Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Домбровская М.М. Жесткость штифтовых и шпоночных соединений вала и втулки

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Здесь G — модуль касательной упругости; 1Р — полярный мо

мент инерции сечения		вала.
График зависимости (18) представляет собой квадратичную
параболу. Следовательно, закручивание <рк вала			на участке		на
грузок [Мвр<МТі	] не пропорционально нагрузке Мвр,			а график
зависимости ф к	от Мвр	представлен криволинейным участком			OA
(рис. 8).
Распределение угла закручивания вдоль оси сопряжения					ана
логично распределению угла закручивания вала			с	переменным

Рис. 8. Зависимость угла закручи вания вала ф к от внешней на грузки.

сечением. В этом		интервале	нагрузок	деформация	соединения
в плоскости штифта равна нулю: ф = 0.
ПриЛЇВ р=-МТ і		формула (18) принимает вид
			1хМвр			(19)
			2GIp			(19)
			2GIp
В этом случае по-прежнему ф = 0.
При Мвр>М	т	угол фк, определяемый по формуле
^ =	щ	\ { М « * -	^ х ) а х =	^ { М * * - ^ )	>	(2°)

представляет собой линейную функцию от Мвр, а график ее соот

ветствует прямолинейному	участку АВ	(рис. 8)	зависимости <рк
от Л1Вр.
Нагрузка М = Мвр — Мг	воспринимается штифтом и вызывает
деформацию соединения ф в плоскости		штифта,	которая на уча

стке нагрузок [ЛІ ^ M B p ^ M m a x ] суммируется с фк-

Значения угла закручивания фк , подсчитанные для соедине ний размеров I — I I I по формуле (20) с учетом опытных значений М , приведены в табл. 8.

	Как указывалось выше, при Мвр>Мт	часть М	расходуется
на	деформацию соединения в плоскости	штифта,	другая	AM—
на	преодоление трения между валом и втулкой на длине			А'2[
(рис. 1). Найдем AM.

					Таблица 8
Размер соединения	М„п,	кГмм	Мт ,кГмм		<РК, угл. мин
	М„п,	кГмм	Мт ,кГмм		<РК, угл. мин
		30	5		0,66
I		40	5		0,91
		50	5		1,14
		100	25	.	0,26
11		150	25		0,43
		230	25		0,73
		200	65		0,12
I I I		500	65		0,43
		900	65		0,73

При малых деформациях <р сопротивление оказывается не всей длиной А'2' сопряжения и АМ<М^. Для определения AM

в этом диапазоне деформаций ф можно воспользоваться форму лой (19), считая, что угол закручивания на участке А'2' равен деформации ф в плоскости штифта:

Ш=У^01рЩ-		.	(21)
Часть нагрузки М, вызывающая деформацию ф, характеризу
ется формулой
М=Мвр-МТ1-Ш.			(22)
При значениях АМ^Мт	нагрузку М на штифтовое		соедине
ние следует подсчитывать	исходя	из условия Мт:=Мт	+ М т =
= const.

§ 8. Момент трения и угол закручивания шпоночного соединения

Если предположить, что контактирование шпонки с валом и втулкой происходит по всей ее длине, то следует учитывать дей

ствие	полного момента	трения	Мт, который в данном		случае
определяется формулой
	Мт=(2ъг-Ь)грЬ/,				(23)
где Ь — ширина шпонки.
Полагая, что наличие		паза	во втулке	не скажется	сущест
венно	на жесткости'втулки, определяем			удельное давление на
контактной поверхности по методике, изложенной в § 6.

