книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

тичная функция штрафа J — 0 (и) = у (Аи — b)T R (Аи — Ь).

Таким образом, и2 определено. После этого вычисляются у2, /с2, и3, ... Можно показать, что если и — М-вектор, то процедура сходится к точнолгу решению за М шагов. Это утверждение можно отнести к любым линейным зада­ чам при использовании метода сопряженного градиента с квадратичной функцией штрафа. К сожалению, для нелинейных задач или произвольных функций штрафа это свойство утрачивается.

Относительно несложно показать, что задача мини­

может быть решена точно так же, как и при отсутствии ограничений. Необходимо только заменить 0 (ш) функ­

112 ГРАДИЕНТНЫ Е МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1ГЛ. 4

цией Н (х», и», Я») и, конечно, добавить к системе уравне­ ний дополнительные соотношения

решаемые на каждой итерации.

Мы начали с рассмотрения статического одношагового градиентного метода прежде всего из-за его простоты, а не только для того, чтобы подчеркнуть применение гра­ диентных процедур к идентификации статических объек­ тов. В дальнейшем мы увидим, что эти методы с минималь­ ными изменениями можно применять для решения много­ шаговых или непрерывных задач идентификации динами­ ческих объектов.

4.3. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Результаты предыдущего раздела могут быть легко распространены на дискретные по времени или многоша­ говые задачи. Сначала рассмотрим следующую функцию штрафа:

кГ 1

/ = О [X (Яу)] + 2 Ф [х (к), и (к), к]. (4.3.1)

к^=к0

Необходимо минимизировать функцию штрафа, удовлет­ ворив одновременно следующим ограничениям:

Формально можно поставить двухточечную краевую за­ дачу п, определив гамильтониан

114 ГРАДИ ЕНТНЫ Е М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 4

вание градиентного метода первого порядка в много­ шаговых задачах сводится к следующей вычислительной

5)получить приращение

Ли* (/с) = — К 1

дН

Эи1 (к) ’

6)вычислить новую итерацию управления

7) вернуться к пункту 2) и повторять вычисления д тех пор, пока при переходе от итерации к итерации про­ исходят заметные изменения траектории и управления.

При идентификации реальных объектов встречается множество ситуаций, в которых применение описанного выше градиентного метода первого порядка становится затруднительным. Наиболее важным из них является случай, когда не задано начальное состояние и иденти­ фицируются некие постоянные параметры р (к). В этом случае функция штрафа приобретает вид

k/-i

./ = 0/ [х (,kf)] + 0О[х (К)] -j- 2 Ф [х (*), р (к), и (к), к], Л.‘=/£о

(4.3.13)

а уравнения объекта имеют вид

Условие постоянства неизвестных параметров запишется как

наискорейший спуск к минимуму. Таким образом, по­ ложим

Теперь на каждой итерации изменяется не только управ­ ление и (к), но изменяются и начальные условия х (/с0), р (/с0), в то время как раньше х (к0) было фиксировано и Ах (к0) равнялось нулю.

Во многих задачах х (к0) является заданным. Если это так, то х (к0) используется как начальная точка для ре­ шения уравнений, описывающих движение объекта. Может также оказаться, что отсутствует управление и(А;). Вэтом случае из алгоритма исключается процедура пересчета и {к) (и, разумеется, дН/ди). Общая блок-схема вычислений такова:

1)определить или задаться значениями х* (/с0), р* (к0),

ш{к),

4.3] МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМ ИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ц 7

6) Вернуться к пункту 2) и повторять вычисления до тех пор, пока изменения в х (к), р (к) и и (к) при переходе от итерации к итерации не станут пренебрежимо малы.

Распространение этих алгоритмов на непрерывный случай получается непосредственно. Градиентный алгоритм первого порядка для минимизации функции штрафа

Ч

/ = 0/ [X (tf)] + е0 [х (£„)] + $ Ф [х (£), р ((), и (£), t] dt, (4.3.30) to

когда координаты состояния системы х (if), неизвестные постоянные параметры р (t) и управление u (t) удовлетво­ ряют системе дифференциальных уравнений

состоит в том, чтобы:

1)определить гамильтониан

Н= ф [х (t), р (г), и (г), t] + kT(£) f [х (г), р (t), и (г), t],

(4.3.33)

2)задаться начальными приближениями u1(t), х» (£0)

ИР*(*о).

3)используя эти и» (£), х* (£0) и р» (t0), найти х» (t) из

уравнения (4.3.31) и р* (t) из уравнения (4.3.32), 4) решить сопряженную систему уравнений

5)определить приращения

7) вернуться к пункту 3) и повторять вычисления до тех пор, пока изменения параметров, управления и тра­ ектории при переходе от итерации и итерации не станут мало заметными.

В постановке задачи идентификации можно учесть любое число ограничений, задаваемых равенствами или

Рис. 4.3.1. Настраиваемая модель из примера 4.3.1.

неравенствами. Однако в этой книге подобные постановки задач не рассматриваются (см. Сейдж, [116]), так как ограничения в форме неравенств на состояние объекта и управления и ограничения-равенства на концах тра­ ектории встречаются в задачах идентификации не слиш­ ком часто. После краткого обсуждения двух примеров особое внимание будет обращено на изучение градиент­ ного метода второго порядка и метода сопряженного гра­ диента для решения задач идентификации динамических объектов.

Пример 4.3.1. Рассмотрим идентификацию одномер­ ного объекта по схеме с настраиваемой моделью, схема которой изображена на рис. 4.3.1. Предполагается, что неизвестный объект описывается передаточной функцией с неизвестными постоянными параметрами ат = [а0, а1,...

4.3] МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМ ИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ц 9

и выход объекта z (t) с преобразованием Лапласа Z (s) считаются известными. В начальный момент времени объект находился в состоянии покоя.

Во временной области уравнения объекта можно за­ писать в виде

х= F(b)x(f) + g(a)u (t),

У(t) = hTx (t),

J = ^ lz W ~ y { t ) ? d t .

О

Отсюда видно, что эта задача является частным случаем задачи идентификации непрерывного объекта, которая была решена путем применения градиентного метода пер­ вого порядка. Полезно проследить алгоритм решения. Определим функцию

/ / = ^r [ z ( * ) - h Tx (0 ]2 +

Здесь и (£) — известный входной сигнал, не обеспечиваю­ щий оптимальных характеристик. Блок-схема вычисле­ ний такова: