книги из ГПНТБ / Балахонцев Б.Г. Сближение в космосе
.pdfвизирования в сторону цели, т. е. должен быть ликвиди рован начальный промах До (рис. 5.11). Очевидно,
V0™i = V™o+Wu |
(5-25) |
где Ѵотно — вектор начальной относительной |
скорости; |
ДѴі — импульс скорости, сообщаемый КА для |
ликвида |
ции начального промаха До при переходе на траекторию метода параллельного сближения; Ѵ0 Т ні — вектор отно сительной скорости после приложения импульса ДѴі.
Сравнительно просто решение задачи определения величины и направления корректирующего импульса АѴі может быть осуществлено в предположении движе ния сближающихся аппаратов в однородном поле тяго тения. Правомочность данного допущения для прибли женной энергетической оценки при ограниченных значе ниях начальной относительной дальности D0 и полетно го времени т подтверждается данными, приводимыми в табл. 5.1, которые характеризуют возможный диапазон ошибок (промаха) за счет определения импульса АѴі в однородном поле, в то время как реальное сближение предполагается происходящим в центральном поле тя готения.
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5 . 1 |
||
Промах (в м) за |
счет определения ДІ^ в однородном |
поле |
||||||||
|
При А —1000 км для т |
|
При Л ц - 3 5 0 0 км для т |
|||||||
De, КМ |
|
75 с |
100 с |
50 с |
|
75 с |
100 с |
|||
|
50 с |
|
|
|||||||
50 |
0 . 5 - 6 3 |
|
1,0-140 |
1,3-250 |
0,3 - 2 6 |
0,7—59 |
1,0—104 |
|||
100 |
0,9—130 |
3,0-280 |
5.0 -500 |
0 . 4 - 52 |
1.1-120 1.6-210 |
|||||
Рассматривая |
схему |
сближения |
КА в |
однородном |
||||||
поле |
тяготения, |
мы тем самым |
предполагаем, |
что на |
||||||
оба |
объекта |
действуют |
одинаковые |
гравитационные |
||||||
силы. Сближение в этом случае будет |
происходить в пе |
|||||||||
ремещающейся |
|
поступательно плоскости |
сближения. |
|||||||
Положение |
плоскости |
сближения |
будет |
определять |
||||||
ся линией визирования и вектором |
относительной |
ско- |
||||||||
170
рости Ѵотно (рис. 5.11). Точками Ц и КА на рис. 5.11 обозначены положения цели и маневрирующего аппара та в момент начала этапа ближнего наведения. Из этого_рисунка видно, что минимальное значение импульса АУі будет при ориентации его по нормали к линии ви зирования. В этом случае величина его определяется весьма просто:
Д^=К,тн<А>/А>- |
(5.26) |
Рис. 5.11. Кинематические параметры отно сительного движения КА
Корректирующий импульс ДІЛ может рассматри ваться не только как импульс, необходимый для пере хода КА на наведение по методу параллельного сбли жения, но и как импульс, который в идеальном случае обеспечивает встречу аппарата с целью.
