книги из ГПНТБ / Зелигер Н.Б. Основы передачи данных учеб. пособие

где б — величина смещения границы; .а — среднее квадратическое отклонение б, характеризует разброс смещений границ кодовых по­ сылок от их идеальных положений; .а2— дисперсия величины б.

На рис. 1:2 .показана кривая іраотіределения омещений ігранищ кодовой посылки. Смещение выражено в .процентах от длительно­ сти. Кривая симметрична относительно оси ординат (идеальная

Рис. 1.2. Кривая распределения искажений по нормальному закону (а = 0, ст = 0,025)

граница между посылками). При 6 = 0 /(б) = —т= > т. е. макси-

о у 2л.

мальная ордината кривой соответствует идеальной границе между посылками. При 6—>-±оо кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Кривая имеет точки перегиба при б=±кт. По мере удаления величины б от ее наивероятнейшего положения (смеще­ ния от идеального положения) плотность распределения смещений убывает.

Рис. 1.3. Кривые распределения искажений;

1 — а=0 , 0 = 0,025; 2 — а=0. о =0,05; 3 — а=0.05. о =0,025

10

Следует иметь в виду, что площадь, ограниченная кривой рас­ пределения .и осью абсцисс, равна единице, поскольку эта площадь определяется суммой вероятностей всех возможных значений слу­ чайных величин, образующих полную группу несовместимых собы­ тий. Поэтому форма кривой распределения f(8) будет зависеть от величины параметра о. На рис. '1.3 кривая 1 соответствует меньше­ му значению о (а=2,5% ), а кривая 2 — большему значению а (ісг= і5 %). Как видно, одна и та же площадь под обеими кривыми различным образом распределена между отдельными участками. В случае 1 большая часть площади сосредоточена вблизи наиве­ роятнейшего значения случайной величины, а в случае 2 площадь, сосредоточенная вблизи наивероятнейшего значения б, составляет небольшую часть общей площади. В первом случае разброс смеще­ ний границ кодовых посылок от их идеального положения мал, а во втором — велик. .

Параметр а может быть вычислен по формуле

(1.5)

где /Пі — повторяемость смещений границ, п — общее число изме­ рений, k — количество разрядов (интервалов) измерения. Отноше­ ние Iпіі/п согласно закону больших чисел при /г-*-оо сходится к ве­

1.3. Влияние систематических искажений на f(8)

ПОСТОЯННОЕ П Р ЕО БЛ А ДА Н И Е

где а — среднее значение или математическое ожидание случайной величины. Параметр а равен постоянному смещению границы ко­ довой посылки из-за преобладания и носит также название центра рассеивания или группирования.

Если изменять положение центра рассеивания в ту или иную сторону, то кривая распределения будет соответственно смещаться вдоль оси абсцисс, но форма кривой останется неизменной (рис. 1.3, кривая 3). Кривая 3 рис. '1.3 имеет точки перегиба при б= а±>о. Параметр а может быть вычислен по формуле

k

(1.7)

11

При а Ф 0 выражение (4.5) примет вид:

Для постоянного преобладания характерно двустороннее удли­ нение или укорочение кодовой посылки на величину 2а. Закон рас­ пределения смещений при двустороннем преобладании посылки

Рис. 1.4. Распределение искажений при двустороннем преобладании

f(önp) может быть получен объединением двух законов распределе­ ния f(ö-a) и /(б„), а именно:

Кривая распределения, соответствующая (1.9), приведена на рис. 1.4.

Х А Р А КТЕ Р И С Т И Ч Е С КИ Е И С КАЖ Е Н И Я

При передаче кодовой информации характеристические искаже­ ния, как и случайные, меняются по величине. 'Но случайные иска­ жения обусловлены факторами, которые в силу их случайного (не­ регулярного) действия не поддаются учету, а характеристические искажения обусловлены изменением сочетаний кодовых посылок, т. е. регулярно действующим фактором, поддающимся учету.

Поскольку число этих сочетаний ограничено конечным числом символов алфавита и смещение границ, вызываемое характеристи­ ческими искажениями, происходит непрерывно, то приближенно можно принять, что случайная величина 6хар в интервале -Ьбхарь

—бхар 2 подчиняется закону равномерной плотности. Для этого за­ кона

/(бхар) = (1. 10)

ихарі ' ' ÖxaP2

12

Закон распределения f ( бСум) смещений границ кодовых посылок, вызываемых суммарным воздействием случайных и характеристи­ ческих искажений, может быть найден [58] как композиция законов

(1.6) и (1.10):

распределений, построенная до данным табл. 1.1. Кіривая 2 ото­ бражает нормальное распределение с параметрами 0=0,025, а = =0,03, характеристическое искажение 6хар= |±7,5%.

Из (1.11) и результатов расчета видно, что закон распределения /(бсум) смещений границ кодовых посылок при суммарном воз­ действии случайных и систематических искажений является сим­ метричным и несколько отличается от нормального.

