книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

22 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1ГЛ. 2

Здесь TV-вектор к (гаА) определяется как

к (гаА) = V [(га — 1) А] ст (пА) {с (гаА) V [(га — 1) А] с г (гаА) -\-

Применение этого алгоритма можно начать с определения h (t |N) из (2.2.9) по первым N наблюдениям и затем ис­ пользовать рекуррентное соотношение (2.2.21) по мере накопления новой информации. При подобном последова­ тельном подходе требуется обращение лишь скалярных величин.

Пример 2.2.2. Применим этот рекуррентный алгоритм к задаче идентификации из примера 2.2.1. При этом мы с малой ошибкой дюжем считать, что h (t) — 0 для t О 4. Воспользуемся снова входным сигналом в виде функции

причем компоненты векторного коэффициента усиления определяются формулой

Отметим, что этот метод требует значительного объема вы­ числений, так как необходимо примерно 40 х 40 = 1600

2.3] КОРРЕЛЯЦИ ОННЫ Е МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 23

сложений на каждом шаге. Применение алгоритма сле­

дует начинать с определения h (4 |40) с помощью уравне­ ний (2.2.14) и (2.2.15).

При выводе алгоритмов численного решения уравне­ ния свертки для систем более высокого порядка обычно приходится сталкиваться с проблемами численного ана­ лиза, лежащими за пределами нашего рассмотрения. За­ интересованного читателя мы отсылаем к многочисленным источникам, приведенным в библиографическом указате­ ле, где эти вопросы детально исследованы. Многие из воз­ никающих здесь вычислительных проблем могут быть ре­ шены применением быстрого преобразования Фурье.

2.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Часто употребляемый метод идентификации динамики линейной системы основан на использовании белого шума в качестве входного сигнала и применении корреляцион­ ных методов. Этому подходу присущ ряд достоинств:

1) идентификацию можно проводить независимо от записей реализаций сигналов, получаемых в процессе нормального функционирования системы;

2) вычисление корреляционных функций на достаточ­ но длинном временном интервале позволяет снизить амп­ литуду пробного воздействия настолько, чтобы объект не испытывал существенных возмущений;

3) не требуется априорных сведений об идентифициру емой системе;

К сожалению, ряд серьезных недостатков ограничива­ ет применимость этого метода. Среди них:

1) решение задачи часто требует слишком большого времени;

2)использование белого шума вызывает необходимость

вдополнительной аппаратуре и средствах программиро­ вания;

3)метод применим лишь к линейным системам, а фак­

тически — лишь к линейным системам с медленно меняю­ щимися характеристиками.

Основную задачу идентификации, которую мы будем исследовать, иллюстрирует рис. 2.3.1. Для индентификации высокочастотной составляющей h (t) необходимо, что­ бы W (0 был широкополосным сигналом, и определение

h(t) с нулевой ошибкой требует, вообще говоря, бесконеч­ ной полосы сигнала w (t). Практически почти всегда уда­ ется подобрать пробное воздействие, спектр которого зна­ чительно шире полосы пропускания системы. Поэтому мы

ье будем рассматривать ошибки, возникающие из-за огра­ ниченности спектра'-источника входного шума, хотя сделать"это совсем нетрудно. Наблюдению доступен только г (г) —’ искаженный шумом вариант выходного сигнала

■(t), а не сам у {t).

vft)

Рис.. 2.3.2. Коррелятор в задаче идентификации.

Блок-схема корреляционного метода идентификации приведена на рис. 2.3.2. Предполагается, что система функционирует достаточно длительное время, так что до­ стигнуто стационарное состояние. В то же время влияние нормального функционирования системы на процесс иден­ тификации не рассматривается. Шумы w (t) и v (t) пред­ полагаются эргодическими гауссовскими с нулевыми сред­

ними значениями. Как станет ясно впоследствии, предполо­ жение о равенстве нулю математических ожиданий шумов очень существенно, и нужно внимательно следить за обеспечением равенства средних значений нулю 1(если они отличны от нуля, но известны, их влияние может быть уст­ ранено путем центрирования случайных процессов). Ус­ редненное по времени значение выхода коррелятора есть

t

xa(t) = ^ x ( k ) d X , (2.3.1)

о

следуют сразу из рис. 2.3.1 и 2.3.2.

