении системы тестовыми сигналами и извлечении необходимой информа­ ции из отклика системы. Выбор вида пробных воздействий основывается на уравнении (2.4.20), из которого следует простая связь между h (/со, t) и реакцией системы на вход­ ной сигнал их = е;ш(. Поскольку последний физически нереализуем, выбирается близкий физически реализуемый вид входного сигнала пх = cos <s>t. Обозначая отклик на этот сигнал через “ф(/со, t) и замечая, что реальная сис­ тема описывается вещественными коэффициентами, полу­ чим, что

ф (/со, f) = Re {£ (усо, t)} = hR(/co, t) cos соt — 1ц (/со, t) sin соt. (2.4.32)

Используя этот результат и определение (2.4.26), видим, что

рф (/со, t) = fR,(/co, t) cos соt — fj (/со, t) sin coi. (2.4.33)

Эти два соотношения показывают, что задача осуществле­ ния измерений сводится к демодуляции ф и рф. К счастью, нет необходимости исследовать эти уравнения отдельно, так как их можно объединить в одном соотношении. Для этого введем (п -f- 1)-мерный вектор

Компонентами вектора у являются подлежащие измере­ нию величины. Обозначая расширенный вектор состоя­ ния системы, отвечающий входу их — cos соt, через ф1 (/со, t), получим

ф1 (/со, t) = Yr(/co, t) cos соt — у\ (/со, t) sin co£, (2.4.35)

и задача сведена к демодуляции функции г])1 (/со, t). Ниже мы детально рассмотрим метод определения yr- Затем бу­ дут оговорены те незначительные изменения, которые не­ обходимо внести для определения Yj.

Первый шаг при определении Yr заключается в умно­ жении ф1 на cos at. В результате получается (я -f- 1)- мерный вектор, обозначаемый далее через р (/со, t). Из (2.4.35) следует, что

р = ф1 cos юt = 7 / ( yr + Yr cos 2oof — Yi sin 2cof). (2.4.36)

Поскольку желательно провести анализ р (/со, t) в частот­ ной области, удобно ввести преобразование Фурье этого вектора Р (/со, /‘pi), где р означает частотный параметр преобразования. Трудности графического изображения вектор-функции Р заставляют обратиться к ее скалярной характеристике, которая должна быть пропорциональна «длине» Р. Отсюда сразу следует выбор в качестве такой характеристики нормы

||Р[| = (P+P)v%

где значком «-)-» обозначен сопряженный вектор. Вначале рассмотрим случай стационарной системы,

для которого очевидно, что у не зависит от времени, т. е. Y (/со, < ) = 7 О®)- По этой причине спектр р (/со, f) диск­ ретный и состоит из трех импульсов. Их амплитуды рав­

спектр показан на рис. 2.4. 1, а. Очевидно, что для изме­ рения yR достаточно просто пропустить р через низкочас­ тотный фильтр, значительно ослабляющий сигналы с ча­ стотой р = 2со. Можно извлечь дополнительные преиму­ щества из того факта, что выходной сигнал фильтра не меняется. Следовательно, его можно усреднить для даль­ нейшего подавления составляющих с р = + 2со и любого содержащегося в сигнале шума (с нулевым средним зна­ чением).

Перейдем теперь к случаю медленно меняющейся си­ стемы. Во избежание недоразумений с употреблением слов «медленные изменения» предлагается следующее оп­ ределение. Медленно изменяющейся называется неста­ ционарная система, у которой расширенный вектор зави­

превосходящем период наиболее низкочастотной гармони­ ки собственных движений^системы, «замороженной» при

Рис. 2.4.1. Частотные спектры для задачи идентификации.

В данном случае анализ спектра обнаруживает появле­ ние непрерывных компонент. Эти компоненты, называе­ мые в дальнейшем субспектрами, компактно группируют­ ся вокруг тех частот, которым соответствовали дискрет­ ные компоненты спектра в стационарном случае. Суб­

с помощью нормы не позволяет различать преобразования Фурье, отличающиеся только по фазе.) Типичный спектр для случая медленных изменений показан на рис. 2.4.16. При хорошо разделенных компонентах спектра Yr м о ж н о выделить из Y с помощью низкочастотного фильтра, подоб­ но тому как это делалось для стационарных систем. Одна­ ко в этом случае к фильтру предъявляются более жесткие требования. Пренебрегая шумом, необходимо, чтобы иде­ альный фильтр имел постоянную амплитудную характе­ ристику и постоянный фазовый сдвиг во всем диапазоне частот субспектра, порожденного Yr>и нулевой отклик на всех других частотах. Эти условия определяют идеальный полосовой фильтр, который, как следует ожидать, физи­ чески неосуществим (при реалистичных требованиях к за­ тратам времени). Используемый реализуемый фильтр сле­ дует выбирать так, чтобы он приближался к указанным ха­

2ЗД| ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦ ИОН АРН Ы Х ОБЪЕКТОВ! 3&

рактеристикам в диапазоне частот, где |Р| не слишком мала.

При наличии шума физически осуществимая аппрок­ симация идеального полосового фильтра может уже не дать удовлетворительных результатов. (Шум в общем случае содержит, кроме случайной компоненты, управ­ ляющее воздействие, приложенное ко входу системы на­ ряду с тестовым сигналом.) В данном случае оптимальным будет такой фильтр, который наиболее эффективно подав­ ляет помехи и дает наилучшую оценку уд. В идеале кри­ терий, определяющий наилучшую оценку, должен при­ нимать во внимание (2.4.31). Иными словами, первооче­ редной интерес представляет ошибка в определении X.

Даже когда шумом можно пренебречь, в измерениях Yr, вообще говоря, будут присутствовать ошибки. Частич­ но их происхождение обязано тому, что спектр у редко бывает в строгом смысле ограниченным, и, следовательно, происходит некоторое перекрывание «хвостов» субспект­ ров. В результате на выходе фильтра появляется аномаль­ ная компонента. Другой источник искажений порождает­ ся неидеальностыо характеристик фильтра, который мо­ жет применяться при осуществлении идентификации в реальном масштабе времени. Оба эти эффекта можно су­ щественно ослабить при правильном проектировании схемы идентификации, если система меняется достаточно медленно.

Наконец, исследуем случай, когда система меняется быстро. Спектр в этом случае отличается от спектра в слу­ чае медленных изменений в первую очередь тем, что суб­ спектры перестают быть узкими. Теперь они размазаны в широком диапазоне частот, как показано на рис. 2.4.1 в. В такой ситуации разделить их с помощью какого-либо фильтра невозможно. Единственный выход — увеличи­ вать частоту тестовых воздействий до тех пор, пока суб­ спектры не окажутся разнесенными настолько далеко, что­ бы субспектр yR стал выделенным. Такое оказавшееся возможным в данном случае улучшение служит лишней иллюстрацией хорошо известного принципа, что высокая несущая частота позволяет передать более значительный объем информации, чем низкая, если полоса частот, кото­ рой мы располагаем для передачи этой информации, со­ ставляет фиксированную долю несущей частоты.