книги из ГПНТБ / Вальков К.И. Введение в теорию моделирования

указание на определенный инвариант, составляющий основу эквивалентности. Необходимо помнить, что указание это не является исчерпывающим и несет в себе довольно явный эле­ мент случайности: ничего иного и нельзя ожидать при выделе­ нии заведомо небольшого острова из необозримого моря ин­ вариантной неопределенности.

2. Назовем эквивалентными два пространства, обладающие одинаковой размерностью. Иными словами, число, характери­ зующее размерность, является здесь инвариантом. При таком широком критерии эквивалентную пару могут составлять ли­ нейное и нелинейное пространства, линейное пространство и звезда и т. п. Ниже записаны некоторые возможные эквива­ лентные пары, обозначенные с помощью оговоренных выше символов.

запись, укажем на плоскость и поверхность второго порядка (позиция 1); па прямую линию и пучок прямых второго поряд­

няться не только число, характеризующее размерность, но и линейная форма пространства.

В эквивалентные пары здесь могут входить пространство Rn и звезда /?ft'™==tf"'<; звезда /?ь''" = Я"'г и звезда Rr^ — R"^.

Пользуясь формулой (3.5), нетрудно подобрать конкретные примеры эквивалентности. Совокупность плоскостей, проходя­ щих через одну точку в R3, и совокупность трехмерных про­ странств, проходящих через одну прямую в R\ составляют эквивалентную пару: (3—2) (2—0) = 2 = /f, / 2 = (4—3) (3—1) =2 . Совокупность прямых, проходящих через одну точку в /?4, и совокупность плоскостей, проходящих через одну прямую в R5, также составляют эквивалентную пару (/i = 3; / г = 3 ) .

91

цидентности) элементов пространства, на их взаимных пере­ сечениях и объединениях [36, 40]. Так, например, утверждение «две прямые в R3 могут пересекаться или скрещиваться» ха­ рактеризует позиционные свойства R3.

Конечно, определенный инвариант, выявленный с помощью приведенной выше формулировки, едва ли можно ощутить как нечто достаточно определенное. Однако попытка как-то разви­ вать и детализировать эти положения была бы в данных усло­ виях явно неуместной (§ 1.1). Во всяком случае будем иметь в виду, что инвариантными здесь остаются линейные структуры пространства Rhl1 и все теоремы, которые относятся к R"!l и вытекают из обычной системы геометрических аксиом, пред­

У2

В левой части этой цепочки записаны пространства, имею­ щие своим элементом линейные образы, начиная от точки до Rn-2 или R^-V'-2 (в зависимости от четности п); в правой ча­ сти — пространства, имеющие своим элементом линейные об­ разы, начиная от гиперплоскости /?<л - 5 ) до R"-2 или RC-1)'-2. Значит, элементы R1 и Rm эквивалентных пространств сопо­ ставляются по правилу

Оценивая эти закономерности, полезно отметить, во-первых, что размерность эквивалентных пространств, подсчитанная по формуле (3.4), всегда, разумеется, одинакова. Интересно также подчеркнуть, во-вторых, что столбцы цепочки естествен­ но замыкаются сверху двумя предельными пространствами, причем элементом первого (слева) должна служить пустота 0SSR'1, а элементом второго (справа)—универсум U==Rn. Размерность множества пустых элементов, как и размерность «универсума в универсуме», равна нулю.

Рассмотренный вариант эквивалентности имеет специаль­

ляются множество точек и множество прямых линий. По прин­ ципу двойственности в R3 сопоставляются:

множество точек и множество плоскостей; множество прямых и множество прямых.

Поэтому иногда говорят, что образ «прямая линия» сам себе

93

но можно говорить об эквивалентности двух позиционных фактов:

94

Эквивалентность пространств по принципу двойственности имеет важное практическое значение; ее нередко приходится принимать во внимание при конструировании различных гео­ метрических моделей.

6. До сих пор множество точек (и других образов), запол­ няющих пространство Rn, мыслилось как безымянное множе­ ство. Элементы его, хотя и различимы друг от друга, но в то же время тождественны все друг другу: каждый элемент спо­ собен заменить любой другой. Довольно схематическим, зато конкретным и наглядным примером такой ситуации может служить ящик биллиардных шаров: шары нетрудно разде­ лять, пересчитывать и вместе с тем невозможно узнавать. Нельзя сказать, что, собственно, изменилось в ящике, после того как его изрядно встряхнули.

Встанем теперь на другую позицию. Будем считать, что точки пространства Rn не только различимы, но, кроме того, еще индивидуализированы, поименованы. Тогда каждая точка единственная, и единственна структура пространства Rn, со­ ставленного из этих точек. Возвращаясь к нашему схемати­ ческому примеру, представим ящик биллиардных шаров, снаб­ женных порядковыми номерами. Встряхивая такой ящик, каж­ дый раз замечаем происходящие в нем перемены: шар 1 попал

определенным инвариантом здесь является именно непрерыв­ ность.

