Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Мотулевич Д.Ю. Элементы теории и техники автоматического регулирования учеб. пособие для студентов всех специальностей хим.-технол. фак

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

			s
OSbetim.	« 0	Mi)	Объемm

U*~^- Регулирующей

Р и о . 9 6 , Сиотема	регулирования! а - в замкнутой состоянии;
ö - в	разомкнутом состояния

-181-

	?fP)ßlp*z(p) = -2fp)ypeZfp),		• (97)
где Afp)	, S/pJ,	?/P) и %)/p) - дифференциальннѳ	выра
жения в	операторной	форме. В частном простейшем случае,

если автоматизируется одноемкостной объект о самовыравяива^ виѳм и без запаздывания, уравнение (96) запишем так:

(Tp+M«'fp)'Wafp),				os);
а уравнение (97) при подключении к объекту				простейшего
пропорционального	регулятора:
JVpez	fp)= --f	Урег	fp) t	(99)
причем
	%6(Р)	= Vpezfp);
	j^fphJVcs		fp) •	(loo)

В правой части уравнения объекта или регулятора обя зательно должен стоять знак минус, это можно объяснить следующим образом.

Допустим,	что контур системы регулирования находится
в состоянии равновесия и разомкнут				в месте присоединения
регулирующего органа		к исполнительному механизму (рис.
9о,б) .. При нарушении		равновесия и изменении номинальных
значений %	и JM*	будем	считать	отклонения	л if ъл/Ь'
положительными,	если они направлены в сторону				увеличения
численных значений этих величиной отрицательными,						если
они направлены в сторону их уменьшения.
Пусть в объект поступил сигнал				Jily		, тогда
согласно уравнению (98)			і £	• Увеличенное		значе-

	- ш -
вне переменного	поступит в регулятор, который долмчн
сраоокать так,	чтобы уменьшилооь возникшее отклонение

регулируемой величины. Таким образом, положительное откло

нение входной вѳличиныу^		должно		вызвать	отрицательное
отклонение	выходной величины		регулятора		, т . е . в
уравнениях	регулятора (97)	и	(99)	согласно	условию должен

стоять знак минус, В некоторых системах при отклонениях JUg^J^" отклонение параметра i^.< !ff/ , тогда знак

минус записывается в уравнении объекта, а не регулятора. При запиои уравнения системы регулирования это не имеет значения,

Вели САР выводитоя из состояния равновесия под дейст вием некоторого внешнего возмущающего воздействия „// , уравнение (98) запишем так;

fa+W-K'V+J

( І 0 І )

Подставив в уравнение (101) значение^2 '' из-уравнения (99), получим ураьнѳние системы регулирования

		[ТР	+ f	i	J	.			(102)
	Это уравнение устанавливает закон изменения во време
ни регулируемого			параметра		оистѳмыУ			при непрерывно
действующем		внешнем воздействии				Я	и называется		уравне
нием вынужденного			движения		САР.	Если		после вывода оистѳ-
Мл из	состояния равновесий				внешнее		воздействие снимается,
т . е ,	Jt*ft)-	становится			равным 0,		то уравнение		(102)

запишем так:

Уравнение ЦОЗ) называется уравнением свободного движения системы. Динамические овойства системы и,следо вательно^ ее устойчивость ме завиоят от характера и величи-

- 183 -

ны внешнего воздействия^ а целиком определяются внутрен ними свойствами оамой сиотемы. Поэтому, говоря об устой чивости системы, необходимо рассматривать уравнение сво бодного движения. Это уравнение в общем алучае

^ЧГ^

(104)

+О

или в операторной форме

'(&оР+ЪР*				• • *	*		( І 0 5 )
Для			того'чтобы выяснить		характер движения		системы,
т . е .	определить, будет ли она устойчива, нужно						решить
уравнение			свободного движения системы (Г04).
	Решение			этого уравнения
				У[£)=/7ее,			(Юб\|
где	$	и ÎT		- числа, которне нужно определить			так,что*
бы, подставив решение (106) в уравнение (104), обратить
последнее			в тождество.Подставим значения			</^/7еьй		\
oit	н г	е	;	~£^г-//г1е	и т . д . в	уравнение
(104):
	Сократив			это уравнение	на величину#е		,найдем

алгебраичѳокое уравнение, которое называется характерис тическим:

а^0--^"^

• • •а^-'г * Л п = û -

( І 0 7 )

- 184 -

Это уравнение отличается от уравнения (105) только обозначением переменной, поэтому его можно считать тоже характеристическим уравнением системы. Корни характерис

тического		уравнения P~Pjj		' ' '
обращают		его левую часть в нуль, а			его	решение
		У&)Е&еР*			,	dos)
где	$tr	- постоянные	интегрирования,			зависящие от
		начальных	условий.