Выражение (5.26) записано в предположении им пульсного изменения вектора скорости маневрирующего аппарата. Для более точного определения потребного значения характеристической скорости необходимо учи тывать возможные ограничения по величине тяги дви гательной установки КА. Увеличение характеристиче ской скорости по сравнению со значением АѴ\, опреде ляемым по формуле (5.26), будет тем больше, чем меньше тяга Р двигательной установки и чем больше
потребный импульс скорости. Получим выражение |
для |
||
необходимого ресурса |
характеристической скорости ДѴі |
||
на участке коррекции |
в предположении, что вектор тя |
||
ги Р на участке коррекции все время ориентирован |
по |
||
нормали к линии визирования и управляющее |
ускоре |
||
ние р постоянно по величине. Предварительно |
рассмот |
||
рим, как изменяется |
на участке коррекции дальность |
||
до цели D. |
|
|
|
171
Приближенное значение D может быть определено следующим выражением (рис. 5.11):
D = [Dl+ (Vom0t)2 - 2 V W V°1 - Л о ] ' / г • |
< 5 - 2 7 ) |
Известный закон изменения относительной |
дально |
сти позволит подойти к более точному определению по
требного |
значения характеристической скорости в це |
лях ликвидации начального промаха. |
|
Для рассматриваемой в данном параграфе упрощен |
|
ной схемы |
сближения КА уравнения (2.77) относитель |
ного движения в визирной системе координат при ориентации управляющего ускорения по нормали к ли нии визирования могут быть записаны в таком виде:
(5.28)
Подставляя во второе из этих уравнений выражение (5.27) и найденное из него дифференцированием значе-
ние D, получаем следующее решение:
рп |
\Ь Ѵ~с |
Aac— |
|
2Ѵас + Ь |
|
|||
at*+bt+c\ |
4а + |
8a]/"â |
] 2 [/ a(at*+bt+c ) + 2at+b_ |
|||||
- ± |
{2at + b) V a P |
+ bt + c - |
, |
(5.29) |
||||
где й л . во — начальное |
значение угловой |
скорости линии |
||||||
визирования; |
t — текущее |
время, |
отсчитываемое |
от на |
||||
чала этапа коррекции; а = |
Ѵ 2 О Т Н 0 ; |
b = — 2 K O T H 0 ] / Z ) 2 — А2; |
||||||
дач, относящихся |
к участку |
коррекции |
движения КА. |
|||||
В том случае, |
когда время |
коррекции t\ |
задано, |
необхо |
||||
димое значение управляющего ускорения может быть рассчитано по формуле
|
|
|
(2ati |
+ b) Y at\ |
+ bti + c |
|
|
Рп |
|
|
|
|
+ |
|
|
4ac — 6 |
2 |
2 У |
a (at2 + bti |
+ с) + 2att |
+ b |
bV"c |
.(5.30) |
+ 8я УЪ |
|
|
2 Vac |
+ b |
|
4a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
172
Тогда сравнительно легко можно определить и не обходимый ресурс характеристической скорости для ре ализации этапа коррекции:
Wx = |
-Pnh. |
|
(5.31) |
Но более интересным случаем, вероятно, |
будет тот, |
||
когда задана величина рп |
и необходимо найти |
время t\. |
|
Искомое значение t\ может быть определено |
из урав |
||
нения (5.29) при и л . в = 0. |
Ввиду сложности |
получаемо |
|
го выражения более удобным оказывается |
определение |
||
времени t\ методом последовательных приближений, на
пример используя |
способ |
Ньютона (метод |
касатель |
|
ных). Процесс сближения |
сходится весьма быстро, если |
|||
в качестве |
первого |
приближения t\ взять значение tw, |
||
полученное |
в предположении, что дальность |
D на уча |
||
стке коррекции изменяется по линейному закону. Ввиду небольшой продолжительности участка коррекции это
допущение вполне |
оправдано. |
|
Принимая |
D = D0 + Dt, |
|||||||||
решение |
второго |
дифференциального |
уравнения |
систе |
|||||||||
мы |
(5.28) |
можно получить |
в |
таком виде: |
|
|
|
||||||
|
|
^ л . в |
= |
^ л . в o ( : 7 І ) |
+-Ж(А> + - ^ - ) |
|
(5.32) |
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ол. BoOg + pnt |
( D 0 + 0,5Dt) |
|
|
|
||||
|
|
Q |
- |
= |
(D0 + |
Dty |
|
|
|
|
( 5 - 3 3 ) |
||
Для определения tl0 в |
уравнении |
(5.33) |
положим |
||||||||||
|
и |
- - л . в= 0. |
Тогда, |
решая |
квадратное |
|
уравнение, |
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ао — |
•D0(l |
- |
j |
/ |
" |
1 - |
2 D ^ - B 0 |
j / Д |
(5.34) |
|||
В качестве D может быть принято начальное значе |
|||||||||||||
ние À, — — Ѵотя |
о K l — (à0/DQ)2. |
|
Результаты |
|
проведен |
||||||||
ных |
расчетов |
показывают, |
что |
|
оказывается |
весьма |
|||||||
близким к ^ и уже при третьем |
сближении |
величина |
|||||||||||
поправки |
близка |
к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В табл. 5.2 приведены данные, характеризующие за |
|||||||||||||
висимость ti и АѴі |
от значений |
управляющего |
ускоре |
||||||||||
ния |
рп. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
173
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 5 . 2 |
|
|
|
З а в и с и м о с т ь |
в е л и ч и н |
г4 и ЛѴі о т |^„ | |
|
||
|
( £ > о=70607 |
м, D 0 = - 1 2 8 6 м/с, Й Л . В О = 0 , 0 0 5 8 1 4 7 с - >) |
|
||||
\Pn\- |
М / С 2 |
30 |
60 |
100 |
150 |
200 |
300 |
tt. |
с |
16,02 |
7.33 |
4,27 |
2,81 |
2,09 |
1,39 |
ДѴ7!, |
м/с |
480,7 |
439,9 |
427,2 |
421,3 |
418,5 |
415,8 |
Величина ДѴі, рассчитанная для тех же исходных данных, но в предположении импульсного изменения вектора скорости на ѵчастке коррекции, когда можно
/ч гД
Рис. 5.12. Кинематические параметры отно сительного движения КА при заданном времени сближения
воспользоваться формулой (5.26), оказывается равной 410,6 м/с. Очевидно, что в том случае, когда tx полу чается сравнительно небольшим, эта приближенная фор мула дает вполне приемлемые по точности результаты.
