Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вальков К.И. Введение в теорию моделирования

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Намеченный ход рассуждений нетрудно продолжить. При


произвольном		п выбор		опорных точек		в Rn	связан		условием:
любой набор из ( п + 1 )				точки не должен входить в					простран
ство Rn~{	a Rn.	Для	каждой новой точки				Fx <zz Rxn,		не входя
щей в состав репера, приходится строить ее модель F2										cz R2n,
причем дело сводится к реализации коллинеарного									соответ
ствия в	пространствах			Rn~\ Rn~2,	Rn~3	.. . вплоть до				Rx.
Один	из простейших			способов	коллинеарного			моделирова
ния одномерных пространств R{]					и R2l	показан		на	рис. 3.19.
Если точка Л 3		cz R3l	совпадает со своей моделью Л2 ,							то все

остальные пары сопоставляемых элементов оказываются коллинейными с некоторой фиксированной точкой Q.

Многие другие полезные свойства коллинеации описыва ются в специальной литературе [36—41]. Существует особая математическая дисциплина—проективная геометрия,—за- занятая изучением именно этих свойств и фактов. Важно под черкнуть, что. коллинеация как средство конструирования эк вивалентных геометрических моделей получила широкое рас пространение в современной физике, номографии, фотограм метрии и некоторых других разделах науки и техники [47, 48, 50—54].

4. Коллинеация сопоставляет между собой пространства одинаковой размерности. Часто, однако, бывает интересно по лучить транзитивный ряд моделей, принадлежащих простран

ствам различной	размерности. Ради определенности	условимся
говорить здесь	о точечных линейных пространствах		Rin	и об
алгоритмах, переводящих совокупность точек А,		В,	С,	...,
N cz Rn в точку или в совокупность точек Р, Q,			cz R".

Пусть на плоскости сконструирована геометрическая мо дель 02 , работающая как машина М(га->-т). Это значит, что, выбрав произвольно п/2 точек, находим с помощью установ ленного алгоритма ответ — т / 2 точек. Если п или m нечетно, то один из выбираемых или результативных элементов распо лагается на заранее фиксированной прямой линии.

Наметим в пространстве R3 геометрический алгоритм (мо

дель 0 3 ),	позволяющий переходить от л/3 произвольно выби
раемых	точек к т / 3 результативным точечным элементам.

Если п или m не кратно трем, то один из выбираемых или от ветных элементов принадлежит заранее фиксированной плос кости или прямой линии. Очевидно, модель 0 3 тоже работает как машина М ( я - > т ) и в этом смысле она эквивалентна мо дели 02 .

Далее можно рассмотреть		модель 04 , принадлежащую про
странству R4.	Эта модель предусматривает переход от		л/4
к т / 4 точкам,	причем один	из элементов расположен,	быть

может, внутри фиксированного R3,

R'2

или

R1.

Продолжая указанный процесс, приходим к модели

О п ,

принадлежащей пространству Rn.

Здесь

произвольно

выби

рается одна

единственная точка A a Rn;

ответный

элемент —

тоже

одна1

точка В, инцидентная Rn

(в случае

т = п)

или

ftn-x

( в случае т = п—х).

Алгоритм, действующий

в R n ,

реали

зует

при

этих условиях некоторое однозначное

соответствие,

в частности,

может быть,

коллинеацию (т = п),

либо

он

осу

ществляет

некоторую

операцию проектирования

(т<п).

Мо

дели 02, 03 ,

04 ,. . . , О п

обрузают,

согласно

определению,

тран

зитивный

ряд.

5. Повышение размерности пространства, содержащего мо

дель, может быть продолжено еще дальше.

Выделим

в пространстве Rn+1

две

поверхности: Fn

Fm.

Рассечем обе эти поверхности элементом звезды Rn-1'"-

п + ! ,

входящей

систему отнесения2 . Установим далее операцию

проектирования Fn на Fm,

сопоставляющую между собой

точ

ки полученных сечений. Тогда, выбрав произвольно один эле мент А поверхности Fn, затрачиваем п исходных параметров. Использовав установленную операцию проектирования, нахо

дим нужную		точку поверхности Fm			и определяем			m ответных
параметров.		Полученная	модель		O n + i	работает как			машина
М(п-+т).	Важно подчеркнуть,			что один			из ответных			пара
метров легко		определяется	и без	перехода			к поверхности			Fm —
это (п+	\)-я координата		произвольно			выбранного			элемента
А a: Fn.								R3
П р и м е р .		Пусть n = 2, т = 2.			В пространстве					введем
координатную систему и отметим две плоскости: а и									$==х2-хъ
(a=Fn,	pss/7 "2 ). Рассечем эти плоскости						элементами		звезды
Rh2>3,входящей		в координатную систему				( R 1 а хх-х2\		рис. 3.20).

