книги из ГПНТБ / Зальцман М.М. Прочность и колебания элементов конструкций ГТД конспект лекций
.pdfми, т.е. такими, чтобы рабочие обороты не превышали критических. Такое стремление объяснялось желанием избежать сильной тряски двигателя при переходе через критические обороты. Однако борьба за снижение веса валов и корпусов ГТД приводит к уменьшению их жесткости и снижению пкр (особенно за счет податливости опор). С другой стороны, с целью уменьшения габаритов двигателей и их веса стремятся к увеличению рабочих оборотов. Поэтому на боль шинстве современных ГТД установлены гибкие роторы турбин, а на некоторых - гибкие роторы компрессоров (критические режимы для роторов компрессоров и турбин различны).
Гибкий ротор проходит критическое число оборотов в процес се запуска ЕЛИ разгона двигателя. Для получения гибкого ротора в систему вводят дополнительные упругие элементы с повышенной податливостью, о которых более подробно будет рассказано ниже. Преимуществом гибкого ротора являются также меньшие нагрузки на опоры от действия неуравновешенности по сравнению с жестким ротором. Недостатком гибких роторов является повышенный прогиб валов под действием инерционных сил и гироскопических моментов при эволюпиях и при посадке самолета. Во избежание задевания ротора о статор приходится увеличивать радиальные зазоры. В не которых конструкциях применяют огра ничители прогибов валов. Схема про стейшего ограничителя прогибов изо бражена на рис.8.6. Подшипник уста новлен в корпусе концентрично валу.
Между внутренним кольцом подшипника и валом имеется кольцевой зазор.При переходе через критическое число оборотов или в случае увеличения прогиба вала по другой причине, он опирается на подшипник и его прогиб ограничивается величиной загорал.
Особенностью ротора с гибким валом является то, что его можно уравновесить только для одной угловой скорости вращения, . но на других скоростях ротор оказывается, как правило, неуравно вешенным. Дело в тон, что если для жесткого ротора его дисбаланс, ввиду относительной малости прогибов, определяется, в основной,
величиной эксцентриситета центра масс (D=me |
) , то для гибкого |
|
20Г |
зависит также и от прогиба, который соизмерим с величиной экс— центриситета (ß=m(e+y). Сам же прогиб вала зависит от угловой скорости вращения. Чтобы уменьшить нарушение уравновешенности гибкого ротора при изменении угловой скорости,уравновепшвающие грузы располагают возможно блике к плоскостям действия неурав новешенных центробежных сил ротора. Еще лучшие результаты дает уравновешивание ротора на рабочих оборотах, но оно связано с рядом технических трудностей.
8.4. Связь критической скорости вращения с частотой свободных изгибннх колеоаний
невряічдтщегося вала с дисков
Выше мы связывали понятие критической скорости вращения с состоянием неустойчивого равновесия системы, которое и приводит к неограниченному возрастанию прогиба вала. Возможен и другой подход к этому вопросу.
У„
Зращение вала можно представить как результат сложения двух гармонических колебаний, происходящих з двух взаимноперпенджкулярных плоскостях и икепцнх одинаковую амплитуду уд =х -(рис.8.7). Проекции каждой точки зала на две взаимиоперпендикулярные плоскости за один оборот вала совершают одно полное коле бание. Поэтону движение проекции точки вращающегося вала на плоскости можно рассматривать как перемещение, аналогичное тому, которое происходит при поперечных изгибных колебаниях невращающегося вала. Силами, возбуждающими колебания вала, являются проекциЕ неуравновешенной центробежной сила на те же плоскости, в которых рассматриваются эти колебания. Действительно, проекции силы Р на оси X и у соответственно равны
P=PU |
sin са£ |
(8.8) |
|
|
|
Р |
=Р cos cor. |
202 |
У |
ч |
|
|
Эти гармонические возмущающие силы вызывают поперечные колеба ния вала одновременно в направлении осей х и у .