Корпи характеристического уравнения могут быть вещес твенными (положительными, отрицательными или равными нулю) или комплексными, у которых вещественная часть положитель на, отрицательна или равна нулю. В табл.3 приведены кри вые переходных процессов в САР при различных значениях Для устойчивой работы САР необходимо, чтобы переходные процессы, вызванные любыми воздействиями, с течением вре мени затухали, т . е . чтобы О , а это может быть, как видно из табл.3, только в том случае, когда все

вещественные	корни рк	характеристического уравнения
системы и вещественные		части о£	всех комплексных		корней
отрицательны: переходные процѳсоы			I и 4 в	табл.3.	Значе
ние	на стремится к нулю,		если хотя	бы один	корень

характеристического уравнения не удовлетворяет этому тре бованию. Следовательно, САР., имеющие переходные процесоы 2, 3, 5 'и 6, требуют замены регулирующего устройства.

Корни характеристического уравнения на плоскости комплексного переменного имеют вид точек. Вещественные корни Pf есть точки на оси абсцисс, мнимые - на оси ординат, а пара комплексных сопряженных корней азображаетея двумя точками, расположенными симметрично относитель

но	оси абецисс	(рис,97) . Системы с затухающими переходны
ми	процессами,	как следует из табл.З^ должны	иметь	КОРНИ
характеристического уравнения,расположенные			слева	от

					- 185	-
M'	Значение				ЛM y>(tJ	Зременная			вид
M'	i/epueù		P*		ЛM y>(tJ	xo/>o#/neftucmo*x.			вид
П.П. Іураіцечиг*					при S.-*с3		C/fP		cap
	Корни			уравнения		Ш8)		егщестЯенные
	Все		fr+û				ЧЮ		Ус/поà-
i	Все		fr+û		eimtfdJ-o				Ус/поà-
i					eimtfdJ-o				ѵх&ая
		..	п.		npat-~°°	0
		..	п.			0
							ifdj	_
							7 I V		Нейт
2									Нейт
2	Р*.-і -- о				nput — °°	0 J		t	ральная
	Р*.-і -- о				nput — °°	0 J		t
	Х=	ІЯІ...П			fim <f/t}< m			/
									Heyemoû
3
3					Hpui--&>
					Hpui--&>
	H*(2...L...fl				_ CP		s \	i
							s \	i
			up a Suел'с/fi WS)					.	І.../7.
								.	І.../7.
	осе						4M
	осе								Услѵоа- -
	jßf	любые			при — <* t (\			r\	Услѵоа- -
	jßf	любые			при — <* t (\			r\
		1,2...л		.п	=Û		I V ^		Vt/Sajf
									Vt/Sajf

\					-co.ost		У/У
\					-co.ost		A Л •(.
: 5					ft m ft'tj--				Ней/п-
: 5					при t * <*>			рОМбАЮЯ
i								рОМбАЮЯ
i	tf.-ii..t../>						A Л /
	tf.-ii..t../>

6	°Сѵг < 0				При t-* «°				Het/Cmoô
	°Сѵг < 0							. ѴО&КЯ

	° W		/.у
	° W		/.у				• ^	\ '	s
							• ^	\ '
							t	\J

- 186 -

мнимой оси.

- ai

Рис.97. Корни характеристического уравнения в

плоокости комплексного переменного

Следовательно,для того чтобы линейная система авто матического регулирования была устойчива, необходимо и доотаточно, чтобы точки, соответствующие всей корням характеристического уравнения системы, находились в комплексно! плоскости корней слева от мнимой оси.

