Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вальков К.И. Введение в теорию моделирования

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

вольно. Через	фиксированные		прямые a,	b	проводятся плос
кости у = а-А	и 6 = 6-6. Линия		/==-уХб	пересекает		фиксиро
ванную плоскость а и дает на		ней ответный			элемент	F = / X a .

Хотя позиция наблюдателя, принятая во втором случае (ср. рис. 3.24), здесь сохраняется, тем не менее в проекции возни кает распавшаяся машина. Итак, размерность пространства (информированность наблюдателя), позиция наблюдателя и структура машины Mi — к а ж д ы й из этих факторов может ока зывать решающее влияние на характер машины М2 , возникаю щей на картине.

Повышение размерности исходного и картинного про странств, усложнение машины Mi и действующего проекцион ного аппарата приводит к трансформации и усложнению кон кретно возникающих связей, но не нарушает установленных выше общих закономерностей.

2=3

Рис.	3.27	Рис. 3.28
6. Смысл замены совершенной машины M [ C i i ? n			совершен
ной машиной	M 2 c r / ? m	практически заключается	в том, что

использование второй машины приводит в определенных усло виях к тому же результату, что и при использовании первой. Нам предстоит сейчас выяснить, при каких условиях дости гается такой эффект.

Обратимся еще раз к рис. 3.23. Введем в ^ 3 систему отне сения, благодаря которой удается по шести исходным пара метрам зафиксировать элементы входа машины—точки А и В. На рис. 3.28 показана одна из таких систем — проективная

121

система координат (ср. 2.2.7 и 2.2.8). Вершину звезды S ' ' , посредством которой осуществляется операция проектирова

ния, поместим в точку Z — одну	из вершин	координатного
тетраэдра. Тогда, как легко понять, звезда 5 ° ' 1 ,		3	входит в со
став геометрических образов, координирующих		пространство
R3. Предположим, что картинное	пространство	/?2	= а и плос

кость а охватываются частью той же самой координатной си стемы, что и R3. Иными словами, треугольник OXY принадле жит плоскости а и принят в ней за систему отнесения, а тре

угольник

OYZ принадлежит

координирует

ее.

Единичная

точка

Ея

является

проекцией

единичной точки

Е 1

из центра

Zs=S

на а

и т. д.

При указанных условиях машина Mi на каждом

конкрет

ном этапе своей работы выполняет следующую

операцию:

(хи

ух

z\\

х2,

г/г,

г 2 ) - » - ( « / з ,

А ее проекция — машина

М 2 — выполняет в это же время со

ответствующую «подоперацию»:

Оценивая рассмотренную ситуацию, можно сказать, что

машина

М2 игнорирует параметр z как на входе, так и на вы

ходе.

это

возможно

постольку, поскольку

удовлетворены

три требования:

и R2s=a

а)

пространства

включены в единую систему

отнесения;

б)

звезда

S 0 ' 1 , 3

также

полностью включена в

принятую

систему

отнесения;

в)

значение параметра

г/3 не зависит от значения

парамет

ров Z\,

Z2.

7. Упомянутые три требования выявлены на

основе изуче

ния простой трехмерной конструкции. Однако все проведенные рассуждения допускают непосредственное обобщение на слу чай я-мерного пространства. В этом случае машина М2 может игнорировать не один, а два, три . . . вообще р параметров, су щественных для машины Мь Зато над всеми остальными па раметрами она выполняет те оке операции, что и машина М,.

По поводу требования «а» полезно заметить, что выполне ние его становится не обязательным, если допускается исполь-

1 Точка, имеющая в данной проективной системе все координаты, рав ные единице, называется единичной.

122

зование дополнительной машины М2 ', выполняющей для эле

ментов картинного пространства Rm

пересчет

координат из

одной системы отнесения в другую.

Требование «б» означает, в частности, что выбор

разно

видности

пространства

Fm'1, определяющего

операцию

проек

тирования

на Rm,

должен

быть подчинен

характеру

уста

новленной

системы

отнесения. Так, например, выбирать

в ка

честве проекционного

аппарата пространство

F2'1

(линейную

конгруэнцию;

ср. рис.

