книги из ГПНТБ / Балахонцев Б.Г. Сближение в космосе

ных для решения задачи сближения мы тем самым сво­ дим ее к решению задачи определения орбиты КА, про­ ходящей через две заданные точки пространства M и N, причем время движения от точки M до точки N должно быть равно т.

ской или эллиптической орбите. Тип орбиты опреде­ ляется взаимным положением точек M и N, а также временем перехода т. Однако при рассмотрении задачи сближения с орбиты ожидания в условиях ближнего космоса наиболее вероятными орбитами перехода будут эллиптические вследствие того, что переход по парабо­ лическим или гиперболическим орбитам потребует боль­ шого импульса скорости АѴ\, реализация которого бу­ дет практически невозможна. Поэтому все дальнейшее изложение мы будем проводить для эллиптических ор­ бит сближения и наша задача будет заключаться в оп-

90

ределении параметров эллипса, проходящего через точ­ ки M и N, положение которых относительно одного из фокусов F известно. Если известно и положение второ­ го фокуса F*, то задача определения траектории, про­ ходящей через точки M и N, решается однозначно.

Очевидно, что положение второго фокуса нельзя вы­ бирать произвольно, поэтому предварительно найдем геометрическое место вторых фокусов всех эллипсов, по которым возможен переход из точки M в точку N без ограничения на время перехода.

Если через гх и г*2 (рис. 3.11) обозначить расстоя­ ния от точек M и ІѴ до второго фокуса, то, используя свойство эллипса, можем записать следующее:

Введем в рассмотрение величину S как расстояние между точками M и N:

В зависимости от значения 2 а возможны следующие случаи [38].

1) г\ - fr* < S. Из выражения (3.71) следует, что это равносильно условию

В этом случае окружности не пересекаются и пере­ ход из точки M в точку N по эллиптической орбите не­ возможен.

2) г* + r'2 — S. Это равносильно условию

91

В этом случае окружности пересекаются в двух точ­ ках F* и F*. Следовательно, существуют две эллипти­ ческие орбиты, связывающие точки M и N. Эти орбиты имеют одну и ту же большую полуось, а их вторые фо­ кусы располагаются симметрично относительно пря­ мой MN.

MNXN и MMiN.

При решении задачи определения параметров траек­ тории встречи направление обхода всегда будет задано, так как, находясь в точке М, КА обладает орбитальной скоростью, а его энергетические возможности позволят изменить направление вектора скорости лишь так, что направление обхода останется неизменным. Поэтому при дальнейшем изложении мы будем считать, что на­ правление обхода задано и для определенности примем, что оно совпадает с направлением движения часовой стрелки.

Из рис. 3.11 также видно, что эллиптическая орбита MM\N характеризуется тем, что ее второй фокус F* ле­ жит вне эллиптического сегмента, образуемого прямой

ответствующего эллиптического сегмента, то такую ор­

то орбиты первого и второго рода сливаются в одну ор­ биту, которую будем называть г р а н и ч н о й .

92

Рассмотрим теперь характер изменения величины и направления скорости в точке М, при которой обеспечи­ вается переход из точки M в точку N по эллиптической орбите без учета времени. Связь между величиной ско­ рости Ѵм и ее направлением в точке M и заданными величинами г,, г2, ф дается уравнением семейства тра­ екторий одинаковой дальности [27]. Это уравнение после незначительных преобразований можно записать в виде

Таким образом, для перехода из точки M в точку N по эллиптической орбите необходимо, чтобы конец век­ тора скорости в точке M лежал на гиперболе, задавае­ мой уравнением (3.78). Легко показать, что асимптота­ ми гиперболы являются ось ѵ\ и линия, соединяющая точки M и N. Отсюда следует, что гипербола «выпрям-

93

(3.78) дает две прямые. Так как случай ф = 2 п ъ (n = 0,ï,...) практического интереса не представляет, то определим

хода притягивающего центра. Поскольку мы условились рассматривать движение только по ходу часовой стрел­

которых S>0.

Как известно, параболическая скорость Ѵп в точке,

альной скорости может быть любым, но удовлетворяю­ щим условию

которое следует из условия (3.82).

94

Введем новые безразмерные координаты £і, тц и при­ ведем уравнение (3.78) к каноническому виду. В ре­ зультате получим

В этом уравнении

Перейдя в выражении (3.74) к безразмерным вели­ чинам, для граничной эллиптической орбиты можем за­ писать

Из сравнения выражений (3.85) и (3.88) видно, что большая полуось годографа скорости равна той скоро­ сти, которую должен иметь КА в точке М, чтобы пе­ рейти из точки M в точку N по граничной эллиптиче­ ской орбите (рис. 3.12). Отсюда также следует, что гра­ ничная орбита обеспечивает переход при минимальной величине вектора скорости в точке М, и поэтому ее ино­ гда называют о р б и т о й м и н и м а л ь н о й э н е р г и и .

Используя зависимости для канонического преобра­ зования кривой второго порядка, найдем, что угол по-

95

рости для граничной эллиптической орбиты. При ф ф %п

Все геометрические соотношения и аналитические зависимости настоящего параграфа получены без учета

ном времени существует бесчисленное множество эллип­ тических орбит, обеспечивающих переход из точки M в точку N.

96

Дальнейшая задача состоит в том, ..чтобы из всего семейства возможных эллиптических орбит выбрать та­ кую (если этот выбор вообще возможен), которая обес­ печивала бы переход из M в N в течение заданного времени т. Для определения такой орбиты воспользуем­ ся уравнением Эйлера—Ламберта [32].

В формулах (3.90) — (3.93) величина S определяется

спомощью равенства (3.72), знак «—» соответствует

случаю, когда ф—2тт*Стс, а знак « + » — случаю, когда ф—2 тс«>тс.

Уравнение Эйлера—Ламберта является трансцен­ дентным, и для его решения относительно искомой ве­ личины а могут быть использованы различные числен­ ные методы. Однако при

В0Со — эллиптическим орбитам второго рода.

На рис. 3.14 для ф = 30° и различных k изображены

гиперболы годографа скорости в координатах £, ц, а также изохроны для различных значений безразмерно-

98

Из рассмотрения кривой / на рис. 3.13 и кривых

рис. 3.14 следует, что при ф<2тг каждому значению t соответствует одно вполне определенное значение х или одно значение скорости в точке М. Так как величины х или Ѵм однозначно определяют величину а, то в этом случае уравнение Эйлера—Ламберта всегда имеет ре­ шение и 'притом единственное.

В том случае, когда до момента встречи с целью КА