книги из ГПНТБ / Гусаров А.А. Балансировка гибких роторов с распределенной массой

С помощью выражений (3.17а) и (3.176) можно получить фор­ мулы, определяющие относительную длину нагруженного равно­

Ход преобразований покажем на примере формулы (3.17а). Для этого выразим входящие в нее тригонометрические и гипер­ болические функции через степенные ряды, отбросив в этих рядах члены со степенью выше седьмой. Ошибка в величине функций при таком отбрасывании будет не больше чем (1,4618Хзь)°/9! Ä

Ä ;8,4 - 10_5Х|ь при значении первого члена 1,4618Х2І). При этом вели­ чина относительной длины участка Л2Ь <( 1, так что ошибка, полу­

В этом выражении мы пренебрегли малым слагаемым, наи­

Границы значений коэффициентов изменения реакций phm, при которых можно пользоваться формулами (3.24), определяем по области допустимых значений подкоренных выражений с уче­ том возможных величин относительной длины загруженного уча­

Некоторое отличие в значениях пределов по сравнению с дан­ ными табл. 3.1 вызвано погрешностями, связанными с пренебре­ жением малыми членами. Различие несущественно, поэтому в ка-

70

В формулах (3.27) учтено только положительное значение кор­

ней, так как 1 > Л2ь > 0.

Границы значений коэффициентов изменения реакций phm, при которых можно пользоваться формулами (3.27), с учетом воз­ можных значений относительной длины незагруженного участка

1 > Къ > 0 и области определения подкоренных выражений, будут следующие: 2,8416 > р21> 1,6018; 5,5152 > р43]> —6,7511; 1,7005 > Р42 > -0,8333 .

Отклонения в значениях пределов от приведенных в табл. 3.1, вызванные пренебрежением малыми членами, невелики, поэтому формулами (3.27) можно пользоваться при значениях коэффициен­ тов изменения реакций pkm, лежащих в границах, приведенных

в табл. 3.1: 1,4996 p2l s j 2,8417; —6,7512 gC p43 ^ 6; —0,8333

< p42 < 2,0006.

Получение формул для определения относительного расстоя­ ния между двумя симметричными сосредоточенными грузами Х2с по заданным значениям коэффициентов изменения реакций пока­ жем на примере формулы (3.20а).

Заменяя в формуле (3.20а) тригонометрические и гиперболи-

'ческие косинусы степенными рядами и отбрасывая члены степени выше восьмой, получим р21 = 3,1801 (1 + Рг)/(1 + Pz), где для сокращения записи обозначено:

=1,35-ІО-5 ( 4 ) 10Отбросив в знаменателе малый член 0,00024

иразделив числитель на знаменатель, получаем

р21 = 3,1801 [ 1 - 0 ,2 8 9 8 4 - 0,13394/(1 - 0,45554)]- (3.28)

При выводе этого выражения в знаменателе последнего слага­ емого мы пренебрегли малым членом, наибольшая величина ко­ торого при Яас = 1 равна 0,0175.

Из формулы (3.28) получаем выражение для определения от­ носительной длины, участка между грузами при данном значении коэффициента изменения реакций

Аналогичным путем для коэффициентов р43 и р42 получаем:

72

Решая уравнения (3.28а) и (3.286) относительно А,2С и учиты­ вая только положительные значения действительных корней, получаем следующие формулы для определения относительного расстояния между грузами по заданному значению коэффициента:

Полученные выше формулы позволяют решать задачу опреде­ ления параметров системы корректирующих грузов, которая будет характеризоваться такими же значениями коэффициентов изме­ нения реакций, как и у имеющегося на роторе дисбаланса.

Как видно из данных табл. 3.1 и рис. 3.10, одними и теми же коэффициентами изменения динамических реакций могут харак­ теризоваться разные нагрузки на гибком роторе. В частности, это могут быть сосредоточенные пары грузов, равномерно распре­

Таким образом, по коэффициентам изменения динамических реакций мы не можем однозначно ответить на вопрос о том, какой имеется на роторе дисбаланс. Можно, однако, указать несколько вариантов дисбалансов, при которых коэффициенты изменения реакций будут иметь данные значения. Нагрузки, которые харак­ теризуются одинаковыми коэффициентами изменения динамиче­ ских реакций, мы назвали эквивалентными нагрузками.

Можно показать, что эквивалентные нагрузки вызывают близ­ кие по значению реакции гибкого ротора в широком диапазоне скоростей вращения. Поэтому нет необходимости точно опреде­ лять тип дисбаланса, имеющегося на роторе. Достаточно по изме­ ренным коэффициентам изменения динамических реакций вычис­ лить параметры какой-либо эквивалентной системы корректиру­ ющих грузов. Такая система грузов, установленная на роторе, будет балансировать дисбаланс в широком диапазоне скоростей до второй критической включительно. Справедливость этого пред­ положения покажем на примере некоторых конкретных случаев дисбаланса и корректирующих грузов.