3.25)

можно лишь

в том

случае, если

на нем основана и система отнесения в R's.

Вариант подобной

системы

возникает

при использовании

трех звезд

R]'2'3

(t =

= 1;

3),

центры

которых — прямые

s2,

— скрещива

ются.

Через

каждую

не особую точку A <zz R3

проходят три

плоскости, принадлежащие звездам Rl'2'3.

Номера этих

плос

костей и определяют координаты точки AczR3.

Для

декартовой

системы должно быть использовано линейное проектирующее пространство вида R ' L n и т. д.

Требование «в» устанавливает связь между системой от несения и структурой машины. Если какой-либо результатив

ный параметр хп+\

не зависит от параметров Xh+i •..

хп,

дейст

вующих на входе, то, следовательно, машина Mi всем

точкам

некоторого пространства FJ сопоставляет на выходе параметр

xn+i

= const. При фиксированной

системе отнесения

это

условие

накладывает

очевидное

ограничение

на структуру машины

Mj;

при

фиксированной

структуре машины

Mi ограничение

накла

дывается на

систему

отнесения.

Чтобы яснее увидеть эти соотношения, обратимся к пре

дельному пространству

Rn+m

(см. 3.7.4—3.7.7). Здесь

машина

представлена

поверхностью

Fn.

Выберем

параметры

входа

(х{ . . . Хи) и отметим

соответ

ствующий им на

выходе

параметр xn+i.

Набор

координат

(хи

. ..,

Xk, хп+\)

в принятой линейной системе отнесения опре

деляет некоторое пространство Rn-h-1

(в нелинейной системе—

pn-k-iy

Оно содержит бесконечно удаленные точки координат

ных осей Xh+i , . . . ,

хп, хп+2,

. . . ,

хп+т

и должно целиком при

надлежать поверхности

Fn.

Значит, на

форму поверхности

(на вид

машины М,) накладывается это ограничение.

П р и м е р .

Положим

п = 2,

т=\,

k=\.

Тогда

имеем пре

дельное пространство

и вложенную

в него поверхность

F1.

Пусть на входе действуют параметры

Х\> х2, на

выходе — х3 ,

причем

значение

хъ не зависит

от х2.

Выберем

х{

отметим

соответствующее ему х3.

Указанными параметрами

определена

123

(в декартовой системе координат) прямая линия, содержащая

бесконечно удаленную точку оси х2 . Прямая эта должна		при
надлежать поверхности F2. Зна
чит, поверхность	F2 — цилиндр
с вершиной в	точке	X[3czxz
(рис. 3.29).

8. Замена совершенной ма шины М] несовершенной маши ной М2 имеет практический смысл в том случае, когда не удается по тем или иным при чинам обеспечить выполнение требований, перечисленных в 3.8.6. Наличие несовершенной машины позволяет получить хо тя и неполную, но все же более или менее ценную информацию о состоянии параметров на вы

Рис. 3.29 ходе. Если представить себе, что совокупность параметров

""""" (%п+ •, хп+т), действующих на выходе, определяет самостоя тельное пространство Rvm, то становится видно, как работа не совершенной машины М2 обеспечивает работу совершенной ма шины М2 *(р->-<7), действующей внутри Rvm. При этом p + q =

— т и число р равно размерности несовершенной машины М2 (см. 3.8.4).

Конструированием распавшихся машин на практике никто, конечно, не занимается. Однако они существуют de facto. В про цессе научных исследований приходится постоянно наталки ваться на эту трудность — на обилие распавшихся машин или, выражаясь языком экспериментатора, на обилие незакономер ных явлений. К этому важному вопросу мы еще вернемся в последующем изложении (§ 4.2).

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

НАУЧНЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

§1. Эксперимент и теория

1.Основой научного исследования и источником всякой научной теории является эксперимент. Эксперимент всегда

имеет целью выявление некоторой	закономерности,		т.	е. —
в принятой нами терминологии — выявление машины			или ча
сти ее.
Предположим, что в распоряжении исследователя имеется
набор фактов или условий Л, В,...,	N, которые	удается		вос
производить по мере надобности. Замечено также, что эти				фак
торы оказывают влияние на событие (явление)		V. Тогда		от
крывается возможность для постановки эксперимента			1: необ
ходимо проверить, какой набор фактов из числа А, В,...,				.V
вызывает появление события V.

