книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

Для исключения неопределенности необходимо из (2.42) взять N—1 уравнение и дополнить их условием нормировки

N

При анализе разрывных процессов Маркова с конеч­ ным числом состояний удобно использовать аппарат сиг­

моническое правило, по которому легко составить систе­ му дифференциальных уравнений (2.40), располагая гра­ фом состояний системы. «Производная dpi/dt вероятности пребывания системы в состоянии равна алгебраической сумме нескольких членов; число членов этой суммы рав­ но числу стрелок на графе состояний системы, соединяю­

на стрелка, на интенсивность потока событий, переводя­ щего систему по данной стрелке. Число отрицательных членов равно числу стрелок, направленных из состояния ХІ\ число положительных членов равно числу стрелок, натравленных .в состояние ХІ» [5].

Пользуясь этим правилом, составим дифференциаль­ ные уравнения, например, для вероятностей состояний

50

изучаться © ібиологии <пря решении задач, связанных с оценкой численности популяций и анализом іпроцеоса распространения эпидемий. Математическая модель про­ цесса гибели и размножения оказалась всьма общей, и поэтому такие процессы получили широкое распростра­ нение во многих прикладных задачах.

Предположим, что система имеет конечное число состояний Хо, Хі, ..., xN. Пусть под воздействием пуассо-

Xk+i в биологических задачах соответствует увеличению

ционарными и обозначим интенсивности потоков, пере­ водящих систему из состояния хи в состояние Xh+i, через

стеме, характеризуется графом состояний, представлен­

52

В стационарном режиме вместо (2.45) имеем систему однородных алгебраических уравнений

Рь

Полученное соотношение является рекуррентным. Оно позволяет выразить значение вероятности pk+i через все предыдущие

»

Вероятность p0 , через которую выражаются вероятности всех остальных состояний, находится из условия норми-

53

Формулы (2.50), (2.51) позволяют по заданным интенсивностям Xk, цн определить финальные вероятности процесса гибели и размножения при конечном N:

Пример из теории надежности. Процесс гибели и раз­

множения может быть применен для изучения работы

Рис. 2.7.

сложных радиоэлектронных систем, в которых происхо­ дит восстановление отказавших элементов за счет имею­ щегося резерва. Рассмотрим пример идеализированной

г элементов. Предполагается, что рабочие элементы, рав­ но как и все остальные, одинаковы по показателям на­ дежности, причем время безотказной работы каждого элемента распределено по показательному закону (т. е.

54

поток отказов пуассоновский). Каждый элемент после отказа поступает в ремонтное устройство для восстанов­ ления. Пусть время пребывания в ремонтном устройстве также распределено по показательному закону с интен­ сивностью ір,. После восстановления элемент направляет­ ся в устройство резервирования, основная функция кото­ рого состоит в том, чтобы при отказе рабочего элемента замещать его работоспособным резервным элементом. Устройство резервирования содержит в себе резервные элементы, находящиеся в трех разных режимах. Из об­

ся в режиме рабочих элементов и, следовательно, отка­ зывают с одной и той же интенсивностью X; I элементов составляют резерв, работающий в о б л е г ч е н н о м ре­ жиме, и поэтому интенсивность ѵ отказов этих элементов меньше, Чем интенсивность X. Последняя группа элемен­ тов устройства резервирования — н е н а гр у ж е н н ы й резерв объемом s элементов. Предполагается, что в этом состоянии элементы не отказывают.

В целом рассматриваемая идеализированная система функционирует следующим образом: каждый отказав­ ший рабочий элемент мгновенно поступает в ремонтное устройство и мгновенно замещается элементом из нагру­ женного резерва; если ремонтное устройство переполне­ но, то отказавший элемент ставится в очередь; каждый вышедший из строя или перешедший в основное рабочее состояние элемент из нагруженного резерва мгновенно замещается элементом из облегченного резерва; каждый отказавший или перешедший в нагруженный резерв эле­ мент из облегченного резерва мгновенно замещается элементом из ненагруженного резерва; каждый восста­

полностью выполняет свои функции, если число исправ­ ных элементов не меньше п.

