книги из ГПНТБ / Вальков К.И. Введение в теорию моделирования

моздкие геометрические образы, порождающие трудные, прак­ тически неразрешимые проблемы для исследователя. Геомет­ рия часто заходит в тупик там, где анализ открывает прямой путь для логики и действенного формализма.

Конечно, можно было бы продолжать и развивать далее подобные сопоставления, но в этом едва ли имеется необходи­ мость. Краткий обзор фактов, предложенных вниманию чита­ теля в этом параграфе, позволяет увидеть два параллельных пути математического моделирования: путь, основанный па применении геометрических методов, и путь, основанный на применении численных методов. На практике приходится до­ статочно часто прибегать и к геометрическим, и к аналитиче­ ским моделям, и к их разнообразным взаимным сочетаниям.

Методы аналитического моделирования рассмотрены в ли­ тературе весьма подробно (например, [24—27]). На базе их развивается почти вся современная вычислительная техника. Значительно беднее представлена в науке и технике область геометрического моделирования (например, [4, 5, 36—40]). По­ этому в дальнейшем, после изложения некоторых общих све­ дений об аналитических и геометрических моделях, описанию геометрического аппарата будет посвящена специальная глава.

§ 3. А н а л и т и ч е с к и е м о д е л и

1. Аналитический аппарат математики широк и разнообра­ зен. Специалист, вступающий в эту область, встречается с ве­ ликим обилием символом, терминов, понятий [28—35]. Арифме­ тика, алгебра, комбинаторика, дифференциальное и интеграль­ ное исчисление, матричное, тензорное, операционное исчисле­ ние, ряды и функционалы... — во всем, представленном здесь пестром многообразии, нам важно выделить одну общую черту:

аналитические конструкции представляют собой прямо или косвенно действующее числовые машины.

Рассмотрим, например, определитель

Существуют правила выполнения известных математиче­ ских операций, пользуясь которыми можно получить числовое значение величины Д, задавшись конкретными числовыми зна­ чениями величин йц [29]. В этом смысле определитель Д прямо

61

ком случае ее приходится подбирать на основе эксперименталь­ ных данных, подобно тому как подбирают ключ к закрытому

Если в эксперименте удалось зафиксировать несколько значе­ ний параметра Хц (вход) и несколько ответных значений пара­ метра ku (выход), то математическую связь параметров легко угадать, когда точки К\, Кг • • • Ki обрисовывают известную и сравнительно простую геометрическую форму, например кри­ вую второго порядка. В случае более причудливого расположе­ ния точек Ки Кг • • • Ki (рис. 2.10, б) поиск необходимой мате­ матической связи становится делом затруднительным.

Правда, изменив координатный код, можно привести полу­ ченную геометрическую форму к стандартному и сравнительно простому виду (2.2.12). Переформулировав — на основе дуа­ лизма числа и формы — высказанную мысль, приходим к вы­ воду, который несмотря на его тривиальность полезно принять

лезен именно постольку, поскольку способ измерения возво­ дится в принцип и абсолютизируется (2.2.3).

Как бы то ни было, но выбор особенно удобного координат­ ного кода или способа измерений сам по себе представляет проблему, которая может оказаться ничуть не менее легкой, чем прямой поиск аналитической модели. Дело еще более осложняется, если машину М2 не удается извлечь из арсенала готовых математических средств, если, иными словами, конст­ руирование модели требует конструирования нового матема-

63

тического аппарата. Такая задача обычно оказывается не по плечу инженеру или экспериментатору. Поэтому наличие теоре­ тического задела, опережающее практику развитие «отвлечен­ ного» математического аппарата является важным условием успешной деятельности в области научного и технического мо­ делирования.

Не всегда, конечно, эксперимент служит непосредственной основой аналитического моделирования. Когда математическая

объекта Oj на языке общей математической теории, после чего остается решить уже чисто математическую задачу. Получен­ ное решение и представляет собой искомую машину М2 .

П р и м е р. Требуется выяснить, успеет ли попасть на поезд велосипедист, выехавший из города N на станцию 5. Имеется сообщение, что час назад поезд вышел со станции Р. Расстоя­ ния между всеми пунктами и скорость движения велосипе­ диста и поезда известны.

Здесь объект Oi — совокупность интересующих пас явле­ ний: станции, дороги, поезд, велосипедист, часы, показываю­ щие время, и т. п. Объект О] передает два основных внутрен­ них (1.4.6) сигнала: прибытие поезда на станцию S, прибытие велосипедиста на станцию S. Эти два сигнала либо совпадают по времени, либо опережают друг друга. Таким образом полу­ чается множество результативных внешних сигналов, состоя­ щее из двух элементов:

а) велосипедист прибыл вовремя; б) велосипедист опоздал.

