книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

сначальным условием рш (к0) = 0.

Иснова мы видим, что задача построения yi+1 (к) сведе­ на к решению двух простых разностных уравнений с за­ данными начальными условиями. Единственный параметр

задачи у1+1 (к0). Необходимо выбрать (к0) таким, что­ бы удовлетворить условиям (6.3.2). Для этого подставим в условия (6.3.2) выражение (6.3.5)

Последнее выражение можно переписать в форме системы то линейных алгебраических уравнений

Отметим, что выражения для А и b аналогичны выраже­ ниям предыдущего раздела с заменой непрерывного вре­ мени на дискретное.

Решая уравнение (6.3.9), находим начальное условие Yi+1 (*0), по которому можно определить новое приближе­ ние к истинной траектории движения. Таким образом,

6.3] ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ 193

имеем итеративную процедуру для решения МТКЗ в дис­ кретной форме (6.3.1), (6.3.2). Обсуждение вопросов схо­ димости, а также блок-схему алгоритма читатель может найти в предыдущем разделе.

Применение дискретного алгоритма квазилинеаризации к решению ДТКЗ, связанной с задачей идентификации сис­ тем, не рассматривается, так как практически совпадает со схемой решения, рассмотренной для непрерывных сис­ тем в предыдущем разделе, так же, как и непосредственное применение алгоритма квазилинеаризации к идентифика­ ции систем при отсутствии входного шума. В дискретном варианте задачи вместо непрерывных моментов времени tj в уравнениях (6.2.35)—(6.2.37) следует использовать дис­ кретные моменты.

К сожалению, в дискретном случае возникают те же проблемы сходимости, что и в непрерывном. Если алго­ ритм сходится, сходимость является квадратической и до­ статочно быстрой. Однако обеспечить сходимость можно только выбором хорошего начального приближения. Один из подходов к выбору начального приближения состоит е использовании градиентных методов главы 4, так как гра­ диентные методы позволяют при умеренном расходе ма­ шинного времени и плохом начальном приближении выхо­ дить в близкую окрестность истинной траектории. Другой подход, который сводится к использованию дифференци­ альной или разностной аппроксимации, будет рассматри­ ваться в следующем раздела.

Пример 6.3.1. В этом примере алгоритм квазилинеари­ зации будет использован для оценки дискретной переда­ точной функции линейной системы по данным нормальной эксплуатации (Шульц, (1351). Рассмотрим задачу иденти­ фикации системы, изображенной на рис. 6.3.1. Ошибка

Необходимо идентифицировать постоянные параметры at, bj. Предполагается, что порядок системы известен, т. е. известны m a n , причем т ^ п. Удобно считать начальные

7 Э. п. Сейдж, Дж. Л. Мелса

условия нулевыми. Желательно определить значения а; и bt, доставляющие минимум функции штрафа для &-ша- гового процесса

к

J = 2 е2 (к), е (к) = ут (к) — z (к).

к=1

Для этого строится итеративная процедура с использова­ нием квазилинеаризации. Минимизация проводится при

П о м е х а

Рис. 6.3.1. Структурная схема задачи идентификации: пример 6.3.1.

учете ограничения, заданного в форме равенства (рис, 6.3.1)

Ута(*) N(z)

ИЛИ

Ут (г) D (z) = w (z) N (z).

Для того, чтобы получить нелинейное уравнение модели, произведем квазилинеаризацию относительно jV-й итера­ ции траектории

модели. Шульцу [135] принадлежит машинная реализация этого метода, которая является переложением алгоритма квазилинеаризации для задачи, предложенной Стейглицем и Мак Брайдом [139] и решенной ими градиентным ме­ тодом.

Пример 6.3.2. Продемонстрируем теперь применение дискретных алгоритмов квазилинеаризации к идентифи­ кации параметров систем. Желательно определить цифро­ вой сигнал yd (t), приближающий аналоговый сигнал уа (t), где уа (/) и yd (t) — это т-векторы, описывающие выход системы при заданном входном сигнале.

Предполагается, что аналоговый сигнал уа (1), так же как и входной сигнал, полностью известны. Форма цифро­ вого представления выходного сигнала предполагается известной с точностью до р-мерного вектора Р неизвестных параметров. Для определения Р необходимо минимизиро­ вать функцию штрафа

[116]) показывает, что оптимальный вектор параметров Р определяется решением системы, состоящей из разностных уравнений (2), (3), и сопряженной системы уравнений

Уравнения (2)—(6) представляют собой двухточечную не­ линейную краевую задачу, для решения которой удобно

было бы воспользоваться методом квазилинеаризации. За­ пишем уравнение для нового 2(т -f р)-мерного вектора

при дополнительных условиях

<С;0Т), х (/Г)) = Ь{ (/Г) 0 = О, ЛГ; i = 1, 2, . . т + р), (8)

где С и х — это 2( т -0р)-мерные векторы, а через обозначено внутреннее произведение векторов. Если х° (пТ) — это начальное приближение решения уравне­ ния (7), то (N + 1)-е приближение связано с N-м сле­ дующим рекуррентным соотношением:

-f- 1) Т) —

= q [х* (гаГ)] + J {q [xw (пТ)]} {xN+'{nT) — x N (пГ)), (9)

где J — якобиан, у которого на (i, /)-м месте стоит част­ ная производная dqjdxj.

