книги из ГПНТБ / Балахонцев Б.Г. Сближение в космосе

ходящего узла сГ^ и наклонением орбиты /, а положение перигея в плоскости орбиты — угловым расстоянием ш от восходящего узла. Текущее положение КА или цели

20

Заметим, что для описания относительного Движе­ ния космического аппарата и цели геоцентрическую вра­

жении использование таких систем всякий раз будет оговариваться.

Рис. 2.2. Сферические координаты

Как уже отмечалось, при решении одной и той же задачи могут использоваться несколько различных си­ стем координат. Поэтому в процессе решения необхо­

21

Связь между двумя системами прямоугольных коор­ динат, имеющих общее начало, может быть осущест­ влена с помощью направляющих косинусов <x,j, под ко­ торыми понимаются косинусы углов между осями Оі 1-й системы (і=Хі, уи z*) и осями Oj /-й системы (/ =

Обычно направляющие косинусы записывают в виде таблицы

Тогда координаты точки в системе Oxjt/jZj при пере­ ходе к системе OxiijiZi преобразуются с помощью

матрицы [Аіз]:

XJ

Уі = [A,j] • У) (2.5)

*1-

В координатной форме это преобразование запи­ шется в следующем виде:

Если же необходимо перейти от системы 0%ji/jZä к си­ стеме Oxjt/jZj, то преобразование координат осущест­ вляется с помощью транспонированной матрицы

22

В координатной форме это преобразование будет иметь такой вид:

В силу ортогональности преобразования на направ­ ляющие косинусы накладываются следующие условия:

—сумма квадратов элементов любой строки или столбца равна единице;

—сумма парных произведений соответствующих элементов, взятых в любых двух строках или столбцах, равна нулю;

—любой из элементов равен соответствующему ему алгебраическому дополнению.

Запишем теперь матрицы направляющих косинусов между введенными выше прямоугольными системами координат.

1. Матрица \А00 ] перехода от системы OxHyazH к системе Oxyz:

Чтобы перейти от орбитальной системы координат Oxyz к геоцентрической вращающейся системе, доста­ точно воспользоваться формулами параллельного пере­ носа:

23

Для записи уравнений относительного движения вос­ пользуемся теоремой Кориолиса, устанавливающей за­ висимость между ускорениями материальной точки в

где Wgj— вектор абсолютного ускорения центра масс КА; We — вектор переносного ускорения; Wr — вектор относительного ускорения КА; Wc — вектор ускорения Кориолиса.

Абсолютное движение рассмотрим в неподвижной системе координат Axay.dza (рис. 2.1). Векторы, входя­ щие в уравнение (2.11), равны:

ускорения начала орбитальной системы координат, т. е. вектор абсолютного ускорения, действующего на цель; ,D — вектор относительной дальности, определяющий положение центра масс КА относительно цели; D,

24

вой скорости вращения орбитальной системы координат. Главный вектор внешних сил Fe в общем случае представляет собой сумму следующих основных элемен­ тов: тяги реактивного двигателя /\_ полной аэродинами­ ческой силы R и силы тяготения G. В дальнейшем при изучении относительного движения будем полагать, что движение происходит в центральном ньютоновском поле тяготения и на таких высотах, где действием аэродина­

мических сил можно пренебречь. Поэтому

(2.14) векторное уравнение относительного движения

25

где

І , „ = ш х (ш х23) ;

(2.15а)

U7 ^ s X D. У

Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси орбитальной системы координат:

где Px,_py, Pz, Рях, Род, Рчг — проекции управляющих уско­ рений р и рц на оси орбитальной системы координат.

Проектируя векторы £ ц и g, получим следующее:

26

Используя выражения (2.15а), а также выражение для Wc в равенстве (2.12), найдем:

Чтобы система дифференциальных уравнений (2.16) была замкнутой, необходимо иметь_ соотношения, опре­ деляющие проекции векторов рц, р, ш, е на оси _орбитальной системы координат. Проекции векторов рц и р определяются принятыми методами управления объек­ тами. Для каждого конкретного метода или программы управления могут быть получены свои соотношения, определяющие проекции этих векторов на оси орбиталь­ ной системы координат. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в последующих главах. Для определе­ ния проекций векторов ш и s на оси орбитальной си­ стемы координат необходимо получить выражения, уста­ навливающие зависимость характера вращения орби­ тальной системы координат от управляющего ускоре­ ния р ц .

27

§ 2.3. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е С О С Т А В Л Я Ю Щ И Х У Г Л О В О Й С К О Р О С Т И И У Г Л О В О Г О

У С К О Р Е Н И Я О Р Б И Т А Л Ь Н О Й С И С Т Е М Ы К О О Р Д И Н А Т

При записи соотношений, устанавливающих зависи­ мость характера вращения орбитальной системы коор­ динат от управляющего ускорения рц, необходимо учи­ тывать, в какой системе координат осуществляется уп­ равление движением цели. В том случае, когда на борту имеется аппаратура построения орбитальной системы координат и управление движением центра масс аппа­ рата производится в этой системе координат, для опре­ деления составляющих векторов со и s целесообразно ис­ пользовать метод оскулирующих элементов. Если же управление целью осуществляется в абсолютной си­ стеме координат, тогда для определения угловой скоро­ сти и углового ускорения орбитальной системы коорди­ нат необходимо использовать соотношения абсолютной системы координат. Рассмотрим последовательно оба указанных метода.

Запишем систему дифференциальных уравнений дви­ жения цели в оскулирующих элементах [38]:

(2.22)

dt

28

эксцентриситета, аргумента перигея, долготы восходя­ щего узла, наклонения плоскости орбиты и истинной аномалии соответственно.

Решая систему уравнений (2.22) при заданном за­ коне изменения вектора управляющего ускорения рц, определим движение цели, а следовательно, и характер

Переход к проекциям вектора ш на оси орбитальной системы координат может быть осуществлен с помощью матрицы [Ла г ] (2.10), элементы которой записываются при условии, что £> =0. Тогда

29