книги из ГПНТБ / Гусаров А.А. Балансировка гибких роторов с распределенной массой

ческие положения, высказанные Мельдалем, послужили основой, многих последующих методов балансировки гибких роторов по формам собственных колебаний.

Рассмотрим общую методику решения уравнений колебаний двухопорного ротора постоянного сечения (рис. 1.3) с равномерно распределенной массой и с непрерывно распределенной по длиненеуравновешенностью. При этом будем предполагать, что трение отсутствует, так как в работе [7] было показано, что в реальных машинах при отсутствии специальных демпферов на скоростях, не близких к критическим, практически можно не учитывать влияние трения.

Р п с. 1.3. Гибкий ротор с распределенным дисбалансом

Дифференциальное уравнение колебаний ротора в комплекс­ ной форме может быть получено на основании известного соотно­ шения ElzІѴ = q.

Функцию распределения неуравновешенных масс можно раз­ ложить в ряды по формам колебаний ротора, которые для случая жестких шарнирных опор выражаются функциями синуса раз­ личной кратности

Фаза каждой гармоники определяется фазой соответствую­ щего комплексного множителя.

С учетом разложения (1.5) дифференциальное уравнение коле­

10

Это уравнение решается. с помощью подстановки

оо

подставляя которые в выражение (1.6) получаем

ОО^2

Здесь А, В, С, D — произвольные постоянные, определяемые из ■соответствующих граничных условий; 5 (/cs), Т (ks), U {ks), V {ks) — функции А. Н. Крылова, представляющие линейные ■комбинации тригонометрических и гиперболических функций:

11

Функции А. Н. Крылова обладают следующими свойствами:

комплексной величиной к = р А іа и а мало, функции А. Іі. Кры­ лова с точностью до величин первого порядка малости можно вы­ разить через функции от действительного параметра в виде

Функция Ф (s) в выражении (1.12) представляет частное реше­ ние при нулевых начальных условиях, равное

S

Ф(а)

о

где q (s) — внешняя возмущающая сила, равная в рассматривае­ мом случае

q (s) = k4p(s) exp i ¥ (s).

Подставив в выражение (1.12) значения найденных с учетом гра­ нитных условий произвольных постоянных и умножив получен­ ное выражение на временную функцию ехр (іш£), получим иско­ мое решение (1.9) дифференциального уравнения колебаний ро­ тора.

Рассмотренное уравнение (1.4) и его решение применимы для однопролетного ротора постоянного сечения с непрерывно распре­ деленной нагрузкой при отсутствии в пролете сосредоточенных сил.

Для ротора с изменяющимися по длине величинами попереч­ ных сечений или нагрузки, а также для многоопорных роторов не­ обходимо ротор разбивать на несколько участков. Границами' участков служат сечения, в которых либо меняется размер попе­ речного сечения гп (момента инерции І пи погонной массы тп), либо' расположена опора, либо приложена сосредоточенная сила или изменяется нагрузка. В пределах каждого участка величины поперечного сечения, погонной массы, момента инерции и нагруз­ ки полагаем неизменными. Длину »-го участка обозначаем Іп.

Для каждого участка составляем уравнения типа (1.4), причем начало координат каждый раз переносится на границу участка. Записывая в форме (1.12) решения уравнений (1.4) для каждого участка, получим п уравнений упругой линии ротора по участкам.

где К = mn(a2/EIn.

Произвольные постоянные A n, Bn, Cn, D n определяются из: условий сопряжения на границах участков и на опорах.

12

Глава 2

ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ГРУЗОВ НА РОТОР ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ

В настоящей главе выводятся уравнения упругой линии, изги­ бающих моментов и опорных реакций при действии различных рас­ пределенных и сосредоточенных сил неуравновешенности на вра­ щающийся ротор постоянного сечения в зависимости от скорости его вращения. Получены формулы для расчета замены одной системы грузов другой системой. Рассмотрение ротора постоян­ ного сечения упрощает анализ, не отражаясь существенно на качественной стороне вопроса. Выводы, полученные для такого ротора, в основном действительны и для широко распространен­ ных роторов ступенчатого сечения.

Распределенные силы

Изгибные колебания двухопорного ротора с распределенной в пролете по произвольному закону непрерывной неуравнове­ шенностью (см. рис. 1.3) при наличии трения рассмотрены в рабо­ те [7]. Там же было показано, что при величинах трения, сущест­ вующих в реальных машинах, при рассмотрении вращения ротора вдали от критических скоростей влияние рассеяния энергии вслед­ ствие трения можно не учитывать.