Установим операцию проектирования точек а на |3, причем

вершину R0 проектирующей звезды/?0 '1 , 3 поместим				на прямую
R1 — на	вершину звезды R1"2-^	Тогда,	очевидно,	точки	плос
кости а,	попавшие на секущий	элемент	звезды R~2-3,		проек-

! Ответным элементом могут служить и несколько точек. В данном рассуждении эта деталь опускается как несущественная.

2 Предполагается, что в введена проективная система координат

(2.2.7). 112

тируются в точки плоскости р, инцидентные тому же секущему элементу.


Приводим в действие					машину М(2-
метры Х\, х 2 и отмечаем соответ
ствующую		точку Аа		cza.	Про
ектируем		Лес на	плоскость р в
точку Л,з		и находим		ответные
параметры — координаты					х 3 и
х 4 . В силу особенностей введен
ного нами		конструктивного ап
парата,	координату			х 3	можно
было получить и без перехода к
плоскости р. Это непосредствен
но видно по рис. 3.20.
6. Повторим тот же прием в
пространстве Rn+2.			Поверхности
рп и рт	рассечем элементами
звезды			входящей в			м[(х„х)*(хг 3,х4)]
систему		отнесения.		Операция
проектирования			должна		сопо	Рис. 3.20
ставлять		между	собою		точки
полученных сечений. Здесь уже
два ответных параметра					можно определить без перехода к по


верхности Fm — это ( п + 1 ) - я и (п + 2)-я координаты произволь
но выбранной точки			AczFn.
В	конечном счете, в пространстве Rn+m				возникает			модель
O n + m ,	зависящая от		выделения	только	одной		поверхности
рп <— ^n+m		Необходимость в использовании				второй		поверх
ности— F™— полностью отпадает. Исходные						п	параметров
позволяют		выбрать	точку A cz Fn.	Остальные		т	координат

этой точки представляют собой ответные параметры. Модель

0 „ + т о	работает	как машина	M ( n - > m ) .	ряд моделей Оп+т,
7.	Если просмотреть транзитивный			ряд моделей Оп+т,
Оп+т-и 0 „ + П 1 _ 2 ,		. . ., 0,„ 0„_i,	. ., 04 , 03 ,	0 2 от конца и от на

чала, то нетрудно заметить, что в каждом его звене речь идет об операции проектирования элементов n-мерного на элемен ты m-мерного множества.

В пространстве Rn+m,		которое условимся именовать	пре
дельным,	операция проектирования предстает в форме отсчета
координат для точек некоторой данной поверхности Fn.			Эле
ментами двух сопоставляемых—№ 1 и № 2 — множеств			яв
ляются	группы (п-ки и	/n-ки) точек, принадлежащих	про-
8 зак. 886		ИЗ

странствам отсчета — координатным осям. Поверхность Fn выступает в качестве посредника между этими двумя множе ствами.


В пространствах Rn+m~l . . . Rn+l кроме отсчета		координат
возникает все более и более свободно выполняемая		операция
проектирования в ее обычной, геометрически наглядной			форме.
В пространстве Rn, которое	условимся именовать		откры
тым, операция проектирования	множества № 1 на	множество

№ 2 осуществляется при посредстве вполне открытой и завер шенной вспомогательной пространственной операции: имеются

два	различных геометрических образа	Rn и Fm, сопоставлен
ных во всех элементах с помощью некоторого			конструктивного
аппарата (§ 3.3).
	При дальнейшем уменьшении размерности картинного про
странства вспомогательная операция		проектирования F'1 па
Fm	подвергается моделированию. Элементы		сопоставляемых

образов-посредников начинают дробиться. Вместо одной точки A cz Fn имеем пару, тройку, четверку . . . п/2 точек и, наконец, снова п точек, если размерность картинного пространства до стигает единицы. Аналогичная метаморфоза происходит и с

элементами	множества	Fm	(начиная	с модели О т ) . Все эти
соотношения	представлены		схематически		на рис. 3.21.
		,	Множество^! .
		(элемент: п точекА
			-координат)
	Fn	F"		Алго
	Fn	и	и	ритм\	ним
		Fm	(пч-т)		нет

, Множество N2 Предельное (элемент:т точек

ppQcmpaHcmQo

-координат)

Открытое

пространство

Рис. 3.21

Что касается алгоритмов, действующих в пространствах Rk при £ < п , то их структура может быть крайне разнообразной, если только по правилам транзитивности не накладывается ни каких дополнительных условий. В качестве одного из таких

114

условий может быть высказано требование о сохранении пря молинейности форм. Практика часто выдвигает подобные тре бования, и мы уже сталкивались с ними ранее (3.7.1, приме ры 2, 3). Для сохранения прямолинейности форм необходимо при переходе от пространства Rh к пространству Rk~l исполь зовать специальные закономерности или специальный конст руктивный аппарат. Краткое описание одной известной кон струкции такого рода приводится ниже.