В отличие от штифтового соединения в шпоночном, как пра вило, схема нагружения вала не симметрична относительно его оси, так как обычно ставится одна шпонка. Под нагрузкой в со единении нарушается соосность сопряжения, вал сближается

со втулкой в направлении, перпендикулярном плоскости симмет рии ненагруженного шпоночного соединения (см. § 21). Поэтому давление р на контактной поверхности, найденное по формулам

(9) и (13), можно оценивать только как приближенное		среднее
значение удельного давления.
Таким образом, на шпонку приходится нагрузка М, характе
ризуемая	разностью
	Ж = Ж в р - Ж т .	(24)
При наличии зазора в сопряжении вала и втулки можно счи
тать М =	Мвр.	длине
Предположение, что детали соединяются по всей

шпонки, позволяет при определении угла закручивания соедине ния рассматривать его как монолитный вал с диаметром, равным


наружному диаметру втулки	DBT:
_ ML	32ML		^	WML		,0~
С учетом параметров, указанных				в табл. 2, для		размеров
I — I I I соединений при условии М=Мвр			получаем
<рк 1 =0,30' (при	Ж в р = 1 0 0			кГмм),
срк 1 1 =0,087'(при		у И в р = 2 5 0			кГмм),
с Р к І І І = 0 ) 1 3 2 ' ( п р и		М в	р = 1 0 0 0		кГмм).

Как видно из расчета, угол фк мал и поэтому не должен за метно влиять на суммарную деформацию соединения ц>2.

При определении угла закручивания <рк в соединении, где длина втулки L больше длины шпонки /, следует рассматривать два участка: на длине L — / угол закручивания валика относи тельно втулки можно найти по формуле (20)

		^ - г ^ п ? К - ^ ) -						< 2 6 )
где dB	— диаметр	вала;	G — модуль касательной			упругости		(для
стали	G = 8 • 103 кГ/мм2);		М —	трение	на длице		L — /, а на
длине	/, где соединение		деформируется		как	монолитный		вал
с диаметром £>вт		(наружный		диаметр	втулки),		по формуле
(25)

,Мвр1

* " = о . ц ш «

•

( 2 7 )

Полный угол закручивания шпоночного соединения

? к = ? к + ? к .

(28)

Глава III

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ШТИФТОВОГО СОЕДИНЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ ШТИФТА

§ 9. Математическая формулировка задачи

Если представить штифт рассматриваемого соединения как балку на упругом основании (рис. 9), состоящего из двух участ ков (1-й — участок вала, 2-й — втулки), то: соответствующие дифференциальные уравнения упругой линии балки можно запи сать в следующем виде:

1) Е / у і у = / ( ? * - У . ) . 1.

2) £ / y ] v = - / 2 ( y 2 ) .

Здесь Е и / — модуль нормальной упругости и осевой момент инерции сечения штифта.

Рис. 9. Схема деформации штифта как балки на упругом основании.

Первое уравнение	справедливо для	O ^ x i ^ r ,	второе — для
г ^ х г ^ ^ , где г и R — соответственно		внутренний	и наружный
радиусы втулки.
Левые части равенств представляют собой интенсивность на
грузки, вызывающей	прогибы штифта	yi и г/2 на	соответствую

щих участках, правые части — интенсивность нагрузки, вызван ной смятием основания. Интенсивность нагрузки можно предста вить в виде некоторых функций fi и /г от этого смятия.

Функции fi и f2 зависимости деформации упругого основания от нагрузки должны быть установлены для каждой частной за дачи специальным исследованием.

Таким образом, система уравнений (29) включает в себя де формацию штифта от изгиба, смятие основания и его зависи мость от нагрузок fi и /г, а также искомую деформацию соедине ния <р в плоскости штифта.

