книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

4.3] МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИ НАМ ИЧЕСКИ Х СИСТЕМ 121

для итеративного вычисления вектора начальных усло­ вий, который требуется для решения дифференциального Уравнения из пункта 2). Неудобство этой процедуры со­ стоит в том, что обычно получаются начальные условия, отличные от нулевых.

Используя дискретную модификацию градиентного метода, можно решить задачу идентификации дискретной передаточной функции

Конечно, и здесь вычисления можно упростить, заменив их приближенными вычислениями. Так, читатель отме­ тит тесную связь между рассматриваемым примером и алгоритмом идентификации эталонной модели из главы 2.

Один из наиболее удобных путей упрощения сводится к использованию предположения о том, что постоянные параметры а и b могут быть идентифицированы приме­ нением статического варианта градиентного метода. Строго говоря, это неверно, хотя и может быть оправдано про­ стотой процедуры приближенных вычислений. Для общей задачи минимизации функционала

Ч

/ = jj<p[x(£), p(f), t]dt

to

при ограничениях

Р = о

будем задаваться начальным значением р! и, решив си­ стему дифференциальных уравнений, оценим величину функции штрафа /*. Слегка изменяя р{, для нового зна­ чения р* + Bj найдем штраф + т]/, /-ю компоненту вектора-градиента функции штрафа можно приближенно оценить как

Повторяя эту процедуру для возмущений различных компонент вектора параметров, определим приближенное значение вектора-градиента dJIdpк Первое приращение вектора параметров в направлении наискорейшего спус­ ка к минимуму функции штрафа составит

dpi1

а новое приближение для вектора параметров определится как

pi+1 = р*+ Ар1.

Простота приближенного метода позволила положить его в основу нескольких итерационных схем главы 2, од­ нако трудно оценить ошибку, связанную с приближен­ ным вычислением djldp1 (процедура точного вычисления свелась бы к уже известным алгоритмам решения динами­ ческих задач). Приближенная процедура приводит к су­ щественным ошибкам, особенно тогда, когда функция штрафа не очень чувствительна к изменению вектора па­ раметров. Последнее, к сожалению, довольно часто имеет место, если измерения или наблюдения искажены поме­ хой и имеются неизвестные входные сигналы.

Так же как и в статическом случае, можно рассмотреть разложение в ряд функции штрафа динамической задачи до членов второго порядка малости. Для функции штрафа (4.3.17) такое разложение имеет вид

9р дх J L9и 9р J 9р2

(4.3.42)

4.3] М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИ НАМ ИЧЕСКИ Х СИСТЕМ 127

набор матричных уравнений Риккати. Таким образом, в этом случае уравнения для возмущений похожи на урав­ нения для задачи о замкнутой системе регулирования. Эти уравнения здесь не приводятся из-за чрезмерной сложности получающихся алгоритмов. Построение таких алгоритмов для конкретной задачи идентификации ока­ зывается не трудной, но часто утомительной работой. Процедура последовательного метода вторых вариаций, авторство которой в непрерывной форме принадлежит Мак-Рейнольдсу и Брайсону [97], по существу повторяет описанную выше процедуру градиентного метода второго порядка. Чисто техническое отличие состоит в том, что производится последовательное интегрирование в обрат­

с начальными условиями, которые определяются комби­

можность итеративного выбора А(дН1да) может оказаться существенным преимуществом последовательного ме­ тода по сравнению с обычным градиентным методом вто­ рого порядка.

Алгоритмы метода сопряженного градиента для реше­ ния динамических задач идентификации в идейном плане являются прямым обобщением статического варианта метода сопряженного градиента. Сначала необходимо

определить начальные Хр, ро и и1. Затем в прямом време­ ни решаются уравнения для траекторий, а в обратном

времени — сопряженные уравнения. Это позволяет опре­ делить различные градиенты из уравнений (4.3.21) — (4.3.23) в дискретном случае и из уравнений (4.3.36) — (4.3.38) в непрерывном случае. Схема, намеченная на стр. 110 для статического варианта метода сопряженного градиента, используется в динамической задаче для каждого из трех векторов-градиентов. Независимо от того, какая задача — дискретная или непрерывная, для каждого из градиентов удобно определить

Затем вводится внутреннее произведение. В непрерывном случае по формуле

[,

<f (0. g(0> = J f (t)gT (t)dt, to

а в дискретном варианте по формуле

* Г г

< f(/c), g ( / c ) > = 2 f ( * ) g T (*)-

Блок-схема вычислений для метода сопряженного гра­ диента такова:

1)выбрать Xq, р!, и*;

2)решить в прямом времени основную систему урав­ нений и в обратном— сопряженную ей систему;

3)определить градиенты Сд„, сДХо и сгДр;

4)определить К Аи, К\Хо и Хдр так, чтобы минимизиро­ вать сходную функцию штрафа

На этом шаге используется оптимальный метод градиента, который обычно трудно реализуем. К приемлемому резуль­ тату приводит, как правило, интерполяция нескольких значений каждого из коэффициентов К&1„ КАХо и K Av\

5) возвращаемся к пункту 2) и повторяем вычисления. Для того чтобы применить метод сопряженного гради.

ента, необходимо изменить процедуру, начиная с пункта 5); 5') определить К г, минимизирующее функцию штрафа

6)используя bi+1, решить прямое и сопряженное уравнения;

7)определить направление сопряженного градиента

сдь = — Ti+1 (0) +

\ А . ВЫВОДЫ

Было построено несколько наборов алгоритмов для решения задач идентификации. В приведенных примерах рассматривалась идентификация систем путем минимиза­ ции функций штрафа, предложенных в главе 3. Теперь будут изучаться особенности метода стохастической ап­ проксимации, которую можно рассматривать как стати­ стический градиентный метод.