Если время t\ задано, потребные значения \рп\ и Д Vi для коррекции движения космического аппарата легко
определяются из полученного |
ранее решения |
(5.33): |
||
' ^ м г а г |
|
<5 -3 5 > |
||
|
2Д&Л во |
|
|
|
А Ѵ |
0 |
л^во |
|
|
|
Dtt |
+ 2D0 |
v |
; |
Рассмотренная методика определения потребных энергетических затрат на этапе коррекции была изло жена без учета возможных ограничений на продолжи тельность процесса сближения. Полетное время т в
174
этом случае |
определяется начальными |
условиями. |
||
В действительности для каждого |
конкретного аппарата |
|||
существует |
некоторый диапазон |
допустимых |
значений |
|
времени т. |
При |
заданной величине х могут быть полу |
||
чены приближенные выражения для потребного импуль са скорости АУ] и угла у, определяющего его ориента
цию |
относительно |
линии |
визирования |
(рис. 5.12). |
|
|||||||||||
Импульс |
скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ДІЛ = К ( А £ л . в о ) 2 + ( А |
+ |
ад2. |
|
(5.37) |
|||||||||
Но |
|
|
|
|
|
Vol |
|
поэтому |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДУХ |
= |
і |
/ |
До)2 |
+ (Ц ) + |
Д ) |
№ |
|
(5.38) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
V |
Dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
sm Y |
= |
|
|
|
|
|
|
АД. |
|
|
|
|
|
|
|
|
| / ( D A ) 2 + |
( ß g - Д0 2 ) (À> - |
А > Л ) 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos Y |
= |
|
|
|
(р, + / у т ) У д Г л 2 |
|
' |
|
|
{ |
(5.39) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
| |
/ |
(І)0 Д0 )2 |
+ |
{Dl |
- Äg) ( D 0 + DJ* У |
|
|
|
|
|||||
На рис. 5.13 приведены графики, |
иллюстрирующие |
|||||||||||||||
зависимость АУі от т для трех значений D0. |
|
Видно, что |
||||||||||||||
графики |
АУі(т) |
имеют явно |
АѴ, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
выраженный |
минимум |
при |
|
I |
D0 =>-250лі/с |
|||||||||||
м/с |
|
|||||||||||||||
т = —D0 /DQ . |
Увеличение АУі |
|
|
\ |
А° |
= 5КА> |
|
|||||||||
с уменьшением |
т |
происхо |
500 |
|
|
|
|
|||||||||
дит |
|
более |
интенсивно, |
чем |
|
|
К |
|
|
|
||||||
при |
увеличении |
т. |
Измене |
|
|
\\сс |
|
|
|
|||||||
ние |
D0 может |
|
по |
разному |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сказываться |
на величине АУі |
250 |
|
\ о |
|
|
|
|
||||||||
в зависимости |
от |
заданного |
|
ta |
|
|
|
|
||||||||
значения |
т. Это необходимо |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
учитывать |
при |
расчете по |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
требного |
ресурса характери |
О |
100 |
200 |
300 t, с |
|||||||||||
стической |
скорости, |
а |
так |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
же |
при |
определении |
воз |
Рис. 5.13. |
Потребный |
импульс |
||||||||||
можного |
диапазона |
исход- |
скорости |
для |
сближения КА |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ных данных, при которых может быть реализован про цесс сближения,
175
§ 5.4. У П Р А В Л Е Н И Е Д В И Ж Е Н И Е М КА В Д О Л Ь Л И Н И И В И З И Р О В А Н И Я
После того как маневрирующий аппарат выведен на траекторию метода параллельного сближения, т. е. угло
вая |
скорость линии визирования сведена к |
нулю, зада |
ча |
управления сближением превращается |
в одномер |
ную и состоит в том, чтобы найти закон движения вдоль
линии визирования *. Для |
обеспечения |
«мягкой» встре |
чи КА этот закон должен |
быть таким, |
чтобы скорость |
сближения стремилась к нулю в момент встречи. Кроме того, на закон движения могут быть наложены допол нительные ограничения, обеспечивающие оптимальность управления.