55

Параметры процесса гибели и размножения (<Хі,, ць) в данном случае оказываются непосредственно завися­ щими от номера состояния k. Действительно,

шое число частных случаев, распространенных на прак­ тике. Рассмотрим два примера из множества возможных вариантов и определим финальные вероятности со­ стояний.

1. Полное число элементов системы равно п, из них (п—т) находятся s рабочем состоянии, а остальные составляют натруженный резерв. Ремонтное устройство

Используя соотношения (2.50), (2.51), получаем

п(A. -J- (д.)'

2.Система имеет п рабочих элементов и неограни­ ченный ненагруженный резерв. Объем ремонтного уст­

ройства также неограничен. Для этого случая %h=nX, [ik—k[i. С помощью (2.50), (2.51) получаем

Пример из теории массового обслуживания. Проил­ люстрируем теперь использование марковского процесса гибели и размножения в теории массового обслужива­ ния. Рассмотрим математическую модель автоматическо­ го телефонного узла связи, проанализированную впервые Эрлангом (см., например, [5, 8]).

Пусть на вход системы обслуживания, которая имеет N каналов, поступает пуассоновокий поток заявок с ин­ тенсивностью X. Предполагается, что «ремя обслужива­ ния заявок в каждом канале распределено по экспонен­ циальному закону с интенсивностью ц. Если заявка по­ ступает ,в систему в тот момент, когда все N каналов за­ няты, то она остается необслуженной (система с отказа-

56

ми); если же заявка застает свободным хотя бы один

ч и с л о з а н я т ы х о б с л у ж и в а н и е м к а н а л о в не-

в состояние Xh+u и поток освобождений всех k занятых обслуживанием каналов, стремящийся перевести систе­ му в состояние Хи-і. Интенсивность потока освобождений

мнемоническое правило, выпишем систему дифференци­ альных уравнений для вероятностей состояний

% ^ = - * / > . ( ' ) + w \ W ;

57

Ее следует решать совместно с условием нормировки (2.47).

•По аналогии с (2.48) введем обозначения

системы обслуживания. Например, вероятность обслу­ живания заявки р о б е л равна вреояпности того, что.заяв­ ка застанет свободным хотя бы один канал р о б с л = 1 — P N - Среднее число занятых каналов < & > ' также вычисляет­ ся с помощью вероятностей (2.58) :

N

<é> = 2 kPk

Нетрудно также найти соотношения для среднего времени 'простоя канала, для вероятностей занятости и полной загрузки системы {5, 8].

®

2.5.Импульсные марковские процессы с дискретными

состояниями

В статистической радиотехнике, теории автоматиче­ ского регулирования можно указать целый ряд задач, в которых используются марковские разрывные процес­ сы и м п у л ь с н о г о хар актер а [3, 17—20].

Характерной особенностью большинства импульсных процессов является наличие опорного (в частном случае, нулевого) уровня, на котором начинаются и заканчива­ ются отдельные импульсы. Это обстоятельство непосред­ ственным образом отражается на матрице вероятностей перехода (2.33), которая в данном случае приобретает вид

P ( U + A0 =

(2.59)

Здесь в качестве опорного уровня выбран уровень (со­ стояние) с номером 1. Ненулевыми в матрице (2.59) яв­ ляются элементы, которые соответствуют переходам из состояния ХІ во все остальные; из состояний ХІ (іфі) переходы возможны только в опорное состояние ХІ и в самоё себя, остальные переходы запрещены. Одна из возможных реализаций импульсного процесса, описывае­

н о с т е й импульсов (равно как и пауз на первом уров­ не) является э к с п о н е н ц и а л ь н ы м с соответствую­ щей интенсивностью. Составляя по матрице (2.59) граф состояний и используя мнемоническое правило (§ 2.3),

59