8. Пусть требуется машину M ( n - w n ) , работающую в про странстве Rk, заменить эквивалентной машиной, работающей в пространстве Rk~K

Выберем

в Rh

пространство Rk~{

и две

звезды:

Si'1 '*.

Sis'1'*-

Через

точку

A cz Rk

проведем

прямые

линии

S\A и

S2A

— элементы выделенных

звезд. Эти

прямые,

пересекаясь

с Rh-\

определяют

точки А\,

A2czRh-1.

Таким

образом,

полу

чена модель точки А в Rk~\

С помощью аналогичных

действий

изоморфно моделируются все точки Rh,

за исключением

точек,

инцидентных

линии

SiS2.

По

следние имеют одну общую мо

дель—точку

C/1

L / 2 = S 1 5 2 X

X/?*"'. Очевидно,

и А2

обя

зательно коллинейны

с U\ =

(рис.

3.22).

Нетрудно понять,

что

процессе перехода

от

к Rh~l

число элементов,

участ

вующих в работе машины, уд

ваивается, но

прямолинейность

форм сохраняется, так как мо

делью

прямой lczRh

является

здесь

пара

прямых

U, l2<zzRh-x,

либо точка Z-i и прямая 12

(если

foS,).

Рис.

3.22

Указанный

прием

конструи

рования модели в Rh~l

называ

ют обычно методом

двух

изображений.

Точка Vu

—

исклю

ченный элемент модели.

Используя

метод

двух

изображений,

можно,

разумеется,

от R1*-1 перейти к Rh'2,

R'1'3

и т. д. При каждом таком

переходе

все

геометрические

образы,

входящие

состав

машины

IW(n^in)

внутри

данного

пространства,

преобразуются —

точка

за точкой — в геометрические образы

геометрические

соотношения внутри следующего операционного пространства.

115


Размерность		операционного			пространства			падает,	а	конструк
ция машины		все	более	и более		усложняется.
Переход		от пространства			Rk	к пространству			Rk~x	можно
осуществить		и за один		прием, минуя промежуточные						ступени
в Rh'x, Rh~2,		Rh~3	. . . В	этом случае, сохраняя основную идею
построений,		следует прибегнуть к методу						трех, четырех			и бо
лее изображений.			Пусть, например, пространство R6 требуется
заменить пространством R2.					Выберем в R6 три звезды						S?'4 '6 ,
•S2'4'6, S3'4 '6		и	новое	операционное пространство R2. Через
точку A с: R6 проведем				элементы указанных звезд — четырех
мерные образы RS^S^-A,					R^ = S23-A,			R3^S33-A.		Пересе
чения их с R2 определяют модель точки А — {Аи А2. Л 5 ) . Вы
бирая размерность элементов звезды S*lh,								нужно	проследить,
конечно, за тем, чтобы				соблюдались			соотношения		/ — / = 1 ; / +
+ 1—& = 0,	где i — размерность					нового		операционного			про
странства	(k—x)=i.			Кроме		того,	центральные			элементы
звезд — Sy',		S2f	. . . должны		занимать		в Rh общее		положение.

9. В литературе [5, 72, 75] можно найти описание многих других фактов, характеризующих транзитивные ряды моделей в пространствах различной размерности. Существует специ альная математическая дисциплина — начертательная геомет рия,— занятая изучением именно этих фактов. Полезно отме тить, что проективная геометрия (ср. 3.7.3) представляет собой весьма узкий раздел геометрии начертательной. Этот раздел возникает в результате введения определенного инварианта: транзитивные ряды должны быть построены с сохранением размерности пространства и прямолинейности форм. Очевид но, метод двух или нескольких изображений служит наиболее непосредственным обобщением конструкций проективной гео метрии, поскольку он предусматривает отказ от первого ука занного требования и сохранение второго.

§8. Проекционные связи

1.Метод двух или нескольких изображений, рассмотрен ный в предыдущем параграфе, позволяет получить транзитив ный ряд моделей, расположенных в пространствах различной размерности.

На практике нередко приходится прибегать к сопоставле нию пространств различной размерности, однако использова ние при этом нескольких изображений иногда оказывается не удобным, иногда просто невозможным.

