книги из ГПНТБ / Вальков К.И. Введение в теорию моделирования

Каждый шаг работающей машины доставляет 1 бит инфор­ мации. В целом образуется цикл информации / й 2 , который отождествляется с циклом J g i при помощи кодовой таблицы.

5. Продолжая аналогию с предыдущим параграфом, про­ цесс конструирования геометрической модели также полезно разделить на четыре основных этапа.

а) Первый этап — подготовка модели. Здесь производится выбор геометрических элементов, порождающих цикл инфор­ мации Jgi, а также выбор исходных элементов — параметров, определяющих работу машины М ь

В случае наличия готовой геометрической теории на этом первом этапе важно осуществить переход к чисто геометриче­

решение задачи, поставленной в рамках действующего геомет­ рического аппарата.

71

в) Третий этап — усовершенствование модели. Соображе­ ния, высказанные в разделе 2.3.5 б, сохраняют свою силу. Про­ стой иллюстрацией могут служить рис. 2.14 и 2.15. Соотноше­

Удобнее использовать соотношения Л ^ Р ^ О , /V( P,<0, требую­ щие только наблюдения за порядком следования точек Nt,P<. Поэтому практически целесообразно шкалу расстояний SP опустить на одну масштабную единицу вниз (рис. 2.15). Целый ряд специальных приемов, связанных с третьим этапом, будет освещен в следующей главе.

Потребность в этом возникает при достаточно интенсивной ра­ боте машины М2 . Геометрическая модель, выполнив свою вспо­ могательную роль, снова уступает здесь место модели веще­ ственной. Простейшим и самым распространенным овещест­ влением геометрической конструкции является чертеж. Об этом уже упоминалось в разделах 2.1.4, 2.1.5 (рис. 2.1). Осо­ бенно удобным оказывается специально подготовленный для

прямые, характеризующие скорость поезда и велосипедиста. Числовые пометки, стоящие возле этих прямых, позволяют

72

Ni, Pi. Заранее нанесенные (через одну масштабную единицу) горизонтальные прямые служат для сравнения высоты этих то­ чек. Жирными линиями показано одно из возможных решений. Окончательный ответ диктуется кодовой табл. 2.5.

Кроме чертежей и чертежей-номограмм в качестве техни­ ческих средств могут применяться приборы механическою действия, разнообразные оптические устройства и другие ана­ логовые машины.

До настоящего времени техника моделирования, базирую­ щаяся непосредственно на геометрических представлениях, развита очень слабо. Следует, однако, иметь в виду, что тех­ нические устройства, возникающие на этом последнем этане, обязаны моделировать исходный объект Oi по циклу информа­ ции Jg\, но вовсе не обязаны хранить на себе прямые следы проводившихся ранее математических рассуждений. Поэтому

Это обстоятельство отчетливо подчеркивается схемой про­ цесса, приведенной па рис. 2.11.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

АППАРАТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

§1. Линейные пространства

1.Основу любых геометрических воззрений составляет представление о пространстве. Непосредственный опыт способ­ ствует развитию геометрической интуиции и установлению по­ нятий о точке, прямой линии, плоскости, наконец, о простран­ стве в целом.

Геометрическое пространство характеризуется прежде всего своей размерностью. Понятие о размерности простран­ ства условимся базировать на инвариантной неопределенности и потому не будем стремиться к дальнейшим уточнениям. Естественно считать, что точка — это нуль-мерный, а прямая линия — одномерный образ. Минимальное количество одно­ мерных образов, необходимых для организации координатной системы в пространстве, может служить признаком (но не

73

и присоединим к нему еще одну точку А из R1. Получаем новый репер, определяющий пространство R k + l . Оно имеет с R1 только

если они не включены сами в пространство более низкой раз­ мерности.

мент Ф{ из указанного множества, будем применять следую­

мают общее положение. Отметим в каждом из них по одной

зов (3.1.1). Иными словами, положение точки А \ определяют

1 Образ Ф( может не пересекать Rs в действительных точках. Но в дан­

ном рассуждении различие между действительными и мнимыми элементами несущественно.