Как видно из (2.3.1) и (2.3.2), математическое ожидание выхода коррелятора с учетом эргодичности и определения

Применяя преобразование Фурье, приходим к соотноше­ нию для взаимной спектральной плотности *)

*) Авторы употребляют одинаковые обозначения (изменяя только аргумент) для корреляционной функции и соответствующей спектральной плотности, что не должно вводить читателя в заблуж­ дение. (Ирим.перев.)

26 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1ГЛ. 2

Это соотношение является точным, если w(t) — белый шум, так что, обозначив через 6п дельта-функцию Дирака, мож­ но записать

Таким образом достигается полная идентификация систе­ мы, если использовать N параллельных корреляторов, позволяющих измерять

Отметим, что до сих пор никак не использовалось пред­ положение о гауссовости сигналов, так что в качестве ис­ точников пробных сигналов можно было бы применять и негауссовские источники. Однако анализ погрешностей, к которому мы теперь переходим, существенно исполь­ зует допущение о гауссовости. Для определения статисти­ ческих характеристик ошибки идентификации удобно вы­ числить корреляционную функцию выходного сигнала мультипликатора:

(т) = % {х (о X (t + г)} = $ {z (t) Z(t + r) w ( t ~ т) X

X W (t — x + т) = Щ{v (l) v (t + y)} $ {w(t — x)w(t—t + y)} +

Воспользуемся свойствами момента четвертого порядка гауссовской случайной величины (Сейдж и Мелса [127]). Именно, если совместное распределение ах, а3 и а4 гаус­ совское, то

= ^ {аха г } $ {а 3а4}-[-<Е {axa 3} Щ{а2а414- Щ {а,а4} е? {а.га А}.

( 2. 3. 13)

^.v(T) = ^ (T )^ (T )+ S $ h(X1)h(X2[Rw(y)Rw( y + ' h i- ^ ) +

Часть этого выражения представляет собой сигнал из (2.3.6). Остальные члены дают погрешность измерений.

Предполагая, что шум w(t) — белый, Rw (у) = = Rw8d (у), получим из (2.3.14)

я х (т) = Rv (т) Rw8D (Т) + h2М Rw + R lh (т + Т) h (т — у) +

<50

чительно благодаря самой идентифицируемой системе и пробному сигналу. Линденлауб и Купер [92] показали, что соответствующим выбором псевдослучайного проб­ ного сигнала удается устранить влияние этих двух послед­ них членов предыдущего соотношения. Как правило, именно эта ситуация и возникает во многих практических задачах идентификации, когда дисперсия помехи измере­ ний значительно превосходит дисперсию пробного сигна­ ла. При этом условии корреляционная функция шумовой составляющей х (t) равна

Re(У) = V* {у) = Rv (У) Rw^oiy)

и представляет собой дисперсию х (t), вычисленную в предположении, что последние два слагаемых в (2.3.17)

пренебрежимо малы. При этом мы сталкиваемся с задачей оценки постоянного сигнала

Rwz (х) = Rwhii)

в присутствии гауссовского шума с нулевым средним и дис­ персией

M y) = M i W u (?)•

Тогда легко показать (Сейдж и Мелса [1271), что оптималь­

ная оценка равна

<

*а(0 =

О

Математическое ожидание выхода фильтра при этом равно Rwh (т). Если выход сглаживающего фильтра разделить на R w, его среднее значение будет h (т), т. е. та самая ве­ совая функция, которую мы пытаемся определить. Дис­ персия ошибки идентификации при этом равна

var {h(т)} = (1jRl) var (ха (t)} = Rv(0)/tRw,

По заданной дисперсии ошибки можно найти требуемую минимальную продолжительность процесса идентифи­ кации

^min > R V(0)/i?a, var ОДт)}.