Непрерывно распределенную неуравновешенность ротора на двух жестких шарнирных опорах можно разложить в ряд по си­ нусоидам различных порядков

При этом полагаем, что начальная неуравновешенность в про­

Для действия такой неуравновешенности в упомянутой работе были выведены следующие выражения для прогибов ротора, изги­ бающих моментов и опорных реакций (с учетом возможности не учитывать трение):

п п \2 . tlTtS

14

Д п ( 0 ) - д г 2 -п> 1 - Г - ( ? ) 3 .

11=1 1 ‘

щейся суммой плоских упругих линий соответствующих гармоник. Плоскости гармоник в общем случае различны и при малом трении на скоростях, отличающихся от критической, практически совпа­ дают с плоскостями соответствующих гармоник сил неуравнове­ шенности. При постоянной скорости упругая линия ротора вра­ щается вместе с ним, сохраняя свою конфигурацию. Изменение угловой скорости приводит к изменению соотношений модулей и фаз гармоник и соответственно к изменению общей формы упру­ гой линии. При вращении ротора со скоростью, близкой к одной из критических, модуль и фаза соответствующего слагаемого полу­ чают преобладающее значение в совокупности всех гармоник.

; Динамические реакции опор представляют суммы слагаемых, соответствующих отдельным гармоникам и лежащих в плоскостях этих гармоник. Реакции от нечетных гармоник для обеих опор равны и направлены в одну сторону, а реакции от четных гармо­ ник на левой и правой опорах равны по величине и имеют противо­ положное направление.

При действии одной п-й гармоники прогибы ротора, изгибаю­ щие моменты и опорные реакции определяются соответственно одним из слагаемых сумм (2.2).

На практике часто приходится корректирующие грузы распре­ делять по длине ротора. В связи с этим возникает необходимость изучения действия на ротор нагрузок, распределенных по тому или иному закону.

Рассмотрим действие на гибкий ротор неуравновешенности, равномерно распределенной по части или по всей его длине, при различных скоростях вращения.

Конструкция ротора и распределенная неуравновешенность симметричны относительно среднего сечения (рис. 2 .1, а), поэтому

можно рассматривать только половину ротора, состоящую из двух участков. Первый участок длиной не несет нагрузки, а второй, имеющий длину 12, нагружен расположенной в одной плоскости равномерно распределенной неуравновешенностью с постоянным эксцентриситетом Ь0. Системы отсчета координат sn расположены, как показано на рис. 2.1, а. Для свободной от нагрузки части ротора (І)’за начало участка принят его левый конец, совпадаю­ щий с опорой, и ось Sj направлена вправо. Для нагруженной части ротора (II) за начало участка принят его правый конец, совпадаю­ щий с серединой ротора, a-ось s2 направлена влево.

15

2х = AXS (ksj) -j- ВХТ (ksx) -j- CXU (ksx) -j- DXV (ksx),

Z2 = Л25 (&S3) + B2T (ks2) -p C2U (kso) + DnV (ks2) -j- Ф (s2). (2.5)

Частное решение при нулевых начальных условиях для рас­ пределенной неуравновешенности q (s) = lébb = const равно

16

тель нулю, находим уравнение собственных частот cos {кН2) = О,

откуда

<£>п = (пл/1)4ЕІ/т, получаем к = гтуп/І.

Решая систему уравнений (2.8) и заменяя функции А. Н. Кры­ лова их выражениями через тригонометрические и гиперболиче­ ские функции, находим значения постоянных:

Подставляя эти значения в уравнения (2.5а) и выражая функ­ ции А. Н. Крылова в тригонометрических и гиперболических функциях, получаем уравнения упругой линии ротора по участ­ кам:

Zx (sx) = — bQ(cos ß sh ßa sh ksi — ch ß sin ß2sin ks^/C (ß),

Гос. публичная

ротора с неуравновешенностью, равномерно распределенной повсей длине

Z (s) = — ö0 (cos ß sh ß sh ks — ch ß sin ß sin ks)/C (ß).

С помощью уравнений (2.9) получаем выражения, определяю­ щие изгибающие моменты в роторе с неуравновешенностью, имею­ щей постоянный эксцентриситет и