книги из ГПНТБ / Мотулевич Д.Ю. Элементы теории и техники автоматического регулирования учеб. пособие для студентов всех специальностей хим.-технол. фак
.pdf- 160 -
Следовательно, фазо-частотная характеристика представляет собой зависимость, выраваючую разность фаз между выход ными и входными гармоническими колебаниями объекта при изменении частоты этих колебаний.
Бели в декартовых координатах по оси абсцисс отклады
вать |
значения U) |
от 0 до |
о<? , |
а по оси ординат значе |
ния |
модуля |
и фазы |
% |
то получим графичес |
кое изображение амплитудно-частотной и фазо-чаототной характеристик (рис.90).
Рио.90. Чаототныа характеристики:
I \(<•>••) вещественная и мнимая частотные характеристики;
№(й)и Ѳ(и ) амплитудно- и фазо-частотные характеристики
Кривые M(iûi) и Ф/йРі) строятоя по некоторым фикси рован' УМ значениям U?i , но в дальнейшем по этим кривым можно найти значения М(щ) и Ф(а%) при любых toi.
- 161 |
- |
Получив величины М(сОі) л |
Ф((Л>І) для любых Cty , |
мохно построить в амплитудно-фазовую характеристику систем
ны (звена) |
в полярных координатах, причем |
ftt/âZJ |
будет |
|||
модулем, а Ф/аУ/J - фазой точки &?і |
(ряс.91). Положе |
|||||
ние точка |
|
определяется модулем |
|
ш фазой |
||
<P/6?,J |
, |
точки й?г-М{и?г) |
и |
, а |
точки |
- |
Частотные характеристики для эвена (60) могут быть найдены • аналитически во передаточной функции:
Из уравнения (69) можно получить соответствующую частотную характеристику, веди заменить знак оператора/э на величину itc? , Известно, что
І- f r ;
Тогда уравнение (69) запивюы так:
Уничтожив иррациональность в знаменателе, получим
W f j v l . x J t ^ L |
„,-___£^- |
• 9 1 . Построение- амплитудно-частотной характеристики
|
- |
ІоЗ - |
|
|
|
ІЪ общем случае |
Ufcû)- |
вещественная |
частотная характ^ри^- |
||
• |
|
|
тика ; |
|
|
^Vfct?) - |
мнимая частотная характеристика; |
||||
|
|
|
амплитудно-фазовая |
чаототная |
|
|
|
|
характеристика, |
|
|
Для звена, опионваѳмого |
уравнением (60) |
или |
(69), |
||
На рис,90 поотроены вѳщеотвенная и мнимая частотные
характеристики эвена (60) при |
изменении частоты |
от |
О до с » 0 , Амплитудно-фазовая |
характеристика в |
этом |
случае изображается в плоскости комплексного переменного ; при этом значение й?і должно изменяться от - до
+, но практически необходимо строить только положи
тельную |
ветвь |
АФХ |
(при |
изменении |
ù3 |
от 0 |
до + е і < = ' |
),. |
|
так как |
отрицательная ветвь |
(изменение |
от |
»•- «^*-3 до 0) |
|||||
Представляет собой зеркальное отражение положительной |
|
||||||||
ветви относительно |
вещественной оси |
^ Т ^ , |
|
|
|||||
На рио,9І |
приведена |
АФХ эвена |
(60), |
Контрольные |
зна |
||||
чения характеристики: |
|
|
|
|
|
|
|||
cû=c*°; |
jY№:°; |
|
u(cû)=o. |
|
|
|
|||
Промежуточные |
величины j |
V(tO) |
и |
Ufa)) |
могут |
быть |
|||
найдены |
при подстановке |
конкретных |
значений К, Т,, Т% |
|
|||||
и со |
в уравнение |
(66), |
причем текущие |
значения |
|
||||
указываются на |
кривой АФХ. |
|
|
|
|
|
|||
АФХ звена (60) на рио.ЭІ поотроены в декартовых и полярных координатах, причем начала координат в обеих
- |
164 |
- |
|
|
системах совпадают. Точка й £ |
АФХ в декартовых коорди |
|||
натах будет определяться величинами (L((ûi) |
н jY(ùs)t) |
, я |
||
я полярных координатах - |
величинами М(и%) |
• G(ù?i) |
. Дли |
|
это! точки |
|
|
|
|
V |
(73) |
Эта равенства справедливы для любой точки сОе |
, т . е . в |
обще* виде: |
|
где |
с = (0, I , 2, 3 . . . о . . . » o ' ) ; |
|
|
(75) |
так как согласно формуле Эйлера |
|
|
|
|
(76) |
Таким образом, М(^)~^Ѵ^6^ |
_ амплитудно-частотная |
|
|
хапактеристика |
; |
|
- фазо-частотная хасакте- |
|
|
риотика (77); |
|
Mfcûje = і ^ с ^ / |
- амплитудно-фазовая хяпак- |
|
|
характепистика. |
(78) |
- 165 -
Математически амплитудно-фазовая характеристика представ ляет ообой годограф вектора передаточной функции Wfj&)
в плоскости комплексного Переменного при изменении частота, от - е»=> до + сх> ,
§ 3. Типовые динамические звенья
Система автоматического регулирования с точки зрения протекающих в вей динамических процѳосов может быть пред ставлена как совокупность взаимодействующих элементарных динамических систем, т.в.звеньев, Деление САР на звенья существен во упрощает расчет и конструирование системы , Любое звено, в самом общем случае, характеризуется уравне нием (58), В нем учитываются все параметры звена: оялы ірерпин, силы вязкого трения, упругие силы и внешние воз действия. Часто некоторые из этих параметров в силу своей Незначительности по сравнению с другими отбрасываются, Івгда получаются более простые уравнения. Ограничиваясь дорви порядком дифференциального уравнения, опрѳдѳляюцег»
