книги из ГПНТБ / Вальков К.И. Введение в теорию моделирования

Рекомендуется подробно изучить эти записи, воспользовав­

7. Понятие об универсуме, разумеется, тесно связано с по­ нятием об инвариантной неопределенности. Фиксировать уни­ версум — это значит фиксировать соответствующую ему инвариантную неопределенность. Весьма заманчивой, хотя и су­ щественно далекой аналогией здесь может служить соотноше­ ние, существующее между множеством и его абсолютным до­ полнением. Как только выделено множество М, так сразу же определено и его абсолютное дополнение. Как только выделен универсум, так сразу же принята инвариантная неопределен­ ность.

Эта аналогия может быть продолжена. Абсолютное допол­ нение не есть внутреннее свойство множества М, но есть его связь с универсумом. Допустив изменения универсума, будем

ность не есть внутреннее свойство универсума, но есть его связь с одним из аспектов реальности. Различные аспекты реально­ сти дают различные инвариантные неопределенности при од­ ном и том же универсуме.

Намеченная аналогия существенно ограничена тем обстоя­

1 Подобные схематические изображения известны в литературе под име­ нем диаграмм Венна или кругов Эйлера.

21

(рис. 1.8). Универсум — прямая линия /, содержащая АВ. От­ метим еще множество N — точки отрезка CD. Рисунок показы­ вает, что М п N—0. Абсолютным дополнением для М служит совокупность точек, лежащих на прямой / и не входящих в от­ резок АВ. Сходным образом выглядит абсолютное дополнение для множества N.

Изменим теперь универсум, отождествив его с точками плоскости а, проходящей через I. Тотчас меняется и абсолют­

важно отметить сейчас другое обстоятельство. Пересечение за­

ством, или сечением, универсума а. И полученные внутри /

объединений, пересечений, включений и абсолютных дополне­ ний. Такие действия составляют предмет изучения в алгебре

Прибегая к намеченной выше аналогии, стоит попытаться обобщить и распространить эти соображения на случай уни­ версума научных теорий, инвариантной неопределенности и различных аспектов реальности.

22

можно произнести эту букву вслух; записать ее на бумаге рус­ ским или каким-либо другим шрифтом или, вообще, условным обозначением; отметить ее количеством ударов, обозначающих ее порядковый номер в алфавите, и т. п. В любом случае для выделения элемента множества используется какое-то кон­

станции: одна создает или передает сигнал, другая его воспри­ нимает. Говорить и мыслить об информации имеет смысл лишь

совокупность букв русского алфавита. Второе множество М2 — страницы учебника, содержащего всего 512 страниц. Третье множество М3 — поля шахматной доски. Выделим по одному

ственно сравнить затраченные при этом усилия?

В практическом, в физическом смысле такое сравнение, оче­ видно, невозможно или оно будет носить совершенно случай­ ный характер, так как будет зависеть от способа передачи сиг­ налов. Например, указывая букву, произнесем ее; указывая страницу, откроем книгу (предварительно перелистав ее) в нужном месте; указывая поле шахматной доски, поставим на пего шахматную фигуру. Сравнивать между собою (да еще ко­ личественно!) эти физические действия трудно и нецелесооб­ разно. Но если отвлечься от внешних различий и обратить вни­ мание на то, что в первом случае имеем множество, содержа­

23

масштабной единицы, тоже, конечно, условен. Можно было бы при сохранении масштаба объявить мерой информации / чи­ сло я/2 или У/г ит. п. Предложенный выше способ подсказан практикой. В его удобствах легко убедиться, решая различные конкретные задачи.

З а д а ч а 1. В одном соревновании участвуют 16 человек, в другом 8. Какую информацию доставляет сообщение о побе­ дителях соревнований?

из которых может быть зажжена или потушена. Сколько нуж­ но иметь лампочек, для того чтобы передавать с их помощью календарные сведения о числах текущего месяца?

Р е ш е н и е . Каждый месяц включает в себя не более 31 дня; log"2 31 ^ 4 , 9 бит. Каждая лампочка передает 1 бит информа­ ции; 4,9 : 1 = 5 лампочек.

Действительно, ряд из пяти загорающихся и гаснущих лам­ почек позволяет набрать 32 различные комбинации сигналов, любой из которых согласно условию может обозначать некото­ рое число от 1 до 32.

тельно, из двух чисел 8 и 4 нужно с помощью каких-то действий получить третье число — 64.

