книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

5.3] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 161

то последнее соотношение, используя формулу (5.3.3), можно переписать в виде

гК1) = ьту(ЛГ)==ьтЛх(1).

Формула hT = hT Л подтверждается.

Линейные уравнения (5.3.13) и (5.3.14) эквивалентны уравнениям (5.3.1) и (5.3.2). Т связана с Ф преобразова­

Важно отметить, что независимо от Ф матрица Т имеет вид

Это сразу же следует из определения Т. Для того чтобы показать это, достаточно определить обратную матрицу

6 Э. П. Сейдж, Дж. Л. Мелса

где а — вектор-столбец. В самом деле,

[a- i : В_г] = I,

или

аТа.! = 1, ВВ_! = I, атв_! = О, Ba_! = О,

и из формулы (5.3.4) видно, что

т. е. как раз формула (5.3.16). Так как в вычислительном отношении оценить Т легче, чем Ф, то в дальнейшем будем рассматривать задачу идентификации матрицы Т. Дейст­ вительно, в то время как матрица Т определяется единст­ венным образом, не существует единственного представле­ ния для матрицы Ф. По выходу свободной линейной систе­ мы можно определить только N неизвестных параметров, в то время как для идентификации всей матрицы Ф необ­ ходимо выяснить значения N2 коэффициентов.

Для построения полученных алгоритмов идентифика­ ции необходимо было предположение о порядке системы N. Если порядок системы неизвестен, то требования наблю­ даемости дают простой способ его оценки. Если предпола­ гаемый порядок меньше или равен истинному порядку системы, то матрица наблюдаемости Л всегда будет иметь обратную. Однако если предполагаемый порядок выше истинного порядка системы, то матрица наблюдаемости будет вырожденной (ненаблюдаемая система всегда реду­ цируема по порядку (Сейдж, [116])). Таким образом, поль­ зуясь требованием наблюдаемости, легко можно выяснить порядок системы (в простейшем случае свободной системы с незашумленными наблюдениями).

5.3] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 163

Вынуждаемые системы — отсутствие ошибок измере­ ний — отсутствие динамики в числителе передаточной функции. Рассмотрим систему

Будем считать w (к) дискретным белым шумом с нулевым средним

$ {w (&)} = 0, cov {w (к), w (/)} = VW8K (к — /).

Уравнение движения системы можно записать как од­

Для удобства предположим, что все Ъь кроме Ьх, равны О, a bx = 1. В этом случае

6*

5.3] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 165

Так как ^ — симметрическая матрица (см. (5.3.6)), то вид­ но, что (5.3.11) можно упростить, а именно:

где обозначение а (2 7V) используется для того, чтобы под­ черкнуть, что для оценки а использовано 27V измерений. При выводе схемы последовательной идентификации форма записи (5.3.32) не используется *). Определим

S5 (27V) = [^ Т(2N — 1)У- (2N - l)]-i. (5.3.33)

Добавим еще одно измерение у (2 N + 1) и минимизируем новое выражение функции штрафа. Легко получить, что

Для того чтобы преобразовать это выражение к виду, более удобному для вычислений, воспользуемся леммой обраще­ ния матриц. В результате получим

3b(2N + l) =

= (27V) — & (2N) у (27V) [ут (2N) (27V) у (27V) + 1 Г 1 х

X yT(27V)5a(27V), (5.3.36)

где требуется вычисление обратной скалярной величины. Теперь нетрудно получить, что

a (27V + 1) = a (27V) —

— .3* (27V) у (27V) [ут (27V) .З5 (27V) у (27V) + 1 Г 1 х

X [y(27V + l) + yT(27V)a(27V)]. (5.3.37)

*) Болое систематическое изложение последовательной иден­ тификации с использованием инвариантного погружения приво­ дится в главе 7.

5.3] ИСПОЛЬЗОВАНИЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 167

К несчастью, уравнение (5.3.42) гораздо сложнее уравне­ ния (5.3.26) в силу коррелированности последовательности помех vT (к — 1) а. Таким образом,

уже не является белым шумом, так как

Следовательно, нужно быть осторожным, минимизируя

Можно попробовать использовать алгоритмы стохастичес­ кой аппроксимации, так ограничив выбор к, что к = О,

2 N -\- 2 и т. д., и тогда

cov {у {к — 1), у (/ — 1)} = о, Iк — j I = (N + 1) t,

* = 1,2, ...

Минимизация (5.3.45) приводит, конечно, к тем же ре­ зультатам, что и минимизация (5.3.28). Ошибки измерений по существу игнорируются. Мы получаем

а*= — [ff{z(fc — l)z*(A — i)}\~4 {z(k — 1) z (A)}. (5.3.47)

и мы видим, что минимизация (5.3.45) с необходимостью приводит к смещенным результатам. Если в алгоритме

где d — произвольный, по известный iV-мерный вектор. Предполагается, что и (к) — это ненаблюдаемая последо­ вательность независимых случайных величин с нулевым средним, w (к) п v (к) — дискретные белые шумы с нуле­ вым средним и (к), w (к) и v (к) предполагаются взаимно независимыми. Отклик системы (5.3.52) имеет вид

х {к) = 2 Ф [Ги>(к — i — 1) 4- du (к — i — 1)]. (5.3.54)

i=o

Определим 2Л^-мерные векторы

Очевидно, что 0 характеризует весовую функцию системы, и мы приходим к задаче, рассмотренной в разделе 2.2. Теперь можно записать наблюдение в виде

Определим оценку вектора параметров как вектор, мини­ мизирующий функционал