книги из ГПНТБ / Вальков К.И. Введение в теорию моделирования

элемента из этого множества осуществляется с помощью сиг­

объектом Ог. Требуется сопоставить попарно элементы мно­ жеств М и N. Тогда любое сообщение, т. е. любая последова­

рация называется кодированием сообщения. И обратно, имея

М2 выдает сигналы иного рода, по способ кодирования нахо­

ности будем опираться при этом на пример «г» из предыдущего раздела (1.4.9):

Из сопоставления пунктов «а», «б», «в» видно, что термины «модель» и «код» обозначают явно различные вещи. Модель мыслится как один объект, позволяющий получать информа­ цию, код — обязательно множество объектов, попарно сопо­ ставленных между собою. Код тоже, конечно, доставляет ин­ формацию, а именно, информацию о порядке сопоставления элементов двух множеств. Но в этом смысле его естественно

1 Если удобно, в состав модели можно включить н телеграфиста, на­ жимающего на ключ. Однако нужно понимать, что это — дело условия.

Встав на путь расширения объекта или модели, можно продвигаться по этому пути сколь угодно далеко.

41

отнести к числу исходных объектов, поскольку предполагается, что такой порядок сопоставления элементов наблюдается или предлагается впервые, поскольку идея дублирования здесь не присутствует. Если же данный код Кп повторяет какой-то дру­ гой существующий код Кхи, то в этом качестве он, разумеется, выполняет функцию модели; тогда его функция, как кодирую­ щего устройства становится второстепенной.

г) Кодирование телеграммы — выбор кода, позволяющего заменять исходные сигналы (буквы) сигналами иного рода (движениями телеграфного ключа).

д) Кодирование слова или фразы или всего текста теле­ граммы — замена данной совокупности сигналов соответствую­ щей совокупностью сигналов иного рода.

е) Моделирование слова или фразы или всего текста теле­ граммы— передача указанной информации средствами мо­ дели.

Сопоставление пунктов «г», «д», «е» показывает, во-пер­ вых, что термин «кодирование» часто употребляется с двумя смысловыми оттенками, которые не следует смешивать. В слу­ чае «г» имеется в виду множество возможных кодов. Азбука Морзе, фактически используемая телеграфистом, является лишь элементом этого множества. В случае «д» код уже выб­ ран и изучен. Остается чисто техническая работа — кодирова­ ние и декодирование.

Сопоставление перечисленных пунктов показывает, во-вто­ рых, что термины «кодирование» (в смысле пункта «д») и «мо­ делирование», если не вдаваться в дальнейшие тонкости, прак­ тически совпадают по смыслу. В литературе они часто упо­ требляются как синонимы. В подобных ситуациях при прочих равных условиях мы будем предпочитать термин «моделиро­ вание».

11. Описывая процесс кодирования (1.4.9; 1.4.10), мы под­ черкивали необходимость попарного сопоставления элементов множества М с элементами множества N. Как обычно говорят, множества М и Л/ должны быть связаны взаимно однозначным соответствием. Соблюдение этого условия создает теоретиче­ ски идеальные условия для осуществления процессов модели­ рования с использованием сигналов иного рода. Каждому сиг­ налу su исходного объекта сопоставляется единственно воз­ можный сигнал s2l: модели и таким образом обеспечивается, по крайней мере в теоретическом плане, полная и точная пере­ дача информации. Поэтому во всех случаях, когда модель кон­ струируется, а код выбирается и никаких специальных стрем-

42

лений к искажению информации не наблюдается, сохранение взаимной однозначности в процессе кодирования рассматри­ вается как само собой разумеющееся условие.