В результате проверки'может быть, например, установлено, что событие V возникает только при совместном действии факторов Л, В, С. Тогда говорят, что событие V закономерно, набор фактов (Л, В, С) — причина его.

Может

быть установлено

также, что событие V возникает,

скажем, при совместном действии факторов Л, В, С, или В,

или Л,

Е,

F. Тогда есть

основания говорить о

закономер

ности события

и о косвенных

его причинах

(Л, В,

С).

(В,

G),

(Л, Е,

F).

Наконец, эксперимент может подтвердить отсутствие зако

номерной связи

между факторами Л, В, .. ., Лг и событием

2. Во всех

этих

случаях

математическое,

и в

частности

геометрическое,

представление

сущности эксперимента

может

послужить полезным

инструментом познания.

В первом случае факторы Л, В, . . ., N и событие V есте

ственно представить точками, расположенными на

прямой

Р],

на плоскости R2,

в пространстве

R3, R* или

(на

кривой

F],

па

поверхности

F2, F3,

Fn).

Выбор операционного про

странства

подразумевает, что

явления Л, . . . ,

/V сами

могут

зависеть от одного, двух, . . ., k условий, которые

данном

эксперименте

не

подвергаются

изменению,

остаются инвари

антными. Результаты эксперимента определяют один этап ра боты геометрической машины М(3-^-1):

(Л, В, С)-> V.

125

Никаких сведений о машине в целом эксперимент, конечно, не дает, однако геометрическое представление иногда способно подсказать первую рабочую гипотезу (рис. 4.1).

Во втором случае имеем ана логичную геометрическую кар тину. Но результаты экспери мента описывают уже несколь ко (в пашем примере — три) этапов работы геометрической машины М (3-»-1):

(А,	В,	C)-+V;
(В,	D,	G) +	V;
(А,	Е,	F) - v	V.

Рис. 4.1	В соответствии с этим рас
	ширяются возможности правдо-

подобных предположений о машине в целом и обрисовывается некоторая основа для планирования дальнейших эксперимен тов.

В последнем случае эксперимент указывает на распадение машины. Геометрическое представление напоминает, что кро ме покорного принятия этого факта имеет смысл попытка до

биться	изменения позиции	наблюдателя или		размерности ис
ходного	и операционного	пространств.
3. Предположим, что		в	распоряжении	исследователя
имеется набор условий Х\, х2,			. .., хп, которые удается не толь

ко воспроизводить, но и варьировать в определенных пределах.

Например, условие хх осуществляется						в различных			вариантах
Хц, х12,...,	X\v;	условие х2		варьируется			как х2\,		х22, . . . ,	x2q
и т. д. Установлено также, что условия х{								хЛ	оказывают
влияние	на событие V: оно реализуется						в	вариантах		хп+\,\,
•Кл-и.г,	х„+\,т-	Тогда открывается возможность для поста
новки эксперимента			2: необходимо		сопоставить попарно					раз
личные	комбинации		условий	хх, ...,	хп		с	соответствующими
реализациями события V.
В результате		проверки появляется				табл. 4.1. Количество
строк в этой таблице зависит от усердия							и терпения экспери
ментатора.
Таким образом, эксперимент 2 дает							описание		нескольких
циклов	работающей		машины	М ( п - > 1 ) .			Разумеется, при			вы

полнении его могут встретиться все те ситуации, которые были уже отмечены выше при оценке эксперимента 1.

126

Т а б л и ц а 4. 1

№

Исходные данные

Результат

Если табл. 4.1 оказывается достаточно развитой, то сводку зафиксированных ею экспериментальных фактов иногда назы вают уже научной теорией. Условимся говорить в этом случае

о научной теории первого	уровня.
4. Лаконичные результаты эксперимента 2 или даже теория
первого уровня — это еще	не машина M ( n - M ) , а только ее,

так сказать, каркас, в лучшем случае — ее репер.

