книги из ГПНТБ / Сейдж Э.П. Идентификация систем управления

Таким образом, выписана полная система уравнений дискретного нелинейного алгоритма оценивания первого порядка по методу условного среднего. Они сведены в табл. 3.4.1, включающую алгоритмы, необходимые для определения штрафной функции максимального правдо­ подобия рассмотренным методом первого порядка. Можно пользоваться аппроксимациями более высокого порядка для оценки (Сейдж и Мелса [127]), однако здесь они рас­ сматриваться не будут.

Отметим, что эти (приближенные) алгоритмы фильтра­ ции условного среднего по сути являются обобщением алгоритмов фильтра Калмана. Если модели формирова­ ния и наблюдения сигнала линейны, то эти уравнения превращаются в обычные уравнения линейного фильтра Калмана. Итак, минимизация функции штрафа из табл. 3.4.1 при ограничениях, задаваемых разностными урав­ нениями из той же таблицы, ведет в итоге к алгоритмам идентификации по методу максимального правдоподобия. Дальнейшему развитию этих результатов посвящены сле­ дующие четыре главы. Теперь рассмотрим простой при­ мер, иллюстрирующий наиболее существенные моменты изложенных выше результатов.

Пример 3.4.1. Используем простой пример для демон­ страции процедуры определения функции штрафа при идентификации по максимуму правдоподобия. Скалярные модели формирования и наблюдения сигнала с постоян­ ными VD и Vw имеют вид

х {к -]-1) = Фх (к) + ш (к), z (к) = х (к) + v (к)

Для такой или любой линейной модели формирования и наблюдения сигнала алгоритмы табл. 3.4.1 являются точными, а не просто хорошими приближениями. Подле­ жащая минимизации штрафная функция (3.4.21) прини­ мает вид

/ = 4 - 2 flndetlF„ + Уг (А|Л-1,Ф)] +

к—К ^

[г (к) — х(к\к — 1, Ф)]2 )

~Г Vv+ Гг (*|А-1,Ф ) /•

92 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФ ИКАЦИИ [ГЛ . 3

ЛФ)

Рис. 3.4.2. Зависимость штрафа от Ф при разных значениях I; пример 3.4.1 (L — число наблюдений, Vv = 1,0; Vw = 16,0 хо = = 0,5).

Рис. 3.4.3. Зависимость функции штрафа от kVw при разных Vv/Vw; пример 3.4.1 (р = VJVw, kf = 900 — число наблюдений, х0 =

= 0,0).

-K P (A)VZ- 1(A|A-1, 0)Кр (А) —

^'|й> ~ к (*)v»» (t>гТI»(* I е>’ *1 -

ОХ (А |И)

д<рт [х (А |0), А]

— Гт [х (А|0), A] Vwv (А) Кт (А)

Эх (А |0)

Уравнение для дисперсии ошибки фильтрации

V£(A + 1|0) =

Уравнение для коэффициента усиления одношаговои экстра­ поляции

Кр (А) = Г [х (А |0), к] Vwv (А) V"1 (А + 1 |А, 0)

4 Э. П. Сейдж, Дж. Л. Мелса

98 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ . 3

Т а б л и ц а 3.4.2 (продолжение)

Штрафная функция идентификации по максимуму правдо­ подобия

Остальные алгоритмы первого порядка фильтрации ус­ ловного математического ожидания нуждаются в анало­ гичных изменениях. Эти изменения вносятся без труда, и получающиеся в результате приближенные алгоритмы сведены в табл. 3.4.2.

Пример 3.4.2. Вернемся к примеру 3.4.1, предполагая, что теперь имеется второе наблюдение, определяемое уравнением

z2 (к) = w (к) + va (к),

причем шумы объекта и наблюдений коррелированы, так что

L°

Применение алгоритмов из табл. 3.4.2 немедленно при­ водит к следующей функции штрафа и ограничениям

f* (А) — * (* I А — 1, Ф)]* ] + Р, + Р~(А |Л -1, Ф)

фУ~(к\к— 1, Ф)

+ 7: ( ф - 1 , Ф ) + Т , [z( * ) - * ( * ! * - ! , Ф)],

На рис. 3.4.5 показана зависимость функции штрафа J от Ф для ряда значений VV2. Очевидно, что при Ни -> оо

Рис. 3.4.5. Зависимость функции штрафа от Ф при двух разных значениях Рг2; пример 3.4.2. (VvlIVW = 1, х0 = 0, к( = 800).

наблюдение z2 (к) становится бесполезным, и алгоритмы этого примера вырождаются в соответствующие алгоритмы примера 3.4.1.

4*