Пример 2.3.1. Продемонстрируем различные источни­ ки ошибок, возникающих при идентификации, для слу­ чая h (т) = е~а^. Точное выражение для корреляционной функции выходного шума мультипликатора (2.3.17) при­ мет вид

Re (Т) = Rv (Т) RvfiD (Т) + ЛшЗ (Т, т) + Rlfiu (т) е-ау12а,

где

J е-*", — t < T < t ,

[О в противном случае.

Ясно, что второй член в этом выражении меньше осталь­ ных, так что хорошим приближением может служить

Дисперсия ошибки идентификации убывает с ростом ин­ тервала наблюдений t. Учет «собственного шума», вноси­ мого пробным сигналом, не приводит к существенным ус­ ложнениям. Снова можно использовать достаточно боль­ шое время наблюдений, выбирая R w достаточно малым, чтобы шум не влиял на нормальную работу системы.

Как уже отмечалось, периодические псевдослучайные тройные воздействия часто оказываются предпочтитель­ нее гауссовского шума, так как они легче генерируются, легче осуществляются задержка с помощью простых циф­ ровых цепей задержки и умножение с помощью простых переключательных схем двоичной логики, а также благо­ даря тому, что двоичные сигналы имеют наиболее благо­ приятное отношение среднего квадрата входного сигнала к максимальной амплитуде на входе.

Литература по идентификации содержит многочислен­ ные исследования корреляционных методов идентифика­ ции. Многие из них упомянуты в нашем библиографичес­ ком указателе. Среди наиболее содержательных — рабо­ ты Эйкхоффа [37, 38], Левина [90], Лихтенбергера [91], Линденлауба и Купера [92] и Турина [143].

2.4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ОТКЛИКУ НА СИНУСОИДАЛЬНЫЙ СИГНАЛ

В одном из простейших методов идентификации ли­ нейных стационарных объектов используется измерение от­ клика на синусоидальные входные воздействия. Если линейный стационарный объект с передаточной функцией

A R ( со) sin [at +cp (со)]. Здесьi? (а) — отношение амплитуды синусоидальной составляющей частоты со на выходе к амплитуде на входе, а ф (со) — сдвиг фаз между входом и

Поэтому, измеряя отклик на синусоидальный сигнал, а именно R (со) и ф (со) для ряда значений со, удается по­

30 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ и \ д . 2

лучить графики амплитуды и фазы передаточной функции (так называемые графики Боде). Наличия этих графиков достаточно для некоторых целей, например для исследо­ вания устойчивости и компенсации. При необходимости получить аналитическое выражение передаточной функ­ ции можно воспользоваться кусочно-линейной аппрокси­ мацией экспериментальной кривой (Мелса и Шульц [102]). Нередко форму передаточной функции удается опреде­ лить из общих соображений о свойствах объекта. При этом указанным методом можно легко найти ее параметры. Детали этого подхода содержатся в упомянутой работе Мелсы и Шульца [102].

Метод отклика на синусоидальный сигнал можно рас­ пространить на линейные нестационарные системы, хотя при этом он оказывается значительно сложнее простой процедуры, рассмотренной выше. Для построения соот­ ветствующего алгоритма необходимо рассмотреть «пре­ образовательный» метод для линейных нестационарных объектов. Двухстороннее преобразование Лапласа от переходной матрицы объекта, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеет вид

ОО

Ф (s) =| § Ф (t — т) e~s(!-T)dt = (si — А)

— ОО

Фундаментальное свойство линейных стационарных объ­ ектов состоит в том, что их переходная матрица зависит только от «возраста системы» (2 — т). Для нестационар­ ных объектов эго неверно, так что переходная матрица должна быть записана в общей форме Ф (2, т). По анало­ гии с предыдущим равенством все же можно определить следующее преобразование:

(2.4.3)

— оо

Верхний предел интегрирования, можно заменить на t, поскольку