Однако нередко модель предстает перед нами в качестве существующей данности, а действующий здесь код приходится устанавливать. Такое положение создается обычно при прове­ дении научных исследований, когда исходным объектом яв­ ляется одно наблюдаемое явление, а его моделью — другое наблюдаемое явление, как-то связанное с первым. В таких случаях взаимная однозначность кода, как правило, не обес­ печивается и может констатироваться лишь в порядке неожи­ данного и приятного исключения. Характерной иллюстрацией может служить медицинская диагностика: внутренние изме­ нения в организме моделируются внешними изменениями (при­ знаками). Но одни и те же признаки часто соответствуют раз­ личным внутренним изменениям, и наоборот. Другой типичный пример — черно-белая фотография. Фотография моделирует световые характеристики объекта, но многие различные по цвету его части порождают на фотографии один и тот же све­ товой сигнал.

Взаимно однозначный код можно рассматривать как про­ стейшую машину (1.4.3), работа которой зависит от одного па­ раметра. Табличная запись такой машины содержит всего два столбца—в левом столбце отмечены элементы первого мно­ жества, в правом — второго.

Более сложные машины, зависящие от многих параметров (ср. 1.4.6), равносильны более сложным, неоднозначным ко­ дам. В самом общем случае в левой и в правой части пред­ ставляющей машину таблицы содержится соответственно р и

пых элементов. Разумеется, использование неоднозначных ко­ дов снижает эффективность моделей. Научный поиск представ­ ляет собой в известном смысле непрестанную (и довольно без­ результатную) борьбу с неоднозначностью процессов кодиро­ вания.

12. Если в процессе моделирования код не требуется или удастся обойтись однозначным кодом, то полученная модель

43

ГЛАВА ВТОРАЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

§1. Значение математических моделей

1.Как видно из определения (1.4.1), главная функция мо­ дели— замена объекта 0[ по циклу информации /о- Потреб­ ность в такой замене возникает по многим причинам. Разнооб­ разие обстоятельств, заставляющих прибегать к использова­ нию моделей, столь велико, что нет никакой надежды охватить его простым перечислением и классификацией. Укажем здесь лишь несколько основных и характерных случаев.

д) Исходный объект О! неудобен или непригоден для пред­ стоящей процедуры. Модель 0 2 позволяет осуществить необ­ ходимую процедуру.

Читатель, вероятно, не затруднится привести один или не­ сколько примеров для каждого из перечисленных вариантов.

^ 2. В каких бы условиях и с какой бы целью ни исполь­ зовалась модель, практически всегда важно обеспечить ее воз­ можно более широкую универсальность, точность и рентабель­ ность.

Универсальность модели важна потому, что слишком труд­ но было бы для каждого нового объекта О] создавать новую модель 02 , прибегая каждый раз к новым идеям и к новым методам моделирования.

Значение точности, достоверности модели подсказано са­ мим ее назначением: заменять исходный объект. Конечно, ино­ гда модель может рассматриваться как первое и грубое при­ ближение. Но это означает только, что цикл информации /о, которую она должна воспроизводить, заведомо и преднаме­

ренно сужен. В пределах же предписанного ей более узкого

45

цикла Jo' cz / 0 модель все равно должна обеспечивать необхо­ димую точность.

Естественное требование рентабельности модели па-прак­ тике часто противоречит требованию ее универсальности. На­ пример, проще и дешевле промоделировать с помощью спе­ циального устройства только голос или только зрительный об­ раз лектора, чем и то и другое вместе. Практическая труд­ ность заключается обычно в том, чтобы удовлетворить в долж­ ной мере и.первое и третье требования к модели.

этим объектам.

Необозримое множество реальных явлений и процессов, поддающихся научному анализу, доступно для тех или иных измерений. Другими словами, все эти явления и процессы слу­ жат источником информации о различных количественных со­

поддающихся научному описанию, допускает также оценку с точки зрения формы и положения их в пространстве. Другими словами, все эти явления и процессы служат источником ин­ формации о различных пространственных, геометрических, со­

делей.