116

В таких случаях машину, действующую в пространстве							Rn,
можно заменить машиной, действующей в пространстве							Rm,
опираясь	на	проекционную	связь	указанных	пространств,		но
отказываясь		от изоморфизма	(1.4.12). Обратимся к изучению
некоторых особенностей этого приема.
2. В пространстве R3 наметим				следующий	алгоритм: через
две произвольно выбранные			точки А а В проводим			прямую
/ = Л - В	и пересекаем ее с фиксированной плоскостью					а. В ре

зультате каждой паре исходных элементов Аи Bi сопостав ляется ответный элемент — точка Ft = lXa. Имеем, очевидно, машину Mi (6-^2).

Заменим машину М Ь работающую в пространстве R3, ма шиной М 2 , работающей в пространстве R2, используя для это го перехода операцию проектирования. В зависимости от вы бора проекционного аппарата будем, конечно, получать раз

личные варианты машины М 2		. Остановимся	на трех	конкрет
ных конструкциях.			пространства R3
а)	Операцию проектирования элементов
на плоскость /?2 г=о (рис. 3.23)		осуществим с помощью			звезды
Sa'1,3.	причем центр звезды — точку 5 — поместим			в	плос
кость	а.

	Рис. 3.23	Рис. 3.24
Как нетрудно видеть, в этом случае на плоскости а полу
чаем машину М 2 ( 4 - у 1 ) . Работа ее		описывается следующим
алгоритмом.		а. Проводим прямую
Произвольно выбираем точки Л„,
Аа'Ва=1„.	Пересечение/о с фиксированной прямой а а дает

ответный элемент: Т7, = ЬХа„.

117

	б) Операцию проектирования элементов пространства				Rs
на	плоскость а осуществим с помощью звезды S0 , ' ' 3 , но'центр
ее	выведем из а (рис. 3.24).
	При этом в плоскости о машина уже не получается. В са
мом деле, выбрав точки Л„, Вх,		проводим прямую	1а=А„-Во.
На	этом алгоритм обрывается. Где располагается		ответный
элемент F„, неизвестно, так как в процессе перемещения				в	R3
точек А и В по лучам 5Л а , SBa		проекция точки F=lXa		про
бегает всю прямую U.					Fa,
	И все же некоторая информация о положении		точки
очевидно, имеется. Эта точка		должна быть инцидентна		пря
мой U. Результат действия такой машины можно			обозначить

символом М 2 ( 4 - > о о 1 ) . По четырем исходным параметрам опре деляем ответный элемент с точностью до принадлежности его некоторому одномерному множеству.

в) Операцию проектирования элементов пространства R% на плоскость а осуществим с помощью нелинейного простран

ства F2'1	(см. 3.3.4). Элементами его служат лучи, пересекаю
щие две фиксированные прямые линии р и q '.					А,,	Ва
В этом случае, выбрав исходные элементы — точки
на плоскости а, можем получить в качестве ответа					любую
точку	Fiv	Действительно,	проведем через	произвольно		вы
бранные точки Лег, В„, Fa			лучи пространства	Fm (рис. 3.25).
Луч / ZD Fa		высекает в плоскости а точку F. Через F			можно
провести прямую, пересекающую лучи а^эА„				и b ZD Ва	в точ

ках А, В. Таким образом в А?3 находятся элементы А, В, кото рым машина Mi сопоставляет элемент F сг а. А в проекции на


плоскости		0 машина М2 элементам Л,, Ва должна сопостав
лять произвольно			намеченный		нами элемент Fa.			Развивая при
нятую	символику,			здесь	следует		ввести	обозначение
М2 (4-> со2 ).
3. Сравнивая			между собой		рис. 3.23,		3.24, 3.25 и расширяя
понятие о машине,				введенное	в	1.4.3, условимся		говорить, что
в первом		случае	(см. рис. 3.23)			на плоскости а получена со
вершенная,		во втором случае			(см. рис. 3.24) —несовершенная,
в третьем		случае (см. рис. 3.25) — распавшаяся						геометриче
ская	машина.
Совершенная			машина характеризуется сформулированным
ранее	(стр. 32) определением.

1 В литературе это пространство обычно называют (довольно неудач но) линейной конгруэнцией [4, 41]. Прямые р, ц — направляющие линии конгруэнции.

