книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

выражение (5.156) перепишем

в

виде

» ( ^ + ' . < + , . f l l Ç + ' )

=

1 ^ ( ^ , ^ , 6 = 1

I %)pQb+l-xk+

- % + 1 ) Х

—

1

I

X w (•**+!. Tlft+i I

%)

при

6 = ! ;

(

X f ( % 7 i

I %)s (^ft+.)

при

Ѳ = 0.

(5.157)

Проинтегрируем

(5.157)

по переменным jc0, JC, .... л* . ,,

^1о> мі.

Тогда получим

W (JCfc+1, x,t , •%+!.

б I ^о+ ') —

f

w {xh,

іщ, 6 = 1 I So)p(Sf e + 1 -•«*+!— % + . ) X

X ü ( * f t +i> TJft + i

I *ft> %)

П Р И

Ѳ = 1 ,

*»(&*+. I ig)

w (jCfc, Tift, Ѳ =

О I ф P (6ft+, -

%+.) X .

Х»Спк+і i % ) 8 ( ^ + . )

П Р И

6 =

0.

(5.158)

Плотности

вероятности

w (xn, t\u, Ѳ | ^ ),

входящие в

(5.158) , связаны

с

плотностями вероятностей

w (Xk,

r\h I Ѳ, б* ) по

формуле

условной

вероятности

ш (л*, Tis,

Ѳ I ^ ) =

о» (6 И* )да(Xft, in I 6, I * )

(5.159)

«у(е= 11

)=тя=7^-

И ѳ

= ° і ^ ) = г т ѵ

( 5 Л 6 0 )

Заметим,

что входящая в

правую

часть

выражения

(5.159) плотность

вероятности

w(xk,

% \ 5* , 6)

представ­

ляет собой

общую запись апостериорных плотностей ве­

роятности Wps(xk,

T|f t , k)

при Ѳ = 1

и

wps(y\h,

k) ô (хй ) при

Ѳ = 0, для

которых выше были получены рекуррентные

соотношения (5.74) и (5.16) соответственно.

w{xh+l,

jcf t l т ] , г + 1 ,

Tf|f t l

Ѳ I 6g+ I )

=

IK

— f\k+,)v{xk+1,i]h+i

I Хк,ци)

при

Ѳ = 1 ;

™ Ы «о, 0 =

0) Ь(Хь)?(Ін+1

-

I — ^ + І ) " ( Ч ' І + І

I

при

Ѳ = 0

ХУ

{хп+„

і\к+1

I л*, -фі) dxhdt\u

при

Ѳ = 1;

n j n ; jw

^

l^o •6 = Q ) P

-

%+.) X

[

X ü ( % + i

I -nft)o(JCf t + 1 )rf%

при

0 =

0.

(5.162)

стояниями x(t)

(интенсивности

управляющих

пуассонов-

ских потоков а*, $х) на фоне белого

шума

и

другого

марковского процесса с двумя состояниями r\(t)

(интен­

сивности

управляющих пуассоновских

потоков

и

р^).

Марковские

процессы [x(t),r\(it)]

и

r\(t)

характери­

зуются следующими априори

известными

матрицами

перехода:

~Р{Хі.Ъ

l!*].^) р{Хі,ъ'\хг<Ъ)

тР(х,,ъ'\ХиЪ)

Р{х,,-П,\х2у\^)~

Р (Ха.ѴІ Х,,7),)

Р (Ха-7 )! I *г,Ъ)

Р (*2'Ъ

1

Р (Х2ЛІ1

I хг'Ъ)

=

р(Хич\г

|Хі,7),)

|0(Х,,7)2 I Х2,-г),)

р{Х,,гі2\хицг)

р (Х,,7|2 |"Хг ,1Г|,)

-Р'Лх2,1\г\

JC,,T],) Д(Хг,К)г| Х2,7),)

р (х2 , 7]2

| X, ,Т)2)

р (Х2,7)2 | Х2,1)2)_

I - (ft. + «ч) àt

0

о

0

1-(«,+Рч)

àt_

(5.164)

I n f

JJ exp

(5)i+,—%+,)2

^

jp

(i)ft+, I % ) ® P s

(%.*)!