4. Высокоспециализированными и эффективными устрой­ ствами, способными доставлять информацию о количествен­ ных или геометрических соотношениях, служат, как известно, разнообразные математические конструкции. Собственно го­ воря, математические конструкции в чистом виде едва ли мож­ но назвать устройствами. Скорее, их следует назвать представ­ лениями, теориями, выводами, правилами. Но эти теории и правила столь неразрывно и традиционно связаны с некото­ рыми реальными их воплощениями — математическими запи­ сями и чертежами, что без большой натяжки можно говорить прямо об устройствах.

Математические устройства или конструкции обеспечивают высокую точность при передаче информации. Так, результат

46

вычисления но какой-либо алгебраической (или иной) фор­ муле может быть доведен до любого количества знаков после запятой, а геометрические прогнозы, предписания и оценки могут быть «доказаны». Кроме того, научной практикой по­ стоянно подтверждается, что в тех случаях, когда удается по­ добрать математическое устройство, действительно модели­ рующее данный исходный объект (явление), этот объект обыч­ но с большим постоянством и точностью повторяет поведение своей математической копии. Классическим примером служат фундаментальные физические законы, выраженные в матема­ тической форме. Следовательно, не только по критерию уни­ версальности, но и по критерию точности математические устройства очень хорошо приспособлены для целей моделиро­ вания.

Они отлично выдерживают проверку и по третьему важ­ ному критерию — по оценке рентабельности. В отличие от большинства физических агрегатов (механизмов, приборов и пр.), математические конструкции, как правило, хорошо со­ вмещают универсальность с рентабельностью. Простота ма­ тематических выводов не противоречит их общности. Матема­ тические теории и правила относительно дешевы. Правда, сюда не входит оценка интеллекта, их создающего. Как бы то ни было, математические устройства исключительно широко ис­ пользуются для целей моделирования, и это служит косвенным подтверждением их целесообразности.

5. Благодаря своим высоким показателям по трем перечис­ ленным выше, а также и по некоторым другим критериям математические модели получили чрезвычайно большое тео­ ретическое и практическое значение. Математическое модели­ рование проникает теперь буквально во все области знания. Многие специалисты считают, что научная дисциплина дости­ гает определенной зрелости лишь в тот момент, когда она обращается к использованию математических моделей. Вся современная теоретическая физика сводится в известном смысле к конструированию математических моделей. Матема­ тический аппарат служит основой новейших химических тео­ рий. К математике обращается за помощью и биология и ме­ дицина. И уж, конечно, вне математических моделей невоз­ можно представить себе развитие техники и инженерного дела.

Существенной особенностью математической модели яв­ ляется ее отвлеченный характер. Как уже упоминалось (2.1.4), имеются весьма традиционные математические устройства, с которыми невольно и почти неизбежно отождествляется любой

47

либо указать способ кодирования, способ выявления правого элемента таблицы при наличии левого.

Первый вариант измерения обычно мало удобен для непо­ средственного использования. Он пригоден лишь для строго конечных (и потому обязательно дискретных) множеств. При­ мер: набор гирь для взвешивания предметов. Роль левого столбца таблицы выполняют сами гири. Роль правого столбца таблицы выполняют числа, проставленные на гирях и указы­ вающие их вес.

Второй вариант измерения имеет самое широкое распро­ странение. Обычно способ кодирования сводится к выбору масштаба, т. е. некоторого стандартного сигнала S \ m , и к сопо­ ставлению с этим масштабом всех других измеряемых интенсивностей. Разумеется, сопоставление $н и sim осуществляется посредством каких-то заранее регламентированных действий.t Пример: измерение температуры вещества. В качестве мае-, штаба выбирается (грубо говоря) интенсивность нагревания _ воды при переходе ее в нормальных условиях от состояния' плавления до состояния кипения. Сопоставление с принятым масштабом производится с помощью хорошо известного спе­ циального устройства —термометра.

действий и в заключение применяется измерительная шкала (шкала термометра, циферблат часов, весовая шкала, изме-

50