75

ных форм. Простейшие из них имеют размерность 1 и распола­ гаются на плоскости.

Каждый криволинейный образ, если он является объектом изучения, должен обладать определенными свойствами, позво­ ляющими выделить его из бесконечного множества других криволинейных форм. Иными словами, каждый такой образ FN связан с некоторым геометрическим аппаратом, состоящим из линейных пространств и доставляющим последовательно, фигура за фигурой, все элементы, принадлежащие FN. Криво­ линейный образ FN задан, если указан алгоритм его построе­ ния или, что то же самое, если указан его репер.

Рассмотрим, например, на плоскости геометрическую кон­ струкцию, включающую в себя три точки Sx, Q, S2 и две пря­ мые линии Sj и s2 (рис. 3.1). Алгоритм построения, доставляю­ щего элементы кривой линии /, заключается в следующем:

77

другие точки, принадлежащие /. Если на самом первом этапе

2.Алгоритм построения подразумевает наличие некоторого репера; из алгоритма, как мы только что видели, можно из­ влечь репер. С другой стороны, задание репера подразумевает наличие некоторого алгоритма. Бесполезно указывать репер, если неизвестно, как получить на основе его все другие элемен­ ты искомого геометрического образа. Один и тот же репер мо­ жет определять различные и несхожие во многих отношениях объекты. Например, пять точек определяют и многоугольник, имеющий пять вершин, и кривую второго порядка. Поэтому всегда полезно помнить об условном значении действующих здесь терминов и конкретных представлений: искривленное пространство FN зависит от выделенного репера; выделенный репер должен быть дополнен алгоритмом построения; алго­ ритм построения базируется на использовании линейных про­ странств R°, R1 . . . RP и, разумеется, на всей предшествующей этому инвариантной неопределенности.

3.Конструкцию, показанную на рис. 3.1, заменим аналогич­

ной фигурой, состоящей из трех прямых su s2, q и двух точек

78

Оно представляет собой пример одномерного нелинейного пространства, элементами которого служат прямые линии. Через каждую точку на плоскости проходят два элемента дан­

m, п, входящих в пучок второго порядка, позволяют фиксиро­ вать рассмотренную конструкцию. Пять прямых общего поло­ жения составляют репер пучка.

4. Повышая размерность пространства, содержащего не­ линейную форму, и вводя соответствующий алгоритм построе­ ния, нетрудно выделить кривое пространство двух, трех, четы­

Полученная прямая линия k представляет собой элемент множества. Совокупность таких прямых образует одномерное кривое пространство F1. Однако если рассматривать множе­

5. В качестве иллюстрации рассмотрим еще одно нелиней­ ное пространство F211 =F3.

В R4 фиксируем плоскости а, р\ у, 6, не принадлежащие вместе или по группам одной звезде R*-2' " (k = 0; 1). Алгоритм построения включает в себя пять операций:

79

Прямая т представляет собой элемент множества. Оче­ видно, она пересекает все четыре плоскости. Совокупность таких элементов образует пространство F2 / 1 . Так как каждая прямая линия является одномерным точечным пространством,

6. Пересечение нелинейных пространств с линейными про­ странствами и между собой определяет новые геометрические образы, размерность которых устанавливается с помощью со­

димо брать размерность точечных пространств и полученное число также относить к. точечному множеству, так как именно

мнимых. Ясно, что в любом случае размерность этого образа равна единице.

Те же самые соображения действуют и при оценке пересече­ ний двух нелинейных пространств. Две коники, расположенные в одной плоскости, имеют четыре общие точки. Размерность пересечения равна нулю (1 + 1 —2 = 0).

Разумеется, можно рассматривать также пересечения ли­ нейных и нелинейных множеств, элементами которых являют­ ся прямые линии, плоскости, трехмерные пространства и т. д.

и составим бесконечное множество, элементами которого явля­

составляют р-мерную поверхность, или /7-мерное пространство, FP—Fgl>l. Если р<п и существует линейный образ, который в

80