§ 2. Критерии устойчивости

Для определения устойчивости системы автоматическо го регулирования необходимо найти корни характеристическо го уравнения этой системы. Но решение уравнений не вызы

вает затруднений, если мы имеем уравнения первого пли второго попядка; решение уравнений болез высоких порядков

осуществляется приближенными методами и требует большого объема вычислительной работы.Для того чтобы обойти эти

- 187 -

трудности, необходимо найти такие условия и признаки,по который можно было бы судить об у стойчивости САР, не решать ее характеристического уравнения. Эти условия и признаки устойчивости называются критериями устойчивости»

В настоящее время известно несколько критериев устой чивости. Ниже рассмотрено два критерия, которые даны без доказательства, но о указанием методики их практического применения,

А. Критерий Раусоа -ІѴрвица

Этот критерий был предложен в конце прошлого века Еауссоы и Гурвицем, которые проводили работу независимо друг от друга. Критерий накладывает условия на коэффициен ты характеристического уравнения системы. При выполнении этих условий вое вещественные корни и вещественные части комплексных сопряженных корней будут отрицательны, т . е . система будет устойчива.

Критерий			формируется так:					если	характеристическое
уравнение		замкнутой			системы		л -го порядка имеет			вид	(107),
причем коэсйшциент					Я-о>о	т	то	для устойчивости линейной
САР необходимо и				достаточно,			чтобы были положительны				tl
определителей			уравнения			(	> О } Лг		> 0;Л5>0...	Д„	У О )
составленных			по	образцу»
								О
	дп	=		j ар dz		&u	..О
				\0 CL, d3 •
				ООО .			а				(109)
Pia	практике			этот кпитерий				обычно	применяется	при
- 5,	так как с			ростом		порядка		дифференциального		упав-

-188-

Нѳния громоздкость расчетов быстро возрастает. Ниже рас смотрены конкретные случаи применения критерия для систем; описываемых дифференциальными уравнениями разных порядков,

I ,	Работа САР описывается дифференциальным уравнением
первого	порядка, т . в, П = I ,

Характеристическое уравнение в этом случае им°ѳт вид:

а - р	*	*•<	( п о
^	?	°	по условию,
&J-			согласно кпитерию, т . е . для

устойчивости такой системы необходимо и достаточно, чтобы

коэффициенты уравнения				были	положительны.
	П. Работа	САР описывается				дифференциальным		уравне
нием второго порядка,?.©,					п •- 2,
	Іарактѳпистическое уравнение
		а0р*+а,р			*Og	=с.		( 1 Г ( }
	Тогда, если система устойчива, &0?û						по	условию,
	la,	&	I	г,
	&S= IО-о		I^			согласно критерию.
						Ч.
вскроем: определитель:
*пи	Сі,Сіг?о	, но		О., > О		из преішдущего, т . е . , для
того чтобы CL^CL2?ÛJ				az		также должно быть боль
ше	0. Иными словами,			система,		описываемая	дифференциаль
ным уравнением		( I I I ) ,		будет	устойчива, если		коэффициенты

уравнения полояятельны »

-189-

Ш.Работа САР опиоава дифференциальным уравнением третьего порядка, т . е . Л = З І

Характѳриотичѳское уравнение

авр3+ а, р г+ a2pfas =о.

	Определитель		Раусса-Гурвица имеет вид:
			ja,		а.3о	i
		V Ч а а			аг о	I >	О,
		.	' о	а,	а3	I
	или
				'-о			( И З )
Но ffB>0 по условию. Выше найдено,							что й^О ; (1ХЮ , - т . е .
а,аг^о	и	а,а^>а}а„		• следовательно; a,at -а„ а3 > о ,
а для	того,	чтобы было â3s>0 ,				т . о .	(Х3 (и/Хг~a0(I}J> О,
d}также	должно быть.больше			0 .

САР, описываемая дифференциальным уравнением третье- . гопорядкаі, будет устойчива, если коэффициенты уравнения


положительны	и выполняется неравенство		? &о^з •
ГУ. Работа САР описывается дифференциальным урав
нением четвертого порядка, т . е .		/ 7 = 4 »
Характеристическое уравнение		запишем так:
а0р	а,р3-* а.грг+ <%р *		о t

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