I V h + i

(5.166)

Используя разложения exp (—yAt)œl—yAt;

In (1 —

—yAt) x—yAt,

а также учитывая

(5.164), (5.165), после

громоздких выкладок ©место (5.166) получаем

Zk + i=iZk-\r-£-[(frl

+ 1

— Xl—l\i)'Wp3{xl,Hl'

£ + 1 )

+

+ (5/ [ + 1

— x, — T),)2вор, (л-„

т),, /г -f- 1) -f-(5..1 +1 — л', — T),)2

X

XWpsiXi,

\,, Ä + 1) +

(5Ä+ 1

- xt -

TIO^P«^*.

/ г +

1)

-

— (5ft+i — ^ , ) 2

^ ^ , -

/г - f 1) — (5..1+1 — 7)2 )2 шР 8 (ijs,

А + 1).

(5.167)

Переходя © (5.167)

к

пределу

(At—>-0) и. осущест­

вляя стандартные преобразования, получаем дифферен­

циальное

уравнение

dZdtt

=

<F

(Хг, щ , t)>

-

<F(V,

0 > .

(5-168)

где

<F

(Xi,

ЩІ, 0 >

=

J ] [2 (*< +

m) 5 (/)

-

(Xi-\-T]i)-]wps(xi,

ni,

t);

(5.169)

< F

(7!,, 0 >

= l j

^

- J

] [2^-5 (0 -

І

] o»p. ("К, 0-

(5.170)

it

Подобным

же образом можно получить уравнение

(5.168) и для

других случаев, например, когда х(і) и

Y[(t)

— диффузионные

процессы

или процессы с

конеч­

ным числом состояний. Кроме того, уравнение

(5.168)

справедливо и для случая, когда

сигнал и 'помеха

явля­

ются

функциями

от марковских

процессов.

При

этом,

очевидно," <F(x,y\,

і) >

и <F(r\,t)>

следует

определять

соотношениями:

<F (X,

ть t)>

= ±

j f {2Ü [5 (X) +

V (т,)] -

[S(x)

+

+

V ЫУ} WpS {х, л),

t)

dxd-q,

<F

(т,, 0 > = л^- J [ 2 ^ (Ч) -

У" Ш Wvs Ol, t) dy).

Важно

отметить,

что функции

< F ( x ,

т), t)> и

<F(r\,і/)>.могут

быть вычислены, если для каждого"мо­

= (£,-<F{x,

ъ

t)»wps(xu

Ъ\%>,

6 = 1 ) .

(5.171)

2j

=

(L0-<F(i\,

t)»wP5Cm

6 = 0),

где

(5.172)

L , =

L v r

(xu

m) + — {2Ü (t) [S (X, t) +

V (ть 01 -

[S(x,

t)-\-V(t\,t)]*},

(5.173)

К =

Lvr

Ы

+ N0 [2ty) V(Ti,t)-V°

(5.174)

Перейдем

теперь от уравнения

(5.168)

для логариф­

для логарифма

отношения

правдоподобия. Обозначим

z/i = lnAft, тогда

в силу (5.147)

Zfe = ln

-у+гь.

p

= <F{x.

т,,

t)>-<F(-n,t)>

Отсюда имеем

t

zt =

j ' [ < F (x,

т), t')> -

<F (T], * ' ) > ] dt'.

(5.1 75)

Для иллюстрации рассмотрим два примера.

1.

Пусть [14]

сигнал

детерминирован

S(x,

i)—S(t),

а помеха представляет собой марковский процесс с дву­

мя состояниями, определяемый выражениями

(5.86).