Из полученных экспериментальных данных необходимо из влечь конструкцию машины в целом, т. е., опираясь на ту или иную гипотезу, нужно предложить подходящий алгоритм и проверить его действие в новых условиях. Проследим за этими действиями на примере заведомо простой геометрической мо дели.

Пусть в результате эксперимента составлена таблица из четырех строк. Каждая строка имеет вид

^Н> %2it ^3t>

Хц—^-Х^г.

Следовательно, речь идет о машине М (4-v 1).

Введем на плоскости систему отнесения и пред ставим каждый выявлен ный в эксперименте цикл работы этой машины трой кой точек: (Л;, # 0 С , (рис. 4.2). Точки Ai, Bi ха рактеризуют параметры входа, точка Си инцидент ная оси х5, — параметр вы хода машины.

Можно, разумеется, предложить множество ал горитмов, каждый из ко торых выполняет намечен-

№г сз ct cs

Рис. 4.2

127

ные на рисунке операции. Расположение точек Аь				А2, Ви	В2 и
С] = С2 подсказывает, в частности, следующую гипотезу:
а) через Аь	Вг проводим прямые		а и hi заданного на
правления;		Т^а^Ь^
б) отмечаем точку
в) луч CiZDT,	параллельный оси х2,		хА, высекает на оси
. Х5 ИСКОМУЮ ТОЧКу С,.
Проверка этой гипотезы на других экспериментальных дан
ных (точки Аи В{, d	при i' = 3, 4) подтверждает ее. После это
го нужно попытаться предсказать		несколько	новых	фактов.	На
рисунке показан предсказанный нашей гипотезой переход:
	Аь, В$-+ Съ,

или ( * i 5 ,	х2$; - г 3 5 , А'45) - > ^ 5 5 . Если новые эксперименты подтвер
ждают	предсказания, то гипотеза обращается в научную тео

рию. Условимся именовать ее теорией второго	уровня.
5. Теория второго уровня сводится к записи	алгоритма,

характеризующего действующую машину. Такая запись позво ляет отказаться от конкретных фактов, заполняющих табл. 4.1, и заменить их одним обобщенным фактом. Так, на рис. 4.2

вместо множества	точек, сопоставленных по три, можно ука
зать единственную	операцию
	(a,-, bt) -+с{.

Или (аналитическое представление) вместо множества чисел, сопоставленных но пять, можно указать единственное соотно шение

f(xu, • • • , x5i) =0.х


Нетрудно видеть, что замена					множества конкретных				фак
тов становится возможной благодаря введению понятия								об	опе
рации,	об алгоритме,		о	машине.	Теперь	уже	элементарным
фактом, возникшим в результате					эксперимента		и его теорети
ческого обобщения, является сама машина.
П р и м е р .		Эксперимент показывает,				что при изменении
длины	плечей	рычага		изменяются соотношения				нагрузок,

оставляющих его в равновесии. Если обозначить длину плечей и действующие на них нагрузки соответственно h u h 2 и р и р 2 , то возникает таблица.

1 В связи с рис. 4.2 имеем, например, следующую конкретную зависи мость: х ъ — 1/2 {хх + х г + х 3 — хА).

128

Рис. 4.3

								Т а б л и ц а 4.2
№				hi			Pi	Pi
1		2		4			12	6
2		3		9			15	5
При обилии числовых данных эту сводку можно назвать
теорией		первого		уровня
Анализ установленных фактов, представленных на геомет
рической		или числовой модели, позволяет высказать гипотезу,
проверить ее и, наконец, скон
струировать			машину			М (3-*-
-*• 1) — теорию второго							уровня
(рис.	4.3).
6.	Продолжая				намеченный
процесс,		рассматриваем					сово
купность		теорий		второго уров
ня. Достаточно				богатая			такая
совокупность получает						название
теории третьего				уровня.			Сле
дующий шаг в сторону обобще
ния,	позволяющий				отказаться
от конкретных теорий						третьего
уровня и заменить их одной
универсально действующей ма
шиной, приводит нас на							четвер	BrPn
тый уровень			и т. д. Здесь необ

ходимо напомнить, однако, что подъем на следующую ступень

достигается за счет введения новых операций (ср. 4.1.5) и эти новые операции могут выходить за рамки известных матема