Следовательно, решение			этой	системы		относительно ф будет
учитывать основные		деформации		соединения:			изгиб штифта и
смятие вала и втулки.
Решение задачи зависит от вида функций fi							(щ—	г/і) и /2(^/2)-
Для соединения	деталей идеальной				формы эти функции явля
ются линейными	(аналогично решению классической задачи								рас
чета балки на упругом основании)					[34]. В	рассматриваемой			за
даче для деталей	идеальной		формы		уравнения		(29)	примут	вид
	1) Я / у Г - / Г , ( < р ^ - у 1 ) = 0 ,
	2)	Е1у\ч +	К2у2=0,

где Ki и Kz— коэффициенты объемной жесткости упругого осно вания на 1-ми 2-м участках;

			/C= - J - = const,								(31)
т. е. не зависит от х; q — интенсивность							нагрузки.
В процессе решения системы					уравнений				(30)	появляется во
семь	произвольных		постоянных,			которые			можно		определить
из следующих граничных условий.
В центре вала		(х = 0)		прогиб	штифта			и изгибающий момент
равны нулю:
		1)	Уі (0)=0;		2 ) у 1 ( 0 ) = 0 .						(32)
На границе 1-го и 2-го участков						{х = г)		параметры			обоих уча
стков	(прогибы у,	углы		наклона		сечения у',				изгибающие мо
менты у" и перерезывающие силы у"')							равны:
	3) Уі (г)=у 2 (г),				5) y l ( r ) = ^ ( r ),
	4)	у\ ( г ) = у ; (г),			6)	у;	( г ) = у2		(г).		(зз)
На	свободном	конце штифта			(X=R)			изгибающий			момент и
перерезывающая сила равны нулю:
		7)	УІ(Ю=0,		8 ) з £ ( / ? ) = 0 .						(34)
Зависимость угла поворота вала <р от момента М можно найти
с помощью уравнений			равновесия
				т
			М=2\	A(<fx-yjxdx,							(35)
				о
			M=2$f2(y2)xdx,								(36)
				г

М — момент, действующий в плоскости штифта, который опреде ляется формулой (24).

Решение задачи для деталей с идеальными поверхностями и линейных функций fi и / 2 может быть оценено только как первое приближение, так как в действительности формы деталей имеют макро- и микронеровности.

Многочисленными исследователями установлено, что при на грузке узлов станков и приборов объемные деформации деталей составляют только часть полной деформации соединения, значи-, тельная же доля приходится на деформацию микровыступов кон тактных поверхностей [22, 28, 32, 38].

Зависимость поверхностной деформации г/ПОв от интенсивно сти нагрузки q является нелинейной и может быть с достаточной точностью выражена функцией вида

У п о в = \| / ^ ,	(37)
где А и т — характеристики жесткости	поверхностного слоя де

талей, зависящие от упругих свойств материала деталей и мик рогеометрии поверхности. Поэтому деформацию упругого осно вания штифта ys можно рассматривать как сумму его линейной

г/об и нелинейной упов	составляющих:
У 2	= У о б + У п о в = = - ^ + 1 [ / ^ •		(38)
Полученную сумму в определенном диапазоне			нагрузок
можно выразить нелинейной функцией того же вида:
	ys=}f-jr	,	(39)
где А' и т' — характеристики		жесткости сложного	основания.

С учетом зависимости (39), а также некоторого предваритель ного натяга штифта и вызванной им начальной деформации кон

тактной поверхности		г/о дифференциальные уравнения упругой
линии штифта преобразуются следующим образом:
1)	ElyV -	ЛІ [(срх - у, -	у , / 1 - УоЛ = 0 .		1	( 4 0 )
2)	Efy?+Ai	[ ( y 2 + y 0 2 f ;	-	У $ = 0 .	J
Полученные дифференциальные				уравнения являются		нели

нейными и общего решения не имеют. Они могут быть решены приближенно или численным интегрированием.

Приступая к исследованию штифтовых соединений, мы не располагали данными о характеристиках объемной и поверхно стной жесткости упругого основания (К, А, т).

Для решения поставленной задачи были последовательно определены характеристики упругости основания в штифтовом

соединении (§ 10—13); рассмотрены приближенные методы рас чета деформации соединения ср в плоскости штифта (§ 14—16), а также проведены численное интегрирование уравнений (40) на электронной цифровой вычислительной машине «Минск-1» и оценка точности приближенных формул (§ 18).