При вынужденных поперечных изгибных колебаниях вал имеет наибольшую амплитуду колебаний в момент резонанса. Ранее было установлено, что наибольший прогиб вала соответствует критичес кой скорости вращения. Существует определенная связь между кри тической скоростью вращения и частотой собственных поперечных изгибных колебаний вала. Для установления этой связи рассмотрим
•Уі
Рис.8.8. К определению частота свободных поперечных
' изгибных колебаний вала с диском
m
невращаюшийся невесомый вал с диском между опорами, совершающий поперечные изгибные колебания (рис.8.8). Массу диска m будем считать сосредоточенной в одной точке. Пусть прогиб вала в мес те посадки диска при гармонических колебаниях в данный момент времени равен у . Тогда при свободных изгибных колебаниях диф ференциальное уравнение движения в направлении оси у имеет вид
,2 |
|
(8.9) |
-/г? -=-У--Си=0. |
||
. d i z |
У |
|
В этом уравнении первый член есть инерционная сила диска с мас сой /77 при изгибных колебаниях,' а второй - сила упругого проти водействия вала, обладающего жесткостью С . Разделив левую часть уравнения (8.9) на m и обозначив - ^ - ^ получим
d'y |
(8.10) |
Решение этого ди$ферешдольного уравнения ножно представить в
У = Уо c o s Р 1 ' |
(в-И) |
где уо — амплитуда колебаний;
р- круговая частота свободных изгибных колебаний вала(ана логичное решение подучили бы, рассматривая поперечные
колебания вала в любом направлении). Круговая частота p=J^)& так как
203
,f i
то^>=«<э ,т.е. критическая угловая скорость вращения вала равна круговой частоте его свободных изгибных колебаний.
Полученное простое соотношение позволяет в некоторых слу чаях находить опытным путем критическое число оборотов вала (на невращакщемся роторе). Для этого надо с помощью вибратора привести вал в колебательное движение ж, меняя частоту возбуж дающей силы, определить резонансный режим, т.е. частоту собст
венных колебаний вала, а тем самым и критическое число оборотов. Кроме того, полученное соотношение является обоснованием доста точно простых и удобных методов расчета критических чисел обо ротов более сложных роторов. Следует, однако, тлеть в виду и разницу между резонансными упругими колебаниями и критической скоростью вращения. Дело в том, что при критической скорости вращения устанавливается определенный прогиб вала у и движение центра масс диска происходит по окружности радиуса у . При обыч ных поперечных колебаниях вал проходит периодически через равно весное положение. В первом случае напряжения и деформации в лю бой точке вала остаются постоянными по знаку, а во втором они знакопеременные.
8.5. Критическое число оборотов невесомого вала с несколькими дисками
Упругая система с невесомым валом при одном диске, заменяе мом сосредоточенной массой, имеет одну степень свободы попереч ных колебаний и одну соответствующую ей частоту свободных изгиб ных колебаний, а следовательно, и одну критическую скорость вра щения. Если на невесомом валу закреплены два диска в виде сосре доточенных масс, то такая упругая система имеет две степени сво боды, две формы поперечных колебаний, а следовательно, и две критические скорости вращения (рис.8.9). Вообще , при числе сос редоточенных масс, равном і , упругая система имеет і возможных критических скоростей вращения от первого порядка до і -го.
204
Критическая скорость вращения, соответствующая первой фор ме колебаний, называется критической скоростью первого порядка; критическая скорость, соответствующая второй форме колебаний - критической скоростью второго порядка и т.д. Более высоким фор мам колебаний соответствуют большие значения критических скорос тей. С ростом числа опор значения критических скоростей растут.
