Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

обладающий двумя свойствами — о р д и н а р н о с т ь ю								и
о т с у т с т в и е м			п о с л е д е й с т в и я .			Рассмотрим		эти
свойства		подробнее.
Поток		событий	называется	ординарным,			если вероят
ности	осуществления на бесконечно				малом отрезке време
ни M двух, трех и более событий pt					&t (i)	(i =	2, 3,...) пре
небрежимо малы			по сравнению с вероятностью-^ м ( 1 )
одного	события
		Л .	Ю	(< = 2 , З . - ) -			(2-2)

Физически условие (2.2) означает, что ординарный по ток— это поток относительно редких событий. Вообще при произвольном потоке для любого интервала (і, t+x) справедливо соотношение нормировки

		pt,A0)+pt,	,(i) + S			^ . Л 0 = і .				(2.3)
					1-2
где	pt	— вероятность		того,		что на г участке (t, t-\-*)
не	произойдет ни одного			события.						x=At
	С учетом (2.2) для ординарного						потока		при
соотношение (2.3)			приобретает вид
		Pt.AtW		+ Pt.tii1)™1-						(2-4)
	Найдем среднее число событий ординарного потока,
наступающих на интервале					времени		(i,	t+At):
		0-Pt.u<P)+l-Pt.uQ)			+	2-Pt. дЛ2) +			. . . +
		+ mpti	д < ( m ) + ... =			/?,_
Тогда среднее число событий в единицу времени										равно
Р<,д*(1)/Д£. Если существует предел этого									выражения,
то	он называется и н т е н с и в н о с т ь ю							ординарного по
тока K(t) :					[piiLi(l)!M].
		() = Um								(2.5)

Интенсивность X(t) может быть любой неотрицательной

функцией времени и имеет размерность		[l/сек]. В част
ном случае, когда %(t) =Ä,=const,	поток называется			с т а
ц и о н а р н ы м . У стационарного	потока	вероятность по
явления того или иного числа событий		на	участке	(t,
t+x) зависит лишь от длины этого участка			х и не зави
сит от t.

Второе основное свойство пуассоновского потока —

от с у т с т в и е п о с л е д е й с т в и я — свидетельствует

отом, что пуассоновский поток событий есть марковский процесс. Применительно к рассматриваемому потоку

свойство отсутствия последействия состоит в			том,		что
для	любых н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я	участков		длиной
Ті и	Т2 число событий, случившихся на	одном	из	них,	не

зависит от того, сколько событий произошло на другом.

Используя это свойство, можно показать

(см.,

например,

(1, 2]), что для нестационарного пуассоновского

потока

число событий,

попадающих

на

интервал

(t,

t+x),

рас

пределено по закону

Пуассона:

^ И ^ ^ ^ 1

' ' 1

(2-6)

Здесь A(t,

х)

—среднее число событий, наступающих на

интервале

(і,

t+x),

A{t,

t+x

X{t')dt'.

x ) =

(2.7)

Для стационарного

потока

t + z

A(t,

х) =

Л(т;)=

MÏ =

Xt,

(2.8)

и тогда

(2.6)

вырождается

широко известную фор

мулу распределения

Пуассона

Л И = ^ е Л

(2.9)

Стационарный

пуассоновский

лоток,

для

которого

справедливо

соотношение

(2.9),

называют

п р о с т е й

ш и м потоком. На примере простейшего потока

покажем

справедливость соотношения

(2.9) [3].

