книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

Пример 7.2.2. В качестве еще одного примера исполь­ зования инвариантного погружения для решения задач идентификации рассмотрим задачу определения ошибок

Рис. 7.2.1. Оценки траектории и параметров для примера 7.2.1 (-------- истинное значение,--------оценка^.

смещения при линейном последовательном оценивании (Сейди; [117] , Сейдж и Лин [124]). Модель входного сипнала имеет вид

214 ИНВАРИАНТНОЕ 'ПОГРУЖЕНИЕ [ГЛ. 7

Таким образом, оценка смещения по методу максималь­ ного правдоподобия сводится к задаче теории оптималь­ ного управления. Необходимо минимизировать функцию штрафа (4) при ограничениях (5), (8), (10) и (И).

Для решения задачи, которая поставлена в предыду­ щем разделе, применимы обычные методы теории оптималь­

гружения для получения последовательных оценок мак­

Так как это оценки максимального правдоподобия, бес­ смысленно пробовать определить оптимальные начальные условия, отличные от х (0), которое должно быть устано­ влено в соответствии с априорным средним р, (0). Для других переменных можно использовать «приемлемые» начальные условия. Можно также выбирать начальные ус­ ловия, решая ДТКЗ для коротких промежутков времени.

Следует отметить, что решение уравнения (17) не яв­ ляется калмановской оценкой х (t) из (5), хотя при доста­ точно больших t решения (17) сходятся к x(t). В действи­ тельности даже не нужно решать(5), для того чтобы опре­ делить оценки максимального правдоподобия |iw и р¥. Необходимо, однако, решить уравнения (G) и (7), являю­ щиеся составной частью алгоритмов метода максималь­ ного правдоподобия. В вычислительном плане такой под­ ход имеет существенное достоинство. Можно показать, что

в (17) К значительно превосходит (РПНт + р 13) ф ;1 и , следовательно, ошибка в определении последнего члена

не скажется существенно на оценке х. В то же время ошиб­

ка вычисления (PUIIT -{- Р13) Фу1 скорее всего превосхо­ дит ошибку вычисления К или V, так как уравнение Риккати для определения Р может быть значительно более высокого порядка, чем уравнение Риккати для V.

Задача адаптивной фильтрации при неизвестном сме­ щении (неизвестны входной шум и ошибка измерений) также может быть решена путем присоединения к модели

Следует отметить, что уравнение (7.3.7) является точным, хотя весьма напоминает разложение Тейлора. Если под­ ставить (7.3.7) в (7.3.6), получим

Из уравнений (7.3.1) и (7.3.2) можно определить Ах и Ас:

Если бы из этого уравнения в частных разностях удалось найти г (с, kf), то ДТКЗ была бы полностью решена. Од­ нако, как и в непрерывном случае, найти общее аналити­ ческое решение уравнения (7.3.13) не удается и обычно обращаются к приближенным методам. Прежде чем про­ должить эту цепочку рассуждений, полезно обсудить взаи­ мосвязь между дискретным и непрерывным вариантами инвариантного погружения, т. е. уравнениями (7.2.13) и (7.3.13).

Одна из дискретных форм записи уравнений (7.2.1) и (7.2.2) имеет вид

х (к + 1) = Т\ [х (к), к (к), к] + х (к),

к (к + 1) = Гр [х (к), к (к), к) + к (к).

Так что а и tj в уравнениях (7.3.1), (7.3.2) очевидным об­ разом определяются как

* [х(/с), к (к), к] = Т\[х(к),к(к),к] + х(к), (7.3.14)

ц [х (к), к (к), к] = Гр [х (к), к (к), к] + к (к). (7.3.15)

Здесь Т предполагается малой величиной, так что произ­ водную можно заменить первой разностью. Подстановка

220 ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИЕ [ГЛ . 7

Разлагая « и р в ряд Тейлора в окрестности х {kf), 0 и kf

Это соотношение должно выполняться для всех достаточ­ но малых с, поэтому, приравнивая коэффициенты при первой и нулевой степени с, получим

Теперь необходимо подставить выражение для ж и ц. Рас­ смотрим дискретную ДТКЗ (3.2.30) — (3.2.32), (3.2.34),

которая, если пренебречь членами второго порядка мало­ сти по с, приводится к виду

Заметим, что эти выражения не сводятся к (7.3.1) и (7.3.2), так как в правой части уравнения (7.3.27) появилась за­ висимость от х (kf -f 1). Подставляя х (к{ + 1) из (7.3.26),