/- ÇF форм ее |
2-я |
фор* |
Рис.8.9. Форма колебаний двухопорного вала с двумя дис ками
В практических расчетах жесткого вала обычно необходимо знать только критическое число оборотов первого порядка.В слу чае расчета гибких валов желательно определение также критичес кого числа оборотов второго по
рядка для того, чтобы |
знать |
|
,ni. |
|
насколько оно удалено от рабо- J^Z |
|
|||
чих оборотов. |
|
|
|
|
Для определения критичес |
|
|
||
кого числа оборотов первого |
|
|
||
порядка системы из гладкого |
|
|
||
невесомого вала с несколькими |
|
|
||
дисками (заменяемыми сосредо |
1 |
* |
||
точенными массами) можно вос |
||||
пользоваться приближенным ме |
|
|
||
тодом разложения на элемен |
|
|
||
тарные системы (рис.8.10). |
|
|
||
Согласно этому методу крити |
Рис.8.10. Разложение сложной |
|||
ческое число оборотов сложной |
системы вала с несколькими дис |
|||
системы выражают через крити |
ками на элементарные |
системы |
||
ческие числа оборотов простейших систем: |
|
|||
/ - |
' . |
' |
+ |
(8.12) |
п2 |
|
|
205 |
|
кр |
|
|
КР* |
|
где |
|
n<f> |
- искомое критическое число оборотов сложной системы; |
пко |
' |
> ^кр |
~ кри™4 6 0 1 1 0 '6 число оборотов невесомого вала с одним |
' |
г |
і -диском. |
|
|
|
|
|
Выражение |
(8.12) является одним из видов полученной эксперимен |
||
тально формулы Донкерлея. Приближенность этой формулы состоит в том, что она не учитывает взаимное влияние дисков. Однако в ряде случаев она дает приемлемую точность при определении кри тического числа оборотов системы из нескольких дисков на глад ком валу. Формула дает несколько заниженное значение критичес кого числа оборотов.
8.6. Критическое число, оборотов весомого вала с несколькими дисками
До сих пор для простоты рассуждения вал считали невесомым. Поэтому выведенные для определения /7 формулы следует уточнить. Для этого определим вначале критическое число оборотов для весо вого вала без насаженных на нем дисков (такая задача может иметь и самостоятельное практическое значение, например, для валов трансмиссий).
8.6.1. Критическое число оборотов весомого вала
Рассмотрим наиболее простой случай, когда вал постоянного поперечного сечения (гладкий вал) установлен горизонтально на двух опорах и вращается с угловой скоростью и> (рис.8.II). Для
<mj4 |
1 ~ — ~ |
|
fWf |
такого вала возможно несколько форм |
|
L |
|
З Г |
упругой линии, отвечающих граничным |
||
: |
- |
|
-| |
условиям (рис.8.9), и соответственно |
|
1 |
M |
\ J |
\ I |
~~ существует несколько критических чи- |
|
|
т |
—^1 |
- |
-и |
сел оборотов. Определим критическое |
|
|
|
|
|
число оборотов первого порядка, т.е. |
к Р ^ е с к і о ° ч К Л о б о ? |
наименьшее, соответствующее первой |
||||
|
ротов вала |
|
форме упругой линии. |
||
Как было установлено выше, критическая угловая скорость численно равна круговой частоте свободных изгибных колебаний.
206
Для стержня постоянного сечения, каким является вал, при задел ке ко:щов, показанной на рис.Ö.II, частота колебаний по первой форме определяется по формуле [і,стр.489І:
|
r |
e y m, |
P e |
где E - модуль упругости материала; |
|||
U |
- момент инерции сечения вала; |
||
mf |
- масса единицы длины вала; |
|
|
£ |
- длина вала (расстояние между опораш). |
||
|
Для сплошного круглого вала диаметром d |
||
|
|
m > = f l T d |
' |
где jo - плотность материала вала;
Подставляя эти значения в формулу (8.13), получим
|
со = ^ 7 7 Ѵ 7 ~ |
'fce<- |
(8-I4) |
Критическое число оборотов вала |
|
|
|
Ч |
* it * ч - |
-о 5 / м и н • |
( 8 Л 5 ) |
Для полного вала с наружным диаметром Х> и внутренним d
чу*-?-*'). yfrp'-S)-
Подставляя эти значения в формулу (8.13),
а<гл7іЩШ\і/с"' (e-i6)
8 |
' |
L |
J |
2П7 |
|
|
|
|
В формулах (8.14-8.17) все величины приведены в основной размер ности: 2>,d и <? в м, £ 6 ѵ/мг, J> S кг/мЗ.