Выберем т = 0 и рассмотрим

два

интервала

(0, т) и

и (т, т + Д т ) ,

причем

Ат мало. В

силу

отсутствия

после

действия

вероятность того,

что

на

отрезке

-(0,

х+Ах)

не (произойдет ни одного события, 'равна

Л+ дДО)=Л(0)/>д*(0)-

( 2 л ° )

Но для

ординарного

потока

из

(2.4)

следует

/>дх(0)«

1 - ^ ( 1 ) -

(2.11)

так что
Перенесем	р^(0) в левую	часть	и разделим	обе части
равенства	на А-г. Затем, переходя к пределу			при Дт—Ю,
с учетом (2.5) получаем
	• AljW	= — Xp^Q).		(2.13)
Интегрирование этого уравнения			при начальном условии
Ро (0) = 1 приводит к соотношению
	РІ(0)=ІГ\			(2.14)

которое совпадает с (2.9) при т = 0. Аналогично можно доказать справедливость (2.9) для других т.

Найдем закон распределения интервала времени Т между двумя событиями в простейшем потоке. Совме стим начальную точку отсчета с моментом появления

			t
	Рис. 2.4.
произвольного события	(рис. 2.4). Вероятность того, что
на отрезке времени т	не появится	ни	одного	события
( т = 0 ) определяется (2.14). Вместе		с	тем эта	вероят

ность равна вероятности того, что случайная иеличина Т больше величины т:

Вероятность того, что Т<%, очевидно, равна
Я ( Г ь < х ) = 1 - Р ( Г > т ) = 1 _ : е - Х т .	(2.15)

Но вероятность Р(Т<х) по определению означает функ цию распределения (интегральный закон) случайной ве личины Т. Дифференцируя (2.15), получаем дифферен циальный закон распределения:

щ)(т) =	Я е _ х \ х > 0 .	(2.16)
Таким образом, в простейшем потоке интервалы вре
мени между соседними	событиями подчиняются	п о к а -

з а т е л ь н о м у	( э к с п о н е н ц и а л ь н о м у )	закону
с параметром	X. Показательное распределение	интерва

лов времени между событиями обладает одним замеча тельным свойством: если после очередного события про

шло уже некоторое		время	Х\,	то	закон	распределения
оставшейся	части промежутка			0	= 7"—ті	остается неиз
менным при любом		Т і > 0 ,	т. е.
		и,(Ѳ)=; яе-м .				(2.17)
Докажем	это свойство		(см., например, [4, 5]). Совме

стим начало отсчета с моментом появления некоторого

события и рассмотрим два интервала времени								(0, %\) и
(fi,	Ті + Ѳ).	Для		этих интервалов справедливо				соотно-.
шение (2.10):
				Р,1 + е(0) =	*Ч(°)М°)-			(2-1 8 )
	Кроме того, согласно (2.9)					имеем
Из	(2.18),	(2.19)		находим
			Р0(О) = ^		^	=	е - х \	(2.20)
что	полностью		совпадает с формулой (2.14), на					основа
нии которой был получен закон распределения								(2.16).
Следовательно,			выражение		(2.17)		верно.
Совпадение			распределений			w{x)	и ИУ{Ѳ) подтвержда

ет свойство марковости пуассоновского-потока. Дейст вительно, закон распределения ш(Ѳ) оставшейся части промежутка («будущее») не зависит от того, сколь долго

длится и н т е р в а л в р е м е н и	(0, ті) с момента	осу
ществления последнего события	(«прошлое»), но	при

этом плотность ш(Ѳ) зависит от Ті («настоящее»), так как величина Ѳ отсчитывается с м о м е н т а ті.

Из всех видов распределений интервалов между со бытиями только экспоненциальное распределение обла дает указанным свойством, следовательно, пуассоновский поток (в общем случае нестационарный) является единственным, который может определять моменты вре мени переходов в математической модели, описанной в '§ 2.1. Поскольку каждый пуассоновский поток пол ностью характеризуется интенсивностью \(t), то для полного задания разрывного марковского процесса с ди-

скретными состояниями необходимо располагать N зна

чениями	величины Х(ХІ, t)			( i = l , 2, ..., N).		При контину
альном	множестве		возможных состояний				марковский
разрывной		процесс	должен		определяться		функцией
Х(х, t).
Марковские процессы,				у	которых	интенсивность
является	функцией		состояний х, играют большую роль
в теории	массового		обслуживания и связанных с ней
прикладных		областях [5—8].