Закон движения вдоль линии визирования может быть задан различно. Когда он задан в виде некоторой
функции |
времени, а также |
зависит от каких-либо |
фик |
|||
сированных |
постоянных, задаваемых до начала маневра |
|||||
сближения, |
говорят, |
что |
осуществляется |
п р о г р а м |
||
м н о е |
управление |
продольным движением |
КА |
вдоль |
||
линии визирования. Если же закон движения вдоль ли нии визирования представляет собой функцию только текущих значений фазовых координат сближаемых объ ектов, то имеет место п а р а м е т р и ч е с к о е управ ление сближением КА [28].
Программные системы управления обладают рядом недостатков. Одним из них является то, что программа движения, заданная в виде функции времени, сущест венно зависит от начальных условий сближения. По этому расчет программы сближения связан с выполне нием на борту КА большой вычислительной работы. Сближение же по одной и той же программе при раз личных начальных условиях может привести к значи тельному увеличению расхода топлива и к потере точ ности. Учитывая это, при рассмотрении сближения КА вдоль линии визирования в большинстве работ основ ное внимание уделяется параметрическим программам. При этом стремятся к тому, чтобы параметрическая программа была пригодна для всего диапазона возмож ных начальных условий.
* В предположении, что задача решается в однородном поле тяготения.
176
Рассмотрим такого рода программу движения КА. Запишем уравнение относительного движения КА вдоль неподвижной линии визирования:
|
d*D |
(5.40) |
|
dP = PD, |
|
где |
pD — величина управляющего ускорения |
вдоль ли |
нии |
визирования. |
|
Предположим, что \pD\ =р = const. Уравнение (5.40) представим в виде системы двух дифференциальных уравнений:
(5.41)
Программу движения маневрирующего аппарата вдоль линии визирования будем искать для следующих граничных условий:
D(0)=D0; D ( 0 ) = Ä > 0 ; £>(т) = 0; Z ) ( T ) = 0.
При постоянном по модулю управляющем ускорении программа сближения для «мягкой» встречи может со стоять из двух участков, на каждом из которых сохра няется постоянное направление управляющего ускоре
ния [28]: рт |
и pD2. |
|
|
|
|
Запишем |
решение |
системы |
(5.41) для первого уча |
||
стка: |
|
|
|
|
|
|
D(t)=D0 |
+ D0t |
+ |
-±-pmt*; |
|
|
|
|
|
|
(5.42) |
|
D(t)=D0 |
+ |
|
pD1t. |
|
Для рассмотрения второго участка систему уравне |
|||||
ний (5.41) |
перепишем |
|
для |
отрицательного времени |
|
|
|
|
|
|
(5.43) |
177
Учитывая, что при Р = 0, D = D = 0, решение системы (5.43) можно получить в таком весьма простом виде:
D(P) = |
±-pm(P)2; |
D(P)=pD2f. |
(5.44) |
Обозначим через |
t1 и Pl=t\—х момент |
времени, со |
|
ответствующий точке перехода от первого ко второму
участку. Значения |
параметров |
|
относительного |
движе |
||||||||
ния для этого момента |
времени, |
получаемые |
в |
резуль |
||||||||
тате решения (5.42) и (5.44), |
должны |
быть |
одинако |
|||||||||
выми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D0 + |
Dot, + |
\ p m |
t \ |
= |
4" PD2 {t[)2; |
|
(5.45) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A) + |
/ W i = / W î - |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
D>0, |
то из рассмотрения |
первых |
уравне |
||||||||
ний (5.44) |
и (5.45) |
можно |
заключить, |