Для стального вала, подставляя численные значения Е и у>, получим
л к р |
* 1 2 , 5 |
. ш 6 |
^ л \ і + ( 4 А г |
', |
(8.18) |
|
•V |
|
£2 |
\ |
KD/ |
' |
|
где все размеры в см.
Формулы для определения критических чисел оборотов ступен чатых валов в зависимости от условий закрепления, приведены в работе [з].
8.6.2. Критическое число оборотов весомого вала с одним или несколькими дисками
Критическое число оборотов весомого вала с одним диском, расположенным посередине между опорами, может быть определено по формуле
|
|
30 |
I |
с |
' |
|
(8.19) |
|
Г>„„'КР = —л\X |
|/ та |
+т |
|
|||
где m у - масса диска; |
|
|
|
|
|
||
/?7 |
- приведенная масса вала; |
|
масса вала). |
|
|||
|
^"„„ „ =^ |
0,5 m |
„ |
{m- |
|
||
Можно воспользоваться также приближенной формулой Донкерлея: |
|||||||
|
і |
= |
1 |
+ |
* |
, |
(8.20) |
|
2 |
2 |
|
Z |
' |
|
|
где пк |
- критическое число оборотов ротора; |
|
|||||
/7 |
- критическое число оборотов весомого вала без диска; |
||||||
/? „ - критическое число оборотов невесомого вала с одним диском.
Критическое число оборотов шргодисковых роторов с учетом массы вала приближенно можно определить также по формуле Дон
керлея:' |
- |
" 208 |
|
где/7^- критическое число оборотов невесомого вала с одним і -
сдиском.
Точное решение задачи определения критического числа оборо тов многодискового ротора с учетом массы вала было дано академи ком А.Н.Крыловым.
Из формул (8.20) и (8.21) следует: критическое число оборо тов системы многодискового ротора с весомым валом всегда меньше критического числа оборотов той же системы с невесомым валом; увеличение числа дисков приводит к уменьшению критического чис ла оборотов. )
Как показали исследования, приближенная формула (8.21) дает отклонение от действительных значений критических чисел оборотов при гладком вале порядка А%, а при многоступенчатом - до І0>? в сторону уменьшения п .
8.7.Определение критического числа оборотов энергетическим методом
(методом Рэлея)
Этот метод дает более, точные результаты по сравнению с рассмотренным выше, особенно для многодисковых роторов при пере менном сечении вала по его длине. Он основан на допущении, что критическая угловая скорость вращения вала равна круговой часто те его собственных поперечных колебаний: cù^p (справедливость этого утверждения для невесомого вала с одним диском была' дока зана выше). При этом считают, что массы дисков сосредоточены в точках и не имеют Моментов инерции.
Круговая частота собственных колебаний определяется по ме тоду Рэлея из условия равенства максимальных значений потенци альной и кинетической энергий вала при изгибных колебаниях
209
( Пта!і = кта_і ) • Для нахождения потенциальной и кинетической
энергии вала |
нужно знать кривую прогибов вала при изгибных ко |
|
лебаниях. Достаточная точность расчетов получается, если за |
||
|
|
кривую прогибов вала взять его |
|
|
упругую линию при статической |
m |
m |
нагрузке от сил веса дисков и |
участков вала. |
||
На рис.8.12 показана схе ма вала с несколькими сосредо точенными массами т(,тгж т.д. и указаны максимальные откло нения этих точек при колебани-
Силы веса соответственно обозначены
Максимальная потенциальная энергия изгиба вала получается при максимальном отклонении от положения равновесия: -
(8.22)
или
9
При изгибных колебаниях вала перемещения точек в каждый мо мент времени можно выразить уравнениями
У,= y0f c a s Pl > |
Уг = Уагc o s Р1 |
И Т'Д- |
||
где у0 |
, у0... - амплитуды колебаний для каждой точки; |
|||
' |
р2 |
- круговая частота колебаний; |
|
|
|
£ |
- время. |
|
|
Найдем скорость перемещения каждой точки вала при колеба
ниях
—[^---РУО1ЛГ}РІ7 |
~dt~=~Py°2Str) |
Р |
ИТ'Л* |
Максимальная скорость, соответствующая моменту прохождения зала через положение равновесия
210