книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

эту трудность можно преодолеть, тогда, если использо­ вать разложение в окрестности ф [х (kf), kf)], получим следующие выражения для а и ц:

Для упрощения записи мы не будем перечислять все ар­ гументы в формулах (7.3.31) и (7.3.32). Из (7.3.31) и (7.3.32) легко можно получить все выражения, необходи­ мые для уравнений (7.3.24) и (7.3.25):

а [х (kf), 0, kf] = <р [х (kf), fy] = х (kf -f 1 1kf), (7.3.33)

то уравнение (7.3.32) перепишется в виде Р ^ + 1) =

(7.3.41)

Комбинируя уравнения (7.3.32), (7.3.37), (7.3.38), (7.3.40), (7.3.41), получим алгоритм для последовательного оце­ нивания х (к), если kf интерпретировать как текущее вре­ мя к. Начальные условия для этого алгоритма опреде­ ляются из (7.3.28), (7.3.29) как

Последний алгоритм часто можно представить в более удоб­ ной форме. Если факторизовать симметрическую матрицу М [х (kf l|fc,), kf -(- 1], то можно записать

Преимущество этой формы записи состоит в том, что тре­ буется обращать матрицы более низкого порядка, так как размерность наблюдения обычно ниже размерности со­ стояния. Главный недостаток сводится к необходимости факторизации (7.3.44), что может оказаться трудной задачей. Конечно, когда наблюдение линейно ъ (к) = = Н (к)х (к) -f v (к), факторизация (7.3.44) получается совершенно естественно.

Для удобства все основанные на инвариантном погру­ жении алгоритмы идентификации дискретных систем по максимуму апостериорной вероятности сведены в табл. 7.3.1. Использование этих алгоритмов иллюстрируется следующим примером.

Пример 7.3.1. Рассмотрим дискретную аппроксима­ цию неидеального колебательного контура, характери­ зуемого отклонением x(t), скоростью г (t), декрементом затухания d, собственной частотой 5 рад!сек, положением равновесия 12,5 и аддитивным входным шумом w (t). Соответствующее непрерывное уравнение имеет вид

х -f- 10 с2ф -f- 25 х = 12,5 -|- w (t)

Дискретная аппроксимация приводит к нелинейной си­ стеме третьего порядка:

х (k -f-1) = х (к) + Тг (к),

г (к -(- 1) = —25 Тх (к) -}- [1—10 Td (А:)] г (к) -f- + 12,5 Т + T w (к),

d (к -f 1) = d {к),

z {к) = х (к) -f- v (к).

Используя табл. 7.3.1, приходим к алгоритмам последо­ вательного оценивания

* (к Н- 1) = х (к) + Тг (к) + 2TVfVn (к + 1 )[z (к + 1) -

— Цк) — Тг(к)],

+500TV (А) Р31 (к) + [1 - юга (А)]2Р22(А) -

—20Гг (А) [1 — ю г а (А)] Р32(А) +

+100Г2а (А) г (А) Р33(А) + V',, (А),

Отметим, что, воспользовавшись симметричностью мат­ рицы дисперсий ошибки, мы исключили три уравнения из девяти. Па рис. 7,3.1 представлены результаты

7.3] ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ 2 27

и Vv = Vw = 20, Т — 0,002. Видно, что оценки вектора состояния и параметра d (к) сходятся к истинным зна­ чениям быстрее, чем за один период собственных ко­ лебаний.

Во многих практических задачах идентификации вход­ ной шум w и ошибка измерений v коррелированы. Часто

Р ис. 7.3 .1 . Совместное оцепивание траектории и параметров системы второго порядка с ш умами.

это связано со способом математического описания си­ стемы, а не с корреляцией реальных помех. Так бывает тогда, когда наблюдаются искаженные помехами входные сигналы или когда наблюдаемые величины содержат кор­ релированный шум.

Прямой метод решения задачи с коррелированными помехами состоит в преобразовании исходной задачи к задаче с некоррелированными шумами. Рассмотрим

Простоты ради предполагается, что Г не является функ­ цией х (к). Как обычно, w(A) и v (к) — дискретные белые шумы с нулевым средним с ковариационными матрицами Vw (к) и Уу (к). Однако теперь уже не предполагается, что v (к) и w (к) независимы, а именно:

Для того чтобы устранить корреляцию входного шума и ошибки измерений, перепишем (7.3.46) в следующем виде:

х ( к -f 1) = ф[х(А),А] +

+ Г (к) w (к) -)- К ? (к) [z(к) — h [х (к), к] — v (А:)]. (7.3.49)

Теперь запишем (7.3.49) как

х (к 4-1) = ф* [х (к), А] 4- w* (к) 4- К р(к) z (к), (7.3.50)

где

Ф* [х (к), А] = ф [х (к), к] — К р(к) h [х (к), к] (7.3.51)

и

w* (к) = Г (Л) w (к) - Кр (к) V (к). (7.3.52)

По-прежнему w* (к) — белый шум с нулевым средним и матрицей ковариации

cov {W* (к), w* (])}= [Г (к) Уw (А:) Гт (к) - Г (к) Vwv (A:) K j (А) - - Кр (к) V L (к) Гт (А) + Кр (к) Vv (к) К рт(А)] 6К (к - /).

(7.3.53)

Б общем случае w* (к) коррелировано с v (к). Однако корреляцию между w* (к) и у (к) можно устранить соот­ ветствующим выбором К р (А). Чтобы показать это, необ­ ходимо рассмотреть ковариацию между w* (А) и v (А):

cov {w* (А), у (А)} = Г (A) Vvw (А) — К р(A) Vv (А).

2 3 0 ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИЕ [ГЛ. 7

то видно, что cov ("w* (к), v (к)} = 0 и получается экви­ валентная исходной задача с некоррелированными шу­ мами, для решения которой можно воспользоваться ал­ горитмом из табл. 7.3.1. В результате получаются алгорит­ мы решения задач с коррелированными шумами, которые сведены в табл. 7.3.2. Заметим, что при известном входном сигнале z (к) в уравнении (7.3.50) одношаговый прогноз имеет вид

х (к + 1 j к) = <р* [х (к), к\ + Кр(к) z (к). -(7.3.55)

Полученный результат можно распространить на слу­ чай, когда средние значения или дисперсии неизвестны (Сейдж и Гуса [122]; Сейдж [117]; Сейдж и Уэйкфилд [129]). Существует практически неограниченное множе­ ство вариантов и комбинаций различных моделей и соот­ ветствующих им алгоритмов. Рассмотрим простые при­ меры применения этих идей к решению задач идентифи­ кации.

Пример 7.3.2. Рассмотрим задачу идентификации объ­ екта, когда наблюдение входного сигнала искажено поме­ хой. Модель входного сигнала

х (к + 1) = <р [х (к), к) + Г (к) w (к),