Во второй задаче получаем 31 : 2 = 15,5; 2 : 2 = 1 . Следова­ тельно, из двух чисел 15,5 и 1 нужно с помощью каких-то дей­ ствий получить число 5. Простого пути для объяснения этих двух и других возможных ситуаций не усматривается.

Пользуясь указанными приемами и возвращаясь к вопро­ су, поставленному в 1.3.2, можем теперь ответить на него вполне определенно: /1 = 5 < / з = 6</г = 9.

5. Подсчитывая количество передаваемой информации, по-

25

счета. Выбрав одну систему отсчета, приписываем предмету одну скорость; выбрав другую систему отсчета, приписываем ему другую скорость. В частности, отождествив предмет с си­ стемой отсчета, можем считать, что он находится в покое. Иными словами, наблюдателю удается измерить и количест­ венно выразить не абсолютную скорость, а относительную; удается зафиксировать только разность в поведении двух не­ посредственно данных реальностей: системы отсчета и движу­ щегося предмета.

Так же точно и при измерении количества передаваемой информации удается зафиксировать не абсолютную, а лишь относительную информативность события, прямо связанную с системой отсчета, присущей наблюдателю. В одной системе от­ счета событие может доставлять большое количество инфор­ мации, в другой системе отсчета его информативность может быть равна нулю. Числом log2 n измеряется разность двух со­ стояний, имевших место до наступления и после наступления данного события.

6. Предположим, что событие хг- доставляет информацию двум наблюдателям. Первый наблюдатель получает 5 бит информации. Второй наблюдатель получает 1 бит информации. Спрашивается, который из них лучше подготовлен к восприя­ тию события, обладает большими знаниями?

Поскольку термин «информация», даже в том своем мате­ матическом аспекте, в котором он обычно используется в со­ временной научной и технической литературе, близок но смыс­ лу к терминам «сообщение», «сведения», «знания» и т. п., по­ стольку сформулированный вопрос представляется вполне за­ конным. И действительно, этот вопрос возникает и обсуждается многими авторами с различных точек зрения (см., например [12—17]). Приходится признать, что обсуждение его приносит не слишком много ясности. Причины этого явления заслужи­ вают пристального внимания.

Пусть имеется двадцать сортов яблок и двенадцать сортов груш. Событие Xi заключается в выявлении плода, принадле­ жащего к указанному ассортименту. Специалист-агроном, умеющий различать все сорта, получит при этом 5 бит инфор­ мации. Несведущий покупатель, умеющий отличать лишь яб­ локо от груши, получит 1 бит информации. Следовательно, при прочих равных условиях количество полученной информации возрастает вместе с возрастанием подготовленности и знаний наблюдателя.

Рассмотрим теперь другой пример. В беговых соревнова-

27

ниях участвуют 32 лошади. Событие х, заключается в выявле­ нии рысака, показавшего самые лучшие результаты. Несведу­ щий зритель, узнав призовой результат, получит, очевидно, 5 бит информации. Специалист-коневод, хорошо знающий уча­ стников соревнования и предвидящий, что серьезная борьба за первое место может разыграться только между двумя ло­

Эти два прямо противоположных вывода отражают диалек­ тику процессов познания и служат причиной трудностей, воз­ никающих при обсуждении поставленного выше вопроса. Они отражают, разумеется, и диалектику самого понятия «знание». Знание как движение вперед, как выявление новых признаков и условий, как приобщение к бесконечности всегда связано с первым вариантом (больше знаний — больше информативность событий). Знание, как закрепление усвоенного, как обраще­ ние к инвариантной неопределенности (1.1.5), как погружение в конечное связано со вторым вариантом (больше знаний — меньше информативность событий). В реальной действитель­ ности приходится иметь дело и с той и с другой стороной про­ цесса познания. Практически важно избежать здесь всякой односторонности и усвоить, что всякое конкретное знание яв­ ляется одной из граней, формирующих область невежества.

7. Если имеется в виду бесконечное множество {xi . . . со} и выделяется один его элемент х,, то согласно данному выше определению количество доставляемой информации оказы­ вается бесконечно большим. На практике с такими ситуациями встречаться никогда не приходится. Вся поступающая инфор­ мация проходит через органы чувств (или через имитирующие их автоматические устройства), а органам чувств доступно лишь конечное множество отличимых друг от друга сигналов.

С бесконечными множествами мы имеем дело в отвлече­ ниях, чаще всего в математических рассуждениях. Но выде­ лить элемент такого множества все равно никогда не удается. Например, плоскость содержит бесконечное множество точек. Выделим одну из них, отметив ее карандашом на листе бу­ маги. В таком случае речь пойдет уже не о плоскости, а о листе бумаги или о поле зрения, которое, как уже было ска­ зано, содержит конечное число элементов.