118

Несовершенная машина позволяет по заданным парамет

рам	( х \ , х 2	, . .., х п ) получить некоторое количество соотноше
ний	между	результативными параметрами (х„+ 1 , х п + 2 , • • •,
ХЦАГП)	•

		Рис. 3.25						Рис. 3.26
Распавшаяся			машина	не доставляет никакой					информации
о результативных параметрах.
Рис. 3.26 поясняет характеристику несовершенной машины.
Если в плоскости о введена					система		отнесения (на рисунке —
декартова координатная система), то, выбрав четыре парамет
ра	Х \ \ ,	Х \ 2 ;	х 2 \ , х 2 2 , фиксируем				исходные		элементы — точки
Aa, j$a*
	В результате работы машины ответные параметры — коор
динаты х 3		, Xi точки Fa— не				устанавливаются, но устанавли
вается их соотношение, которое геометрически выражается
прямой линией 1а~АзВз,				а в аналитической интерпретации —
формулой				px3	+	qxi=l.

4. В пространстве R2 можно получить несовершенную ма
шину, накладывающую лишь одно условие								на соотношения от
ветных параметров. При наличии двух условий ответные па
раметры определяются				и	машина		становится		совершенной.
В пространстве ^ 3 можно иметь несовершенную машину с од
ним	или двумя		условиями;		в	^ 4 - с	одним, двумя или тремя
условиями; в Rn			количество условий варьируется						от одного до
(я—1). Таким			образом,	несовершенные				машины естественно

119

Делятся на	классы: одномерные, двумерные, трехмерные...
(п—1)-мерные	машины. Чем выше класс несовершенства, тем

меньше информации доставляет работа такой машины. Когда класс несовершенства достигает размерности картинного про странства, машина превращается в распавшуюся.


Этими соображениями подчеркивается,							между прочим, тот
очевидный факт, что степень совершенства							(несовершенства)
машины		зависит		от информированности			наблюдателя.		Если
наблюдатель			располагается		в	операционном		пространстве
Rn~l,	то несовершенная машина					класса (я—1) расценивается
им как распавшаяся. Если наблюдатель							находится		в про
странстве Rn,			то	та же машина		представляется		ему хотя		и
весьма		несовершенной, но все же действующей. При дальней
шем	возрастании			размерности		операционного		пространства
наблюдатель			оценивает эту машину все более и					более опти
мистически (ср. 1.3.6). Вообще					величина отношения fM=				—~	,

где п — размерность операционного пространства, k — размер ность (класс) несовершенной машины, может служить некото рым мерилом практической эффективности для данной ма шины.

5. Возвратимся к рис. 3.23—3.25. Нетрудно заметить, что характер машины М2 , полученной на плоскости ст, зависит не только от размерности операционного (картинного) простран ства Р2==ст, но и от позиции наблюдателя в исходном про странстве .ft3.

Выражением «позиция наблюдателя» несколько образно обозначается здесь проекционный аппарат, выбранный для пе рехода от R3 к R2

Во всех трех рассмотренных выше примерах размерность исходного и картинного пространств, а также исходная ма шина М, оставались неизменными. Изменялась лишь, в ука занном смысле, позиция наблюдателя. Эти изменения и при водили к тому, что в проекции совершенная машина обраща лась в несовершенную и распавшуюся.

Тот же результат мог быть получен, конечно, и при сохра нении как размерностей, так и позиции наблюдателя. Тогда должна подвергнуться изменению структура машины Mi . На пример, на рис. 3.27 изображена машина M i ( 6 - > 2 ) , действую щая в R3 следующим образом. Точки А, В выбираются произ-

1 В дальнейшем убедимся, что это образное выражение имеет доста точно глубокий смысл (4.2.3).

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202317.82 Mб31Вакуумная металлургия [сб. ст.].pdf
#
27.10.202340.29 Mб39Вакуумные прокатные станы..pdf
#
24.10.20239.27 Mб20Валиев Т.А. Передача данных по ЛЭП.pdf
#
22.10.202317.38 Mб84Валиев, С. А. Комбинированная глубокая вытяжка листовых материалов.pdf
#
20.10.20238.76 Mб49Вальднер, О. А. Техника сверхвысоких частот. Учебная лаборатория учеб. пособие.pdf
#
23.10.20237.33 Mб32Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf
#
29.10.20232.47 Mб18Вальковский Э.Г. Электромонтер-наладчик средств автоматизации.pdf
#
25.10.202315.22 Mб54Вальщиков Н.М. Расчет и проектирование машин швейного производства.pdf
#
19.10.20234.92 Mб6Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра.pdf
#
23.10.202322.07 Mб105Ванюков, А. В. Теория пирометаллургических процессов учеб. пособие.pdf
#
25.10.202312.29 Mб85Вапник В.Н. Теория распознавания образов. Статистические проблемы обучения.pdf