2.3. Дифференциальные уравнения для разрывных марковских процессов с дискретными состояниями

Итак, для описания системы с конечным числом со стояний N следует задать в общем случае N. пуассоновских потоков, которые характеризуют случайные мо-

^менты переходов системы из состояния в состояние. Однако для определения вероятностей перехода в систе

ме знания одних потоков, очевидно, недостаточно. Необ

ходимо еще	ввести в	рассмотрение о т н о с и т е л ь н ы е
вероятности	переходов	ац(і), которые являются услов

ными по отношению к факту возникновения скачка. Ве


роятность	ga(t) есть	вероятность		того,		что	система,
находившаяся до момента t в состоянии ХІ,						перейдет в со
стояние Xj	п р и у с л о в и и ,		ч т о	в м о м е н т			t п р о
и з о ш е л	с к а ч о к .	Таким	образом,		если скачок не
происходит, то система		остается в прежнем состоянии х\.
Это обстоятельство делает естественным					предположение

о том, что элементы главной диагонали матрицы отно

сительных вероятностей перехода Q(t)			следует положить
равными нулю, т. е.
	qu(it)=0	для всех	г.	(2 . 21)
Поскольку	матрица Q{t)	является	стохастической, то
для каждой	ее строки справедливо условие			нормировки

Запишем теперь собственно	вероятности переходов
в системе за малый промежуток	(t, t+àt), предположив,

что поглощающие состояния отсутствуют. Выберем не которое состояние ХІ, которым управляет пуассоновский 44

поток с интенсивностью li(t).						В силу малости				из (2.7)
имеем
	Ai(t,bt)=			t+àt	%i{t')dt'		=Xt{t)àt.
	Ai(t,bt)=			j	%i{t')dt'		=Xt{t)àt.
				t					интервале (t,
Тогда вероятность			отсутствия скачка					на	интервале (t,
£+ At)"согласно		(2.6) равна					R
	Pt.	At (°) = е _			Ч ( ° " * 1 -		k (0			(2-2 3 )
С учетом	(2.2),	(2.23)		вероятность			того, что на			рассма
триваемом	интервале			произойдет, скачок,					определяется
соотношением
			PtiU(l)*b®M.							(2.24)
Выражения (2.21) — (2.23)						позволяют		записать		вероят
ности перехода.из состояния ХІ В виде
		pii{t,t+M)				= \—%i{t)U,				(2.25)
		Pij{t,	t+ät)=U(t)btqijit).							(2.26)
Безусловная		вероятность pj(t+At)						того, что система
в .момент	t+At	окажется в состоянии Xj равна
	^ (*+• дд					[ 1 - я , (О Д*] +
			N
		+£		Pi{t)li{t)Atqu{t).						(2.27)

t=i

Перенесем pj(t) в левую часть, разделим обе части урав нения (2,27) на At и перейдем к пределу при Arf—>0. В результате получим

		N
^	= -li(f)Pi(t)+^Pi(t)lt(f)gm	0 = 1 . 2 , ...,#).

(2.28)

Система уравнений (2.28) характеризует изменение без условных вероятностей с течением времени. Впервые она была получена А. Н. Колмогоровым в работе [9].

Положим теперь

- Я , ( / ) = а и ( 0 ; M O t t H O ^ ^ j P ) . іфІ-

(2.29)

Коэффициенты üij(t) *) позволяют заіписать систему уравнений (2.28) в компактном виде

		dpi (0_<	N
		dpi (0_<			(2.30)
		dt	=1
		і	=1
или	в матричной	форме
		£ £ L =	P(*)-A(Q,		(2.31)
где	Р(і)—матрица-строка безусловных				вероятностей;
А(і)	—матрица,	составленная		из элементов ua(t).
Рассмотрим вывод системы дифференциальных урав
нений (2.30), основывающийся				на ином,	нежели (2.25),