Допустим, что на роторе имеется дисбаланс, распределенный по синусоиде 1-го порядка. В этом случае, как показано выше, коэффициент изменения динамических реакций р21 = 3.

По графику на рис. 3.10, а видно, что при р21 = 3 дисбаланс может быть распределенным по синусоиде 1-го порядка, равно­ мерно распределенным на среднем участке ротора с относительной

73-

длиной X2b ÄS 0,75 или в виде пары симметричных сосредоточенных грузов, относительное расстояние между которыми равно Х2а Ä ; ÄS0,42. Эти же параметры эквивалентных систем нагрузки можно рассчитать по формулам (3.24) и (3.27).

В качестве системы корректирующих грузов можно выбрать любую из найденных эквивалентных систем грузов. В результате

шенность ротора во всем диапазоне скоростей. В остальных слу­ чаях, очевидно, уравновешивание будет неполным и следует вы­ яснить, какова будет степень уравновешенности на разных ско­ ростях.

Определим степень уравновешенности ротора с синусоидаль­ ным дисбалансом, отбалансированного разными системами грз^- зов при разных скоростях вращения.

Степень уравновешенности гибкого ротора с синусоидальным дисбалансом и равномерно распределенными корректирующими грузами (вариант 2) определяется выражением (3.6). Степень урав­ новешенности ротора с тем же дисбалансом и парой сосредоточен­ ных корректирующих грузов (вариант 3) определяется выраже­ нием (3.4).

По формулам (3.4) и (3.6) вычислены степени уравновешен­ ности ротора б на разных скоростях ух при нескольких вариантах корректирующих грузов. Балансировочная скорость ую = 0,866. По данным расчета на рис. 3.11 построены кривые уравновешен­ ности ротора в зависимости от системы корректирующих грузов, их относительного положения и скорости. По оси абсцисс отложены относительные скорости вращения ух, по оси ординат — степень уравновешенности ротора б. Цифрами 1 и 2 обозначены кривые, соответствующие равномерно распределенным корректирующим грузам при относительной длине нагруженных участков, равной соответственно Х2Ь — 1 и Х2Ь = 0,75. Цифрами 3—6 обозначены

кривые для пар симметричных сосредоточенных корректиру­ ющих грузов, относительное расстояние между которыми Х2с равно соответственно 0,41; 0,425; 0,6 и 0,9.

Из рис. 3.11 видно, что если система корректирующих грузов выбрана неправильно и не является эквивалентной дисбалансу (кривые 1, 4—6 ), то уравновешенность, достигнутая на баланси­

ровочной скорости, сильно нарушается на других скоростях вра­ щения. Например, ротор, отбалансированный на скорости у1б = = 0,866 парой симметричных сосредоточенных грузов, располо­ женных на расстоянии Х2С = 0,9, уже на первой критической ско­

74

Р и с . 3.11. Уравновешенность при синусоидальном дисбалансе и разных системах корректирующих грузов

балансу (кривые 2 и 3), то достигнутая на балансировочной ско­

рости уравновешенность не нарушается существенно в широком

уравновешенности ротора имеем следующие формулы: при коррек­ тирующих грузах, распределенных по синусоиде 1-го порядка,— {3.9), при двух симметричных корректирующих грузах — (3.11), при равномерно распределенных в средней части корректирующих грузах — (3.10), при корректирующих грузах, распределенных по синусоидам 1-го и 3-го порядков (0 .3 /0.]),—(3.9а).

По этим формулам рассчитаны степени уравновешенности ротора на разных скоростях вращения при нескольких вариантах корректирующих систем грузов для балансировочной скорости Тіб = 0,866. По данным расчета на рис. 3.6 построены кривые уравновешенности, которые показывают, что достигнутая на ба­ лансировочной скорости уравиовешенность не нарушается в широ­ ком диапазоне скоростей только для корректирующих систем, эквивалентных дисбалансу (кривые 1 и 3). Разбалансировка для этих систем не превышает 10% до скорости ух = 3,7. Все другие системы корректирующих грузов в данном случае непригодны, так как уже при небольших изменениях скорости наступает су­ щественная разбалансировка.

75

Р и с . 3.12. Уравновешенность при балансировке эквивалентными снстеімамп грузов

Третьим вариантом возможного дисбаланса при р21 = 3 может быть пара симметричных сосредоточенных грузов при относитель­ ном расстоянии между ними Я2С = 0,41.

Выражения для определения степени уравновешенности при данном дисбалансе будут следующие: при балансировочных гру­ зах, распределенных по синусоиде 1-го порядка, — (3.11), при равномерно распределенных в средней части корректирующих грузах — (3.12), при двух симметричных корректирующих гру­ зах — (3.13), при корректирующих грузах, распределенных по синусоидам 1-го и 3-го порядков,— (3.11а).

На рис. 3.7 были приведены рассчитанные по этим формулам кривые уравновешенности гибкого ротора с рассматриваемым дисбалансом на разных скоростях вращения при нескольких вариантах корректирующих систем грузов. Как и прежде, из рис. 3.7 видно, что для эффективной балансировки пригодны толь­ ко системы корректирующих грузов, эквивалентные дисбалансу (кривые 1 и 3).