1.4. Определение закона распределения искажений по результатам измерений

Закон распределения искажений кодовых посылок может быть найден на основе экспериментальных данных. Для этого непрерыв­ ные смещения границ, происходящие под действием случайных факторов, представляют в дискретной форме и располагают в ста­ тистический ряд распределения. Преобразование непрерывной слу­ чайной величины в дискретную облегчает обработку результатов измерений. Методика обработки экспериментальных данных заклю­ чается в следующем. Численные значения смещений границ груп­ пируются в интервалы обычно равной продолжительности. Исходя из того, что в идеальном случае предельное значение смещения со­ ставляет 0,54ъ где to — продолжительность кодовой посылки, целе­ сообразно ширину интервала выбрать равной 0,05 іо- Повторяе­ мость смещений в пределах заданного интервала называют часто­ той, а отношение частоты к общему числу измеренных значений.— частостью. Частоту смещений относят к среднему значению интер­ вала.

Ряд распределения может быть представлен графически в виде гистограммы, составленной из отдельных прямоугольников, основа­ ния которых численно равны ширине интервала, а высоты — ча­ стости смещений. Таким образом, площадь прямоугольника числен­ но равна частости смещений в заданном интервале, а полная пло­ щадь гистограммы равна единице.

При построении гистограммы откладывают по оси ординат от­ ношение частости смещений к продолжительности интервала, про­ порциональное плотности распределения случайных смещений, а по оси абсцисс значения этих смещений. Пользуясь данными пер­ вичной обработки результатов измерений, определяют далее пара­ метры распределения по (1.7) и '(1.8) и рассчитывают по ним кри­ вую теоретического распределения.

Для расчета кривой удобнее от распределения величины б по нормальному закону (1.6) перейти к нормированному распределе­ нию, при котором величина б заменяется вспомогательной линей­ ной функцией

( 1. 12)

ст

тогда плотность .раопределения <р (t) выразится равенством

14

Ординаты кривой (1/13) табулированы. В таблицах [58], [9] даны значения функции cp( t ) для аргумента t от 0 до 3,99 или до 4,99. Плотность распределения f(ö) для любой (не нормированной) случайной величины б выражается через cp(і) таким образом:

Рис. 1.6. Сопоставление теоретического распреде­ ления искажений со статистическим

Сравнение теоретического распределения со статистическим в простейшем .случае осуществляется сопоставлением кривой теорети­ ческого распределения е .пиотоіпраммой (рис. Ь6).

Пример. Пусть все интервалы Дб смещений .границ кодовых посылок име­ ют одинаковую ширину, равную 0,05 U. При последующих вычислениях величина б выражается в процентах. Число повторений т( этих смещений в каждом ин­ тервале известно по результатам измерений. Требуется определить параметры распределения а и о, построить теоретическую кривую распределения /(б) и со­ поставить теоретическое распределение со статистическим.

Параметры а л о определяем, пользуясь (1.7) и .(1.8). Построение /(б ) про­ изводим в соответствии с (1.13) и (1.14). Результаты вычислений сгруппированы

15

Из рис. 1.6 видно, что кривая нормального распределения '/(б) достаточно хорошо совмещается с гистограммой. Но сравнение степени согласованности теоретического и статистического распределений путем сопоставления графиков распределений является приближенным. Более точное сравнение производится с помощью специальных ■«критериев согласия» [113], рассматриваемых >в курсах теории вероятностей, например, в [58].

1.5. Оценка степени искажения кодовых посылок

При изучении искажений кодовых посылок возникает необходи­ мость в выборе меры для оценки степени их искажения. Согласно рекомендациям МККТТ различают три меры для оценки степени

16

тельный интервал равен теоретическому. В общем случае — при наличии постоянного преобладания —действительный интервал может оказаться больше теоретического (график б), меньше теоре­ тического (график в) и равным ему (графики г иб ) .

ПІа

Рис. 1.7. К нахождению закона распределения степени изохронного искажения

В первом случае для удлиненного интервала закон распределе­ ния степени изохронного искажения /("би в) может быть найден как композиция двух законов f(5„t) и /( би/,), т. е.

18

•Поскольку все рассмотренные случаи являются равновероят­ ными, то закон распределения степени изохронного искажения /( биз) будет иметь .вид

Следовательно, .при отсутствии іпостоянного іпреобладання отешемь изохронного искажения следует нормальному закону распреде­ ления.

Зная закон распределения степени изохронного искажения (1.24) или (4.25), можно определить вероятность допустимой сте­ пени изохронного искажения.

Пример. Определим вероятность превышения краевым искажением степени

Пользуясь таблицами [16] для нормированной функции Лапласа, получим: Ра3= =0,5—Ф (10/5,66) « 4 - ІО-2.

19