Объект О ь в зависимости от конкретных условий, реализует одну из этих двух возможностей, доставляя тем самым один бит информации (1.З.З.). При новых условиях доставляется но­ вая информация и т. д.; в целом образуется цикл информа­ ции /ft. По этому циклу информации и должно быть осущест­ влено моделирование.

Результативный сигнал, выдаваемый объектом О ь зависит от набора основных параметров: от расстояний, разделяющих п/ункты N и S, Р и S, от скорости движения велосипедиста и поезда. Значит, в исходном объекте Oi действует некоторая машина (1.4.3.). Ее и следует промоделировать искомой ана­ литической зависимостью.

64

Для получения искомой аналитической зависимости нет надобности и нет смысла проводить эксперименты. Достаточно опереться на существующую уже математическую теорию, описывающую равномерное движение материальных тел.1

упомянутая математическая теория.

Итак, совершим этот переход, т. е. выскажем поставленный вопрос в терминах действующих здесь математических соот­ ношений:

1 Ради выяснения сущности вопроса отвлекаемся здесь от всех подроб­ ностей и считаем движение равномерным.

ции Jki, а также выбор основных параметров, определяющих работу машины Mi .

В том случае, когда общее математическое описание объекта Oi уже готово, на первом этапе осуществляется пере­ ход к математической формулировке поставленной частной задачи.

подобрать готовую или разработать новую аналитическую за­ висимость. При наличии общего математического описания остается на этом этапе решить задачу, поставленную в рамках действующего математического аппарата.

в) Третий этап — усовершенствование полученной модели.

Конечно, усовершенствовать модель вовсе не обязательно; разумнее сразу получить ее в удобном виде. Однако на прак­ тике это обычно не удается и потому стремление повысить ра­ бочие качества модели часто оказывается вполне оправданным. Способы усовершенствования аналитических моделей трудно охватить одной общей рекомендацией. Во всяком случае здесь самое широкое применение находят известные математические

Если вместо прямой, плоскости и точки взять элементы, определяющие их в какой-либо системе отсчета, то на входе

Л3 . При--таком выборе системыотнесения на вход машины по­ даются параметры Кп Кг, L i , L3, Plt Q2, Ra, на выходе ее имеем параметры А \ , А 2 , Л3 . Косвенный характер действия машины выражается в том, что она работает при посредстве произволь­ но выбранной системы отнесения, или при посредстве вспомо­ гательных геометрических машин. Заметим, что геометрическая форма, взятая как единое целое (точка, линия, поверхность), может выполнять функции геометрической машины лишь кос­ венным образом, после введения некоторой системы отнесения

(ср. 2.2.10, 2.2.11).

2. Предположим, что изучению подлежит объект О ь при­ чем представляют практический интерес некоторые его прост­ ранственные характеристики. Уже отмечалось (2.1.3, 2.2.4), как часто приходится встречаться с подобными ситуациями. Изучая полет космического снаряда, мы стремимся выявить форму его траектории, плоскость орбиты, точку приземления; изучая работу парового двигателя, интересуемся взаимным расположением его частей, видом поверхности, которую опи­

68

о геометрических соотношениях или поскольку геометрические соотношения способствуют интуитивным восприятиям и на­ глядности, естественно привлечь к делу геометрические конст­ рукции.

аппарат, извлеченный из арсенала готовых математических средств. Ее приходится подбирать па основе эксперименталь­

менты. За строками этой таблицы нужно угадать соответст­ вующий геометрический алгоритм, построение. Как и в раз­

становится слишком привычной, возводится в принцип и абсо­ лютизируется.

Изготовление машины М2 еще более-осложняется и требует особенно интенсивных творческих усилий при отсутствии под­ ходящих для данных условий геометрических средств. Тогда встает вопрос о развита специальной теории; и это опережаю­ щее практику теоретическое развитие служит необходимой предпосылкой успешного осуществления процессов моделиро­ вания.

4. Совершенно так же, как и в случае аналитического моде­ лирования, исследование частных вопросов и задач, связанных с объектом О ь может проходить за рамками эксперимента. Однако предполагается, что общее геометрическое описание объекта, находящееся в прямой зависимости от эксперимен­ тальных данных, уже имеется в нашем распоряжении. При

69