Для наглядности на рис. 3.12 приведены кривые уравнове­ шенности гибкого ротора, отбалансированного разными системами эквивалентных грузов. Кривая 1 соответствует синусоидальному

вая 2 отвечает тому же дисбалансу и паре симметричных коррек­

тирующих грузов, относительное расстояние между которыми рав­ но Х20 = 0,41. Кривая 3 показывает степень уравновешенности

ротора с равномерно распределенным в средней части на относи­

'7 6

Кривые 1—3 показывают, что для корректирующих систем грузов, эквивалентных дисбалансу, достигнутая на балансиро­ вочной скорости уравновешенность практически не нарушается в широком диапазоне скоростей вращения. Действительно, если принять, например, допустимой на первой критической скорости разбалансировку в 2%, а на второй критической скорости, где влияние первой гармоники значительно слабее, в 20% (на рис. 3.12 — заштрихованная область), то кривые уравновешенности на всем этом диапазоне для эквивалентных систем не выходят за допустимые пределы.

в виде пары сосредоточенных симметричных грузов при относи­ тельном расстоянии между ними Я2С = 0,9, в виде равномерно распределенной по концевым частям ротора нагрузки при относи­ тельной длине свободного участка Я2ь ж 0,8 или в виде суммы си­ нусоидальных нагрузок 1-го и 3-го порядков. По формуле (3.21) определяем, что в последнем случае отношение амплитуд этих синусоид будет а3 : аг = 12.

Возможными сочетаниями видов дисбаланса и корректирую­ щих систем грузов, не считая их совпадения, могут быть следу­ ющие:

1)сосредоточенные грузы и равномерно распределенная по концам нагрузка;

2)сосредоточенные грузы и нагрузка, распределенная по синусоидам 1-го и 3-го порядков;

3)равномерно распределенная по концам и распределенная по синусоидам нагрузка.

Степень уравновешенности гибкого ротора для первого сочета­ ния нагрузок определяется формулой (3.12), для второго сочета­

ния (3.11а) и для третьего сочетания — (3.9а). По данным рас­ чета с помощью этих формул построены кривые уравновешенности гибкого ротора, приведенные на рис. 3.12. Кривая 4 соответст­ вует первому, а кривая 5 — второму вариантам сочетаний нагру­ зок. Для третьего варианта результаты получаются аналогичными и на рис. 3.12 не приведены. Кривые 4 и 5 показывают, что и в данном случае для эквивалентных нагрузок разбалансировка не выходит за допустимые пределы во всем диапазоне скоростей вплоть до второй критической.

Для сравнения на рис. 3.12 приведена кривая 6 , показывающая

степень уравновешенности гибкого ротора в случае, когда дисба­ ланс (синусоида 1-го порядка) и корректирующие грузы (пара грузов при Л2С = 0,6) не являются эквивалентными. При таких нагрузках на первой критической скорости разбалансировка равна 7,5%, на скорости Т і~ 2 ротор становится нечувствительным к корректирующим грузам и полностью разбалансирован, а при более высоких скоростях корректирующие грузы ухудшают виб­

77

Глава 4

ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НЕУРАВНОВЕШЕННЫХ МАСС НА РОТОР СТУПЕНЧАТОГО СЕЧЕНИЯ

Задача балансировки роторов многих современных машин требует рассмотрения вопросов изгибных колебаний гибких ро­ торов при действии различных видов нагрузок, обусловленных как наличием неуравновешенных масс, так и установленными на роторе корректирующими грузами. Для упрощения выкладок при этом обычно рассматривают гибкие роторы постоянного се­ чения с равномерным распределением масс по длине. Это облег­ чает анализ и не отражается существенно на качественной сто­ роне вопроса. Многие выводы, полученные для такого ротора, в нервом приближении могут быть распространены и на часто применяющиеся роторы со ступенчатым изменением сечения, например роторы турбогенераторов.

Однако решение задачи для ротора постоянного сечения не может, конечно, отразить всего комплекса вопросов, связанных с колебаниями роторов ступенчатого сечения. В первую очередь это относится к полному несоответствию количественных соот­ ношений. Вследствие этого необходимо более точное решение задачи о колебаниях роторов современных крупных энергетиче­ ских машин, которое можно получить, принимая во внимание их конструктивную форму, т. е. ступенчатость поперечного сечения и, следовательно, неравномерность распределения масс и моментов инерции по длине ротора.

В настоящей главе приводится решение задачи о вынужденных изгибных колебаниях двухопориого гибкого ротора ступенча­ того сечения, подобного роторам турбогенераторов. Опоры ротора приняты шарнирными и жесткими. Демпфированием пренебре­ гаем.

Вынужденные колебания при действии сосредоточенных грузов

Общая схема ротора и системы координат приведена на рис. 4.1. Неуравновешенность ротора характеризуется величинами

79