Назовем какое-нибудь число. А^ожет показаться, что таким

28

способом нетрудно выделить элемент бесконечного множества. Однако множество чисел ограничено множеством существую­ щих их названий; название числа «акрильои» не несет никакой информации, так как слово «акрильон» просто никому не из­ вестно. Если же вместо названия числа использовать косвен­ ное его описание (например, «два в степени миллион»), то речь пойдет о множестве всех чисел, поддающихся словесному описанию. Несмотря на огромные размеры этого множества, оно все же конечно. Нельзя также записать в символах любое число, так как здесь окажут влияние ограничения в количестве известных символов, в обозримости этих символов, во времени их написания и т. д.

Иногда высказывается мнение, что математические утвер­ ждения несут в себе бесконечное количество информации (см., например [15]). Для обоснования этого мнения рас­ смотрим теорему: «В прямоугольном треугольнике квадрат ги­ потенузы равен сумме квадратов катетов». Поскольку теорети­ чески можно предположить бесконечное множество различных соотношений, связывающих между собой размеры гипотенузы и катетов в прямоугольном треугольнике, а теорема выделяет из этого множества одно единственное соотношение, постоль­ ку ее содержание доставляет, очевидно, бесконечно много ин­ формации.

Более тщательный анализ показывает, однако, что теорему Пифагора следует рассматривать либо как случайный, хотя и осмысленный набор слов, либо как научный вывод, обоснован­

ства, состоящего из всевозможных наборов слов, и доставляет конечное количество информации. Во втором случае теорема с необходимостью вытекает из своех предпосылок, она порож­ дена научным знанием, научным предвидением и потому вооб­ ще не содержит в себе никакой информации (ср. рассуждение о- конных соревнованиях в разделе 1.3.6).

Итак, несмотря на важную роль, которую бесконечные мно­ жества играют в научных и прежде всего в математических по­

8. В то же время легко указать примеры таких сообщений, информативность которых подсчитать невозможно. Не потому невозможно, что это практически трудно или требует слишком больших затрат времени, а потому что не существует фор-

29

мальной процедуры, позволяющей выявить размеры исходного множества.

Назовем какое-нибудь число, например 5. Какую информа­ цию приносит это сообщение, как велико исходное множество чисел? Формальный перебор всех названий чисел и всех их словесных описаний ничего не даст, так как здесь мы неиз­ бежно будем сталкиваться с математическими определениями, а поиски смысла этих определений поведут нас в бесконеч­ ность (§ 1.1). Поэтому всякое конкретное утверждение отно­ сительно размеров исходного множества может быть подверг­ нуто сомнению и в конце концов опровергнуто.

Вернемся к задаче 1 (1.3.4). Какую все же информацию доставляет сообщение о победителях соревнований? Было уже отмечено, что размеры исходного множества зависят от систе­ мы отсчета. Никаких формальных оснований для предпочти­ тельного выбора одной системы отсчета из числа всех других не видно. Следовательно, и здесь подсчет количества инфор­ мации не может быть завершен и неограниченное продолже­ ние процедуры уводит нас в бесконечность. В свете этих сооб­ ражений операции с бесконечными множествами представля­ ются неустранимым проявлением реальности и всякий подсчет количества информации базируется фактически на сопоставле­ нии бесконечных структур.

9. Выводы двух предыдущих разделов полезно подкрепить какой-нибудь аналогией. В данном случае хороший материал для сравнения дает измерение интервалов времени. Практике доступно измерение лишь конечных интервалов времени. Лю­ бой наблюдатель, измеряющий время, имеет свою систему от­ счета, в которой он может зарегистрировать и количественно оценить протекший промежуток времени.

С другой стороны, невозможно ответить на вопрос: «Какое время зафиксировано событием, происшедшим 17 сентября 1937 года?» Всякое конкретное утверждение относительно дли­ тельности промежутка времени, определяемого этим событием, может быть подвергнуто сомнению и в конце концов опроверг­ нуто. Никаких формальных оснований для предпочтительного выбора одной системы отсчета времени по сравнению с другой системой отсчета не видно. Последовательный перебор этих систем отсчета уводит в бесконечность. Приходится признать, что операции с бесконечными промежутками времени являются неустранимым проявлением реальности и всякий подсчет дли­ тельности интервалов времени базируется фактически на со­ поставлении бесконечных структур.

30