тических действий. Во всяком случае элементами		множества
оказываются теперь уже	не отдельные факты, не	числа,	а ма
шины,			v
Кроме того, помимо	машин М ( я - > 1 ) , которыми		ради

определенности мы до сих пор ограничивались, в дело вклю

чаются	и более свободные	устройства M ( R - v m ) .
1 В	точных науках перечень	фактов редко называют теорией именно
потому,	что здесь имеется достаточное количество более развитых обоб
щенных	теорий.
9 зак. 886		129

На практике, кроме экспериментов 1 и 2 и теорий первого, второго и третьего уровней, встречаются, конечно, различные более или менее причудливые их сочетания и обобщения. По этому на изложенный выше, а также и на весь последующий материал этой главы важно взглянуть как на весьма широкую рекомендацию, открывающую пути к использованию методов теории моделирования в любой области научных исследований.

7. Полезно подчеркнуть, что любой		эксперимент	обнаружи
вает некоторую проекционную	модель	изучаемого	реального
феномена. Модель эта всегда	гомоморфна.

В самом деле, события, охваченные экспериментом, отно сятся всегда к определенному моменту или периоду времени. Но изучаемый реальный феномен никогда в этот момент или период времени не укладывается. Если предположить, что изу чаемое явление совпадает по времени с экспериментом, то сра зу утрачивается самый смысл научного исследования: мы на блюдаем только отдельный эпизод, факт, недоступный для по

вторения.
Итак, приступая к эксперименту,	мы выделяем множество
различных по времени событий Аи	А2, Л 3 . . . которые все

отождествляются с событием А, играющим роль одного из эле

ментов входа машины. События А\,	А2, Л 3	.. . составляют в
своей совокупности проектирующий	образ;	событие А — про
екция, полученная на картине. Элементы Аи		А2, Л 3 .. . входя
щие в проектирующий образ, различаются		не только по вре

мени своего существования, но и по множеству других условий и признаков, которые во внимание не принимаются. Если, на пример, речь идет о плече рычага, то в одном случае — это де ревянный элемент, в другом случае — металлический стержень, конструкция типа фермы и т. д. Словом, элементы Аи А2, Аз

. . . совершенно отличны друг от друга, как отличны друг от друга точки А, В, С . . . на рис. 3.4: одна из них содержит пря мую /, другая принадлежит плоскости у и т. п. Элементы Л ь А2, Л 3 . . . собраны в один проектирующий образ по некоторому общему признаку, существенному для данной ситуации, напри мер, по их принадлежности к рычагу в качестве одного из его плечей. Так же точно точки А, В, С . . . на рис. 3.4 собраны в один проектирующий образ по их общему, существенному для выбранного проекционного аппарата признаку: по их принад

лежности прямой р, проходящей через центр проекций	S.
Аналогично сказанному, и все другие явления В, С,	..., N,

действующие на входе нашей экспериментальной машины, представляют собой проекции изучаемых элементов. Проек-

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202317.82 Mб31Вакуумная металлургия [сб. ст.].pdf
#
27.10.202340.29 Mб39Вакуумные прокатные станы..pdf
#
24.10.20239.27 Mб20Валиев Т.А. Передача данных по ЛЭП.pdf
#
22.10.202317.38 Mб81Валиев, С. А. Комбинированная глубокая вытяжка листовых материалов.pdf
#
20.10.20238.76 Mб49Вальднер, О. А. Техника сверхвысоких частот. Учебная лаборатория учеб. пособие.pdf
#
23.10.20237.33 Mб32Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf
#
29.10.20232.47 Mб18Вальковский Э.Г. Электромонтер-наладчик средств автоматизации.pdf
#
25.10.202315.22 Mб54Вальщиков Н.М. Расчет и проектирование машин швейного производства.pdf
#
19.10.20234.92 Mб6Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра.pdf
#
23.10.202322.07 Mб104Ванюков, А. В. Теория пирометаллургических процессов учеб. пособие.pdf
#
25.10.202312.29 Mб84Вапник В.Н. Теория распознавания образов. Статистические проблемы обучения.pdf