Пространства, эквивалентные по указанному признаку, принято в математике называть топологически эквивалент­ ными.

На первый взгляд может показаться, что здесь рассматри-

95

вается какая-то совершенно новая ситуация: прежде чем оце­ нивать пространства по признаку эквивалентности, нужно осу­

валась предварительно выполненная операция кодирования. Так, в разделе 3.5.2 имеется в виду множество пространств: М{. Каждый элемент этого множества поименован, или, лучше ска­ зать, занумерован. Номером элемента (т. е. пространства Fn) служит число, выражающее его размерность. Имеется также второе множество пространств: М2. Элементы его занумерованы теми же числами, т. е. выполнена операция кодирования. После этого выбираем один элемент из М{ и один элемент из М2 и сравниваем их по признаку эквивалентности — по номеру раз­ мерности.

Можно, правда, отрицать наличие множества М2 и говорить о сравнении двух элементов, извлеченных из одного и того же множества М\. Но с таким же успехом можно было бы гово­ рить выше о наличии одного только пространства R\n и о срав­ нении двух возможных его топологических организаций.

8. Назовем эквивалентными два пространства R\n и R2n, неразличимых по своей организации и по форме одномерных образов.

Первое из этих требований означает, как уже известно, со­ хранение непрерывности. Согласно второму требованию, пря­

странствами приходится особенно часто встречаться в процес­ сах геометрического моделирования.

90

в какой-то последовательности, сопоставляется единственное число — величина угла ABC.

Если пространство Rn рассматривается одновременно и как закрепленное, и как ориентированное, то принято говорить, что оно обладает установленной метрикой, является метризован­ ным пространством.

По всем перечисленным критериям возможна оценка на эк­ вивалентность. Нетрудно представить два организованных и одинаково закрепленных пространства R\n~R2n. Простейшей иллюстрацией служат два R3, связанные — в обычном физиче­ ском смысле — перемещением. В результате перемещения точ­

по своей метрике, т.е. и по закреплению и по ориентации одно­ временно.

В первом случае определенным инвариантом являются организация точек и расстояния между ними; во втором слу­ чае — организация точек и углы; в третьем случае указанные инварианты объединяются вместе.

11. Понятие об эквивалентных структурах не играло боль­ шой роли в истории развития геометрической мысли. Эквива­ лентность тех или иных структур выявлялась эпизодически; причем иногда эти моменты проходили почти незамеченными, иногда они выдвигались на первый план и расценивались как открытие. Очень широкий резонанс, например, вызвало в свое время утверждение принципа двойственности [43]. Особенное значение представлений об эквивалентности было подчеркнуто, хотя и не вполне раскрыто, в знаменитой работе Феликса Клейна «Эрлангенская программа» [44].

В практике геометрического моделирования совершенно необходимо опираться на понятие об эквивалентности. Различ­ ные научные и технические задачи приводят к различным по

можный уровень эквивалентности. Сознательное и правильное обращение с этими фактами позволяет избежать слишком

98

ное пространство. Конечно, это закрепление осуществлено чисто теоретически, что не имеет для нас существенного значе­ ния. Ведь и сама прямая / — только теоретическое представ­ ление.

Посредством лучей звезды S 0 , 1 , 2 спроектируем точки пря­ мой / на прямую т (см. рис. 2 . 4 ) . Точки О, Е переходят в точки О', Е' с числовыми пометками 0 и 1, а на луче SCJ*,, параллель­ ном /, приходится отметить точку V с числовой пометкой о о .

Опираясь на обычные геометрические аксиомы, а также на экспериментальные факты, заимствованные хотя бы из чертеж­

кретного проекционного аппарата, указанного на рис. 2.4. Если точки О', Е', V посажены на свое место с помощью одной или нескольких последовательных линейных операций проектиро­ вания, то и точки 2', 3'. .. обязательно займут свои соответ­ ствующие места [4, 36, 37]. Поэтому принято говорить, что эле­

ный отрезок О'Е' и несобственная точка V определяют мет­ рику прямой т, составляя метрический репер.

3. Отметим на прямой т четыре точки О', Е', V, А'. Если условиться, что эти точки выбираются именно в указанном по­

Следовательно, нами установлен некоторый процесс кодиро­ вания, позволяющий каждой упорядоченной четверке точек на прямой линии сопоставлять одно число. Число это принято на­ зывать сложным отношением четырех точек на прямой [36, 37].

Обратимся к рис. 3.9. Если на прямой / изменить порядок числовых отметок, сохраняя лишь принцип однозначного со­ поставления точек и чисел, то любой четверке точек O'E'U'A' на прямой m будет отвечать уже не число х, характеризующее сложное отношение этой группы точек, а какое-то другое чи­ сло х*. Однако по-прежнему каждой упорядоченной четверке точек отвечает вполне определенное число, именуемое в этом случае ее проективной характеристикой [5]. Сложное отношение является частным значением проективной характеристики.

100