§ 10. Расчет коэффициента объемной жесткости

Из изложенного следует, что между характеристиками упру гости основания К, А, т, А' и т' существует связь, которая вы ражается формулами (38) и (39):

где q — интенсивность нагрузки;				первое слагаемое — объемная
деформация	основания,	второе — контактная,				сумма —полная
деформация упругого основания штифта.
Все характеристики		жесткости'— величины				постоянные для
соединения с определенными			конструктивными			и	технологиче
скими параметрами.
Зависимость между		объемной		и поверхностной			составляю
щими можно установить, если			представить работу объемного и
шероховатого	(поверхностного)			слоев	основания		как	действие
двух пружин, работающих последовательно.
Поверхностный слой под нагрузкой					q деформируется			и пере

дает эту нагрузку всему объему основания, который, в свою оче

редь, также деформируется: q = Ky06,		Q=Ay™0B>	откуда
	/ С у о б = Л < о в .			(42)
Жесткость основания становится		еще меньше,		если, кроме
микронеровностей	(шероховатости)	поверхностей,		имеются и
макронеровности.	Влияние последних, однако,		в значительной

степени зависит от характера распределения нагрузки вдоль оси балки.

При равномерном распределении нагрузки влияние макроне

ровностей существенно,		при	сосредоточенной			нагрузке им
можно пренебречь.
В штифтовом соединении основную нагрузку несут небольшие
участки контактных поверхностей,				расположенные			у границы
1-го и 2-го участков, т. е.		нагрузку		можно	считать		сосредото
ченной.
Линейные	дифференциальные		уравнения		(30),	содержащие
коэффициенты	жесткости	основания		Кі и Кі, справедливы для
штифтового соединения деталей с контактирующими							поверхно
стями идеальной формы.

Найдем значения К для штифта и отверстия абсолютно пра вильной геометрической формы.

	Условие работы	штифта	в отверстии		вала	и втулки		близки
к	условиям _работы	цапфы	в	проушине. Разница			заключается
в	том, что цапфа	нагружена		вдоль	своей	оси	равномерно,
а штифт — неравномерно.
	Результаты исследования		пружин из резины и стали					[34] по

казали, что напряжения и деформации в проушинах можно рас считывать по формулам А. В. Гадолина, как для толстостенного цилиндра, нагруженного внутренним давлением.

Более поздними исследованиями [27] установлено, что фор мулы А. В. Гадолина остаются в силе и в том случае, если внут

реннее давление на цилиндр меняется вдоль его оси							по линей
ному закону.
Предположив, что это условие			выполняется,			воспользуемся
формулами А. В. Гадолина.
В штифтовом соединении роль внутреннего цилиндра играет
штифт,	наружного — вал и	втулка.	На	поверхность			отверстия
действует давление р, которое определяется					равенством [47]:
		/ > = - £ ,					(43)
где d — диаметр штифта; q — интенсивность					нагрузки,		уравнове
шиваемой суммой проекций давления всех элементов							цилиндри
ческой поверхности на ось у.
Если	наружный радиус	наружного		цилиндра		значительно
больше	его внутреннего радиуса, как в			рассматриваемых дета

лях, то сближение сопряженных цилиндров можно найти по фор муле А. В. Гадолина

у-- • " W + W

.(44)

где \i\ и \i2 — коэффициенты Пуассона наружного и внутреннего цилиндров соответственно, a £i и £г — их модули упругости.

Подставляя значения р из (43) в (44) и сравнивая получен ное выражение с (31), находим

л ~ £ 2 ( 1 + и ) + £ і ( 1 - ^ 2 ) *			К }
Если модули упругости наружного и внутреннего цилиндров
одинаковы,то		"	'
К=Е.	-		(46)
Так как штифты и оси в механизмах делаются стальными, то
в рассматриваемой задаче на участке оси Кі=Е		= 2-104	кГ/мм2.
Втулки же могут быть изготовлены	из другого	материала (ла

тунь, дюралюминий и др.), поэтому на участке втулки коэффици ент Кг определяется по формуле (45) или (46) в зависимости от материала втулки.