Неведение звена, получаем сравнительно небольшое число •яѳальных типовых динамических звеньев, которые и будут рассмотрены ниже»
I . Инерционное |
звено второго |
порядка |
динамические свойства этого звена описнваются урав |
||
нением |
• |
|
|
|
(79) |
при уft)* iß) |
|
|
7?xß)+7;xß)+xßh* |
, |
|
римером такого звена может служить механическая и эл' • гричеокая системы, рассмотренные в § I этой главы и
|
|
|
- 1 6 6 |
- |
|
|
|
|
|
|
представленные на рис.8б,а,б. Решение |
уравнения |
(60) |
за |
|||||||
висит от |
соотношения |
постоянных \ |
я |
\ |
f |
Если |
гі/гг£І |
|||
то звено |
называется |
колебательный, |
его |
решение |
приведено |
|||||
в (62). Если ?Г/т^ |
2 |
.» т о |
звено |
обычно |
|
называется |
||||
апериодическим второго |
порядка. Его |
решение |
приведено |
|||||||
в.(63), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Передаточная функция, временная и частотные харак теристики звена дани в табл.2, в отроке I .
. 2 . Инерционное звено первого порядка (апериодическое звено)
Примером такого звена могут служить механическая и электрическая системы, рассмотренные на рис .8ь,а,б, если в механической системе будет отсутствовать маоса M , а в электрической - индуктивность L . Тогда уравнение (75) запишем так:
|
П(і)*хЦ)-'уЮ, |
( а о , |
п р . |
> M * « t ) n ß |
U x ( t h , , |
Структурное изображение, передаточная функция, временная и частотная характеристики звена приведены в табл.2, в строке 2,
3.Безынерционное'звено (усилительное звено)
Примерами безынерционного звена могут служить рычаж ные передачи, редукторы, электронные (безынерционные) усилители и т . д . Если в механической сиотеме, рассмотрен ной на рнс.8р,а, будет отсутствовать не только масса, но
|
\Переолтзч- |
ЗСарак rnepuc |
|
31ено |
Частотна*t*-,^ ноя (p(cuj |
||
if ено |
|
|
|
|
К _ |
•С. . Л |
« I . w |
|
Г ' / . Г . р . |
||
*гезіло |
/ і в э в г т » |
|
|
(алериэ |
à wichet |
|
|
Л ^ М 0 .ів«*<?<дгJ |
|
|
|
•tfwl-0
ztiÊ.
тика
Г/,
•A'
xftl
- 4 *
Vf.) .еиТ |
к-Г- |
|
-Io8 -
вдемпфер, т . е . будут отсутствовать силы инерции и силывязкого трения, то получим безынерционное звено, которое описывается уравнением:
xft)* |
(8i> |
Соответствующие характеристики звена приведены в табл.2$ в отроке 3«
4. Интегрирующее, звено
Примером такого звена может служить гидравлические демпфер , Так, если в механической системе, приведенной на рис.86,а, будут отсутствовать масса и пружина, то естественно, что в уравнении (75) будут отсутствовать упругие оилы и силы инерции:
Гx(t)*>*y/t) |
( 8 2 ) |
(83)
t . e . выходная величина звена пропорциональна интегралу от его входной величины. Отсюда это звено и получило
название интегрирующего. Данные звена приведены в табл.2, а строке 4.
5. ДиФФвренцирущее звено
Примерами такого эвена могут слукить талогенѳратор, работающий в режиме, близком к режиму холостого хода: •лектричеокая емкость, если входной величиной выбрать приложенное к ней напряжение ^1&х »а выходной - проте кающий ток У , В диффепѳнцйрующем звене выходная вели чина пропорциональна скорости изменения входной.
- 169 -
Уравнение идеального дифференцирующего звена
В реальных системах такое звено, строго говоря, вѳ может быть получено; в схемах включения конденсаторов всегда имеется некоторое омическое сопротивление, т . е . идеальное дифференцирующее звено является чисто теорети ческим. Реальное дифференцирующее звено описывается урав нением
rx(t) + xfr) = *yfr) |
(85) |
и, как будет видно из дальнейшего, |
может рассматри |
ваться как последовательное соединение двух звеньев: идеального дифференцирующего и апериодического,
Характеристики реального дифференцирующего звена приведены в табл.й^в отроке 5,
6. Звено запаздывания
Примером такого эвена может быть любая длинная линия, соединяющая две емкости, а также транспортер, работа которого рассмотрена в гл . З ,
Уравнение звена |
|
|
|
*{t)*° |
п р и |
t i r ; |
|
iftht/ft-T) |
- n w t |
- г , |
(86) |
Выходная величина запаздывающего звена в точности копирует его входную величину с некоторым запаздыванием по времени С , Данные запаздывающего звена приведены в табл. 2, в отроке 6.