Применение этого метода позволяет построить «наи­ лучшее» дискретное представление непрерывной системы. Так как эта паилучшая аппроксимация является функцией

Рис. 6.3.2. Система с обратной связью и нелинейностью.

аналогового входа и переменных параметров, для непре­ рывной оптимизации вектора параметров Р в реальном масштабе времени использование адаптивной обратной свя­ зи еще больше повысило бы точность дискретной модели.

Рассмотрим нелинейную систему, блок-схема которой изображена на рис. 6.3.2. Для моделирования непрерыв­ ного интегратора можно было бы использовать суммирова­ ние по трем точкам. В этом случае усиление до и после не­ линейности подстраивается процедурой дискретной ква­ зилинеаризации. Здесь используется другой подход, ко­ торый приводит к менее точной аппроксимации, но зато

снижает порядок дискретной системы. Операция интегри­ рования 1Is заменяется прямоугольным дискретным

Рис. 6.3.3. Дискретная модель системы рис. 6.3.2.

интегрированием (суммированием), а z-преобразование дискретного эквивалента инерционного звена имеет вид

Параметры усиления р± и р2 вводятся до и после нелиней­ ности. В результате получается дискретная модель, изоб­ раженная на рис. 6.3.3. Входной сигнал представляет

собой скачок амплитуды А. Таким образом, дискретная модель описывается следующей системой разностных уравнений (R = I):

Рг ((п + 1) Т) — р2 (пТ).

6.4] РАЗНОСТНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 199

Затем выписывается сопряженная система разностных уравнений ж расширенная система разностных уравнений квазилинеаризуется. На рис. 6.3.4 показаны результаты вычислений оптимальных значений параметров рг и рг. На рис. 6.3.5 изображена зависимость оптимальных зна­ чений параметров от амплитуды скачка.

6.4. РАЗНОСТНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Несмотря на то, что методы разностной или дифферен­ циальной аппроксимации имеют несколько серьезных ог­ раничений, при необходимости их можно использовать для вычисления начального приближения для процедуры квазилинеаризации или процедуры градиентного типа. Алгоритм является неитеративным, решение получается в первой же итерации. Рассмотрим сначала дискретный ва­ риант алгоритма, известный под названием разностной аппроксимации, а затем займемся непрерывным случаем дифференциальной аппроксимации. Алгоритм весьма прост и неоднократно рассматривался многими авторами, однако общепризнано, что основным создателем алп> ритма в его современной трактовке является Ричард Веллман.

Предположим, что система описывается A -мерной дис­ кретной моделью

где а — m-мерный вектор неизвестных постоянных пара­ метров, a w (к) — входной шум. Компоненты векторфункции <р [х (к), а, &] имеют вид

где g и h — конечномерные векторы. Такое ограничение вида ф не является серьезным, так как охватывает все из­ вестные входные сигналы, в том числе sin [аа;(/с)] или ехр { — ах (к)}.

К сожалению, необходимо также предположить, что вектор входного сигнала х(к) известен для всех к из не­ которого конечного интервала [/c0, kt]. Позже мы обсудим,

как это требование может быть ослаблено, но пока будем предполагать, что все необходимые данные имеются.

Мы хотим подобрать такой вектор параметров а, чтобы минимизировать следующий показатель качества:

*'г 1

J = 2 IIх (к + 1 ) — <РI х (к), а, к] |q№), (6.4.3)

к=ко

где Q (к) — произвольная положительно определенная

матрица. Часто будем выбирать Q(к) = V^1 {к) для того, чтобы получить оценку по методу максимума апостериор­ ной вероятности. Эту оптимальную задачу можно решить непосредственно, приравняв частную производную J по а нулю. При Q = I имеем

kf-i

Вследствие того, что ср имеет вид (6.4.2), уравнение (6.4.4) представляет собой систему т алгебраических уравнений, решение которой определяет искомый вектор параметров объекта а.

Если <р [х (к), а, к] линейна по а, то (6.4.4) сводится к системе линейных алгебраических уравнений, которые лег­

рица. Если подставить выражение (6.4.5) в уравнение (6.4.4), то получим