книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

6.4] РАЗНОСТНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 201

ИЛИ

( “г 1

2 Fт [х (&), /с] F [х (А:), /«па = I к=к,

к=ко

Следовательно, оптимальная оценка вектора параметров а

Отметим, что линейная по а система может быть существен­ но нелинейной по х.

Пример 6.4.1. Для иллюстрации метода рассмотрим ис­ пользование алгоритма дифференциальной аппроксима­ ции для определения параметра а следующей одномерной системы:

х (к + 1) = х (к) ах2(к) -f ю (к) + и (к),

где и (к) известно. Эта система линейна по а и, следователь­

Главная трудность на пути использования этого алгорит­ ма связана с необходимостью располагать полной инфор­ мацией о состоянии системы на конечном интервале вре­ мени. Один из возможных способов преодоления этой труд­ ности состоит в использовании точечных оценок с тем,

чтобы по имеющимся данным получить грубую оценку тра­ ектории. А затем для оценивания параметров можно было бы использовать алгоритм разностной аппроксимации. Эти оценки могут быть и не слишком точными, если имеющиеся данные были искажены помехами. Тем не менее оценки параметров и состояния системы дают достаточно точное начальное приближение для использования градиентных алгоритмов или алгоритма квазилинеаризации,

К непрерывным системам можно применить алгоритм дифференциальной аппроксимации. В этом случае урав­ нения модели имеют вид

где f [x (t), a, t\ — того же вида, что и раньше, т. е. компо­ ненты f удовлетворяют (6.4.2). Показатель качества опре­ деляется, как

где Q (t), как и раньше, произвольная положительно определенная матрица. Здесь х (t) и х (t) предполагаются известными на интервале [<„, tj].

Если приравнять частную производную / по а нулю, то для Q = I получим следующую систему алгебраических уравнений относительно а:

( а,ТЛ ^ - H 'W , а. ( 1 * -

*0

= ^ afT 1хэ(а0, а’ П X(0 dt. (6.4.10)

Непрерывный алгоритм по сравнению с дискретным имеет еще один недостаток — необходимость знания производной х (t). Один из выходов состоит в аппроксимации производ­ ной конечными разностями, что по существу превращает алгоритм в разностный.

6.5. ВЫВОДЫ

Развитый в этой главе метод квазилинеаризации может быть использован для преодоления вычислительных труд­ ностей решения двухточечных краевых задач, связанных с некоторыми постановками задач идентификации систем. Хотя квазилинеаризация используется в основном как непрямой вычислительный метод, ее можно применить и для непосредственного решения некоторых классов задач идентификации, что приводит к простым и эффективным алгоритмам. Рассмотрены дискретная и непрерывная фор­ ма алгоритмов квазилинеаризации.

Также были изучены методы дифференциальной и раз­ ностной аппроксимации. Несмотря на присущие этим ал­ горитмам ограничения, существуют задачи, к которым они применимы, кроме того, эти алгоритмы могут быть ис­ пользованы для вычисления начальных приближений итеративных процедур типа квазилинеаризации или гра­ диентных методов.

Глава 7

ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖЕНИЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ

7.1.ВВЕДЕНИЕ

Вэтой главе рассматривается подход к идентификации систем, который отличен от большинства ранее рассмотрен-

н.IX методов. Будут развиты последовательные алгоритмы идентификации систем или идентификации в реальном

масштабе времени. Такой подход противопоставляется рассмотренным в предыдущих главах непоследовательным алгоритмам идентификации или идентификации вне кон­ тура регулирования. Во многих случаях (например, для многих задач теории управления) желательно в «скользя­ щем времени» иметь последовательные оценки параметров системы по мере поступления данных о функционировании.

По существу последовательное оценивание параметров систем — это не более чем задачи нелинейной фильтрации. По вопросам линейной и нелинейной фильтрации имеется обширная литература (см. ссылки в книгах Сейджа и Мелса [127], Язвинского [61]); читатели, более глубоко интересующиеся теорией нелинейной фильтрации, могут обратиться к этим источникам. Ниже развивается только один подход к нелинейной фильтрации. Это метод инвари­ антного погружения, который применяется к решению ДТКЗ, связанных с идентификацией систем (см. главу 3). Этот метод был выбран из-за его идейной простоты и боль­ шой гибкости. Сначала рассматривается более простой не­ прерывный случай.

7.2.НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ

Вэтом разделе будет рассмотрен непрерывный ва­ риант алгоритма инвариантного погружения. В целях упрощения обозначений и увеличения общности резуль­ татов исследование будет базироваться на общей постанов­ ке двухточечной краевой задачи. Необходимо найти

7.2] НЕПРЕРЫ ВНЫ Е СИСТЕМЫ 207

Здесь х (tf) — решение для случая с = 0, которое яв­ ляется решением исходной ДТКЗпри X (tf) = 0. Другими словами, предполагается, что г (с, tf) является оптималь­ ным значением х (tf) (все еще неизвестным), если с = 0, плюс линейная комбинация отклонений отО, характеризуе­ мых вектором с. Такая аппроксимация будет хорошей, если с — 0, т. е. когда рассматривается траектория вблизи истинного оптимального значения. В дальнейшем будем предполагать, что с мало, пренебрегая членами по­

дх

Для того чтобы продолжить вывод, необходимо вместо v и р подставить функции, которые соответствуют ДТКЗ для идентификации систем. Ради простоты используем ДТКЗ вида (3.2.37) — (3.2.39); обобщение для ДТКЗ вида (3.2.63) — (3.2.65) получается непосредственно. Из (3.2.37) и (3.2.38) функции у и р определятся как

у (х, с, tf) = f (х, tf) — G (х, t f) i|7w(tf) GT (x, tf) c, (7.2.17)

-dll'1 (x, tt )

Отметим, чго последнее слагаемое в выражении для р можно опустить, так как оно второго порядка малости по с. Теперь, если подставить (7.2.17) и (7.2.18) в (7.2.16),

получим следующее выражение, не содержащее членов

Начальные условия

*W = Их„- p ('») = vx

рассмотрим задачу идентификации переменного параметра в системе второго порядка (Детчменди и Шридхар [30]). Система описывается моделью

ii = »а + (0.

= —2^ — а (t) х\ — Зх2 + 5 sin t -f w2 (t),