В таком случае априорное изменение

сигнала отсут­

ствует

(Lpr(x)=0)

и

операторы

(5.173),

(5.174)

прини­

мают вид

К -

LVr Ы

+ ^

(Я (0 [S (t) +

т, (0] - [S (t) +

7)

(t)f},

(5.176)

L 0

=Lpr

(TU) +

J -

{21 (t) TÎ (0 -

if (t)}.

(5.177)

L V 0

Конкретизируем уравнения

(5.171) —(5.174),

(5.150).

С учетом (5.176), (5.177) имеем

і-»(вій.в = і)—

„ ( 0 ^ , 6 = 1 ) + р » ы * г , в = і , +

+ а»(0 I І ,

b =

l)^[2Smt)-S"-{t)\-<F(S(t),

т,, * ) > } ;

(5.178)

< М ч 1 & 8 ! = 1)

,

,

Л

=

-

^ Ш

^ 1

5о > Ѳ =

1 ) + \

w

(°

I

&<>•

6 =

1 ) +

ш (т,

I ^

, Ѳ =

1 )

{ J - [25 (/) (5 (0 +

ч) -

-{S(t)+{i)Y]-<F{S(t),

т|, * ) > } ;

(5.179)

^ ( 0

1^,9=50)

,

dt

-

а

и»(0 I S0 , 6 = 0 )

+

—

ч

+ ' р ч ш (т]

I ^ , Ѳ =

0) +

w (0 I І

, Ѳ =

0) <F

(т,,

0 > ;

(5.180)

at

= - Р ч ° ' ( 1 1 I

• 9 = 0) +

+

ач ш (0

| ü< , Ѳ =

0) +

а>(і|

I ^ , 6 =

0)

X

[26(f) 1 -

Т] - К / 7

(1, 0 > } ;

(5-181)

| ? = < f

( S ( f M , < ) > - < ^ (Ч.0>.

'

(5-182)

где

< J F ( 5 ( r ) , 7 , , 0 > = < / ; ' ( x , 7 ) j f ) > = ^ ^ { 2 ç ( / ) [ S ( 0 +

»'=1,2

+

ri

-

[S (t) + -ЧіУ} ю Ы

. e =

i );

(5.183)

< ^ U ' ) > = 3 V 7 J

]

l 2 ( 0 l . - 4 > f a l « ! . Ö

=

()).

(5.184)

i=l,2

дый

момент

времени

вычисляет . вероятности

w (0 | Ь*0,

Ѳ =

1), Цт]

I ?0 , Ѳ =

1), w (0 I ,6=0), хю(у[\\[,

Ѳ=0) и на

15—186

217

ный гауесовский

процесс:

< \

(t)>

=

0;

</i v ( f ) ' S (t +

*) > =

^ 8 (x).

Операторы Li и L 0 согласно

(5.173), '(5.174)

принимают

в данном случае вид

+ {

2

5 (/) [S (t) +

Tj] -

{S (0 +

т,]8};

(5.185)

V

=

- ï

^

+

^ ^ г + З ^ І Ж ^ - Ѵ ] .

(5.186)

В

этом

случае

апостериорные

плотности

вероятности

т(щ

I

,

Ѳ =

1) и хю(тц I

, Ѳ =

0) являются гауссовски-

ми

(см. §

5.4).

(5.187)

^

- ( т + ^ ^ . +

Ж О ^ ;

(5.188)

a*2 (0 = % - 2 Y a ^ - 2 - ^ -

( 5 Л 8 9 )

Здесь 7)*,

и т)*0 — математические

ожидания

апостериор­

zt =

{2Ü (0 [S (t) + 7,\ - VU - S* (t) -

2S (t) ц \ -

- V l + V ? } - "

(5.190)

В стационарном

режиме, когда о*

(t)=0,

из (5.189) име­

ем

а - (0 =

? = 4- ѴК Г +

-

.

(5.191)

^

<5>

».

15,

<

«

. "

II

II

26'

см

it

S

I

с;