что рт — р, т. е. |
||||||||
рг>2>0. Из выражений (5.45) можно |
установить, |
что |
||||||||||
Рт = —Pu т. е. |
рт<0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, при £>о>0 на первом участке управ |
||||||||||||
ляющее ускорение |
рь |
направлено по |
линии |
визирова |
||||||||
ния в сторону цели (участок разгона), |
а на втором |
уча |
||||||||||
стке— в обратную |
сторону |
(участок |
торможения). |
|||||||||
Подставляя значение pD\=—Р |
в |
систему |
уравнений |
|||||||||
(5.42), a pDi — p в систему |
(5.44), получаем: |
|
|
|
||||||||
— для первого |
участка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Dit)=Df\-m-\pt* |
|
|
|
|
|
|
(5.46) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D (t)=D0 |
— pf> |
|
|
|
|
|
|
|||
— для второго |
участка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D (Р) = |
рР. |
|
|
|
|
|
|
(5.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Исключив из уравнений (5.46) время t, получим за висимость, устанавливающую связь между текущими значениями параметров D и D на первом участке:
D |
^D>+±Db- |
+ DQ. |
(5.48) |
178
Эта |
кривая |
представляет |
собой |
параболу |
ОСГ |
||
(рис. 5.14). Исключив из уравнений |
(5.47) |
время |
по |
||||
лучим |
аналогичное выражение |
для |
второго |
участка: |
|||
|
|
D = -^D\ |
|
|
|
(5.49) |
|
Эта |
кривая |
представляет |
собой |
параболу |
ГТ |
||
(рис. 5.14), проходящую через начало координат. Ее
иногда |
называют |
|
параболой |
|
|
|
|
|
|||||||
торможения, так как по мере |
|
|
|
|
|
||||||||||
сближения |
КА |
относитель |
|
|
|
|
|
||||||||
ная скорость гасится до ну |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ля. Вид параболы |
торможе |
|
|
|
|
|
|||||||||
ния зависит только от вели |
|
|
|
|
|
||||||||||
чины управляющего |
ускоре |
|
|
|
|
|
|||||||||
ния |
р. |
Начальные |
условия |
|
|
|
|
|
|||||||
не |
оказывают |
влияния на |
|
|
|
|
|
|
|||||||
движение |
на участке |
тормо |
|
|
|
|
|
||||||||
жения. Скорость |
|
сближения |
|
|
|
|
|
||||||||
D для |
фиксированного |
зна |
|
|
|
|
|
||||||||
чения р является функцией-, |
|
|
|
|
|
||||||||||
относительной |
дальности: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
D=-V2pD. |
|
|
|
(5.50) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Следовательно, |
програм |
Рис. |
5.14. |
Фазовые |
траектории |
|||||||||
ма |
управления в |
этом |
слу |
||||||||||||
сближения КА вдоль |
линии |
||||||||||||||
чае |
определяется |
|
условием |
||||||||||||
|
|
|
визирования |
|
|||||||||||
Рв = р — const |
и |
не |
зависит |
|
|
|
|
|
|||||||
от |
времени |
и |
текущих |
значений |
параметров |
дви |
|||||||||
жения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Точка |
пересечения |
двух |
|
рассматриваемых |
парабол |
|||||||||
(точка |
Г на рис. 5.14) |
определяет |
момент перемены на |
||||||||||||
правления управляющего ускорения р. Координаты этой
точки |
DT, DT на |
фазовой плоскости |
могут быть |
опреде |
|
лены |
совместным |
решением уравнений (5.48) и |
(5.49): |
||
|
D2 |
+ |
D0 ; Dr=-yD0p |
+ 0,5Dl |
(5.51) |
|
__2_ |
||||
|
2р |
|
|
|
|
Рассматриваемая программа сближения КА вдоль линии визирования в соответствии с принципом макси мума [29] является для принятой постановки задачи
179