§11. Расчет характеристик упругости поверхностного слоя

вштифтовом соединении

Вряде работ установлено, что в реальных соединениях зна чительную долю общей деформации составляет деформация по верхностного слоя. Следовательно, поверхность, представляющая собой множество микровыступов различной высоты, должна об ладать значительно меньшей жесткостью, чем абсолютно гладкая поверхность.

Вштифтовом соединении более грубой является поверхность отверстия под штифт, обработать которую значительно труднее, нежели наружную поверхность штифта. По данным П. Е. Дья

ченко [16], микронеровности при обработке сверлом достигают 304-50 мкм, а при обработке разверткой — Юч-30 мкм.

Наружная	поверхность конического		штифта	шлифуется, ци
линдрического— калибруется.		Микронеровности		шлифованных
поверхностей	не превышают	2-=-4 мкм.	Поверхность штифтов

можно считать практически гладкой по сравнению с поверхно стью отверстий.


Деформация микронеровностей			может быть			определена на
основе гипотезы о форме		контактной .поверхности,					а также по
экспериментальным	данным.
В работах, посвященных контактным				деформациям реальных
поверхностей, встречаются		различные		гипотезы		относительно
формы и распределения по высоте			выступов		микропрофиля по
верхности. Поверхность		моделируется		в виде		прямоугольных
или цилиндрических стерженьков различной высоты							[21], сфери
ческих неровностей	с одинаковыми		и	различными			радиусами
[18, 44], конусов со сферическими вершинами					[5], частей цилинд
ров, оси которых расположены под некоторым					углом		к рассмат
риваемой поверхности [1], эллипсоидов				[17] и т. д.

Воспользуемся результатами, полученными Н. Б. Демкиным [5]. В его работах поверхность детали моделируется в виде кону

сов со сферическими вершинами. Рассмотрим			сближение двух
плоских поверхностей — гладкой и шероховатой.
При определении фактической площади контакта использу
ется закон распределения выступов по высоте:
	ф = - 2 и = С е * .			(47)
Здесь С = const; х = const; п — число всех		выступов;		пк — чи
сло контактных	выступов; є — относительное сближение			шерохо
ватой и гладкой	поверхностей:
у — абсолютное	сближение поверхностей;	Rz	— максимальная

высота микровыступов.

По методу, предложенному Н. Б. Демкиным, можно опреде лить абсолютное сближение поверхностей у на основе анализа профилограмм контактируемых поверхностей:

	У				*		1	/ -р \" 2v + l
	У	~Г> 7К О		М-2) % 1 2У + 1		f р \	2v + l	/ -р \" 2v + l	(49)
	Rz
Здесь		и £ — характеристики				упругости		материала	шерохо
ватой	поверхности; р—удельное					давление на поверхности; р —
средний радиус			закругления		вершин		выступов (по		профило-
грамме); v и Ь — постоянные, характеризующие кривую									опорной
поверхности		(рис. 10):				ы\
	7] =	&SV,	7] =	-	(50)
т] — относительная площадь					кон
такта;		— фактическая			пло
щадь	контакта;		FH	— номиналь

ная ее величина.

О	0,5	л
Рис.	10. Кривая	опорной	Рис. 11.	Зависимость коэф
	поверхности.		фициента	N от	показателя
				степени	V.

Коэффициент JV находится в следующей зависимости от сте пени v: при v равном 1, 2, 3 коэффициент N равен соответственно

1; 0,4; 0,22.


График этой зависимости дается		на рис. 11.
Из формулы Н. Б. Демкина (49)		можно получить зависимость
удельного давления р от деформации у:
Р= —ак "		•	( 5 1 )
и	?°>5Rl • 0,75* (1 — (J.2)		v '

Для определения сближения гладкого штифта и шерохова того отверстия необходимо найти зависимость интенсивности на грузки q от тех же параметров.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