(2.26), представлении вероятностей перехода. Предполо

жим, что при малом		любую вероятность перехода
можно записать в	виде
Pi){t,	t+At)	=	ôij+%ij(t)M,	(2.32)
где •ôfj — символ Кронекера;			Xij(t)—интенсивность	пу-

ассоновского потока, переводящего систему из состояния

ХІ в состояние Xj. Матрица				вероятностей				перехода с эле
ментами- (2.32) имеет вид
		P(f,f		+	Af)	=
"1 +	\ u (0 At	А1 2 (/) At			.	. .	Kw	(t) At
Х2 І	(/) At	1 + Х2І (t)At			.	. .	X2N	(t) At	(2.33),
									(2.33),
X,„ (t) At		Лот(0	à	t			1 + Х Ш ( 0 At
L "Ni		Лот(0

Форма записи вероятностей перехода (2.32) учиты вает ряд обстоятельств. Во-первых, при At—И) конечное состояние Xj совпадает с начальным х,-, т. е.

	Pü(t, '0 =6ij-,		(2.34)
во-вторых, при	\фі
			(2.35)
Соотношение (2.35) означает, что вероятность пере
хода из ХІ в Xj	( і ф і )	выражается	через интенсивность
*> Величины a.ij(t)At		называют инфинитезимальнымп (локаль
ными) переходными вероятностями.

kij(t)	пуассоновского		потока,			переводящего			систему		из
г-го состояния в /-е. Сопоставление							выражений			\2.26)	и
(2.35)	позволяет уяснить разницу						в	описании		системы.
В первом случае для каждого						состояния задается о д и н
пуассоновский поток с интенсивностью Xi(t)									и набор от
носительных		'вероятностей			перехода			qij{t).	Во	втором
случае	для	каждого	состояния задается						н е с к о л ь к о
(в общем случае N—1)				пуассоновских потоков,						перево
дящих систему из t'-ro состояния во все остальные.
Что касается «перехода» ХІ—*-Х{,								то, исходя		из усло
вия нормировки
	I ! Ра (t, t + M) =			S	[8„ +		Ut (t) Ы] = 1,
	/=і			/=і

откуда следует

N
S	а«()д = о.
Следовательно,
Xu (0 =	- 2 Ui (*) < 0-	(2.36)

Соотношение (2.36) противоречит определению интен сивности потока, приведенному в § 2.2, и поэтому функ цию А,ІІ(./) можно лишь условно назвать интенсивностью. Несмотря на это, выражение (2.36) хорошо согласуется с описанием протекающего в системе процесса при по мощи графив (см. ниже).

Подставим вероятность перехода (2.32) в уравнение

Колмогорова—Чепмена	(2.1):
Pii(ta, t + Д*) •= S	pa (fe„ t) [8ц +		Хц {t) At] ,=
= . р « ( ' о . 0 + Д ' І !		h){t)Pü{ta,t).
	г=і
Отсюда обычным образом получим			систему уравнений
d-M^n =	j^h{t)Pil(t0lt),		(2.37)

решение которой показывает изменение вероятностей пе рехода во времени. Начальными условиями для системы (2.37) являются соотношения (2.34).

Как уже отмечалось в § 1.3, промежуточный момент времени в уравнении Колмогорова—Чепмена можно выбирать произвольно. В частности, при записи выра

жения (2.1)	было положено, что промежуточный момент
t отстоит от	конечного момента t+àt на малую вели

чину Ы. Промежуточный момент можно выбрать вбли зи начального и рассматривать, таким образом, "момен

ты времени to, U+Ma	и t. Для этого случая уравнение
Колмогорова—Чепмена	(2.1)	примет вид
PU ('.. ') = S Pit ('..		Д*о) Ріі (to + ^ о . t).	(2.38)

Поскольку в соответствии с (2.32)

то	PU		+ д * 0 ) = 8 « + i n ( g д*0 ,

Pa	( W ) =	S	[8« +М	Со) А^о1 Рц Со +		Л'»- О =
		і=1
Отсюда	получим			w

	D A	^ B	, ° = ~	J ] ^ Со) PiikU,		t).	(2.39)
Системы уравнений (2.37), (2.39) описывают							один и тот
же марковский		процесс, но в первой из			них производные
берутся по настоящему времени t, во					второй — по на
чальному (прошлому) времени to. Систему							уравнений
(2.37) называют		п р я м о й		и говорят, что она			обращена
в будущее (приращение M отсчитывается						от настоящего

времени і). Систему уравнений (2.39) называют о б р а т- н о й или обращенной в прошлое (приращение А/ отсчи тывается от прошлого времени to). Систему уравнений (2.39) не следует путать с соответствующими уравнения ми, которые описывают марковский процесс в обратном течении времени (см. об этом [10, 11]).

Прямая и обратная системы (2.37), (2.39) впервые были получены в [9], поэтому их называют системами дифференциальных уравнений Колмогорова. В дальней шем мы будем использовать только прямую систему (2.37).

Из системы (2.37) легко получить уравнения для

безусловных	вероятностей	pj(t).	Действительно,		умно
жив обе части уравнения		(2.37) на начальное распреде
ление pi(t0)	и просуммировав		по всем і,	получим
dpi	(0. -^кЛі)M*)		( 7 = 1 . 2 ,	N).	(2.40)
dt

Здесь учтено, что

Система уравнений (2.40) полностью совпадает с си стемой (2.30), раскрывая тем самым физический смысл

элементов an(t).	когда Kij{t) =А,І3-=const, пуассоновские
В том случае,

потоки становятся стационарными и, следовательно, ве роятности перехода в системе не зависят от времени. Протекающий в такой системе процесс называется одно родным, а соотношения (2.40) превращаются в систему

дифференциальных уравнений	с п о с т о я н н ы м и ко
эффициентами
d-^=j]kMt).	(2.41)

Отметим, что стационарность пуассоновских потоков не влечет за собой стационарности процесса x(t). Процесс в системе будет всегда стационарным лишь в том част ном случае, когда начальные вероятности р*(М совпа

дают с финальными вероятностями.					Начальным			усло
вием для систем уравнений (2.40),				(2.41)		служит		матри
ца-строка вероятностей начальных				состояний			pj(io)		(/ =
= 1, 2,	..., N).	Решение указанных			систем		уравнений
осуществляется		с помощью	преобразования				Лапласа
(см., например, [5]).
После того как закончится переходный процесс, в си
стеме	(2.41) можно положить		dpj(t)/dt=0			( / = 1 , 2,			...,
N).	Тогда система дифференциальных уравнений вы
рождается в систему алгебраических					уравнений
		Т,ЬІРІ=0.					(2.42)

4—186

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
21.10.20239 Mб18Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf
#
27.10.202321.95 Mб4Казаков А.А. Электрическая централизация стрелок и сигналов учебник.pdf
#
27.10.202325.81 Mб31Казаков А.П. Технология и организация перегрузочных работ учебник.pdf
#
23.10.20237.95 Mб9Казаков Б.И. Благородные металлы служат человеку.pdf
#
29.10.20235.01 Mб8Казаков Б.И. Металлы рассказывают о себе.pdf
#
23.10.20237.76 Mб21Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
#
29.10.20234.24 Mб13Казанджан П.К. Турбины систем питания ЖРД.pdf
#
20.10.20237.87 Mб5Казанов, Д. Х. Подготовка квалифицированных рабочих кадров в рыбной промышленности СССР.pdf
#
23.10.20238.16 Mб7Казанский Н.В. Технология и организация строительства каменных зданий.pdf
#
21.10.20239.07 Mб43Казанский, В. Н. Системы смазки паровых турбин.pdf
#
29.10.20233.58 Mб9Казанцев И.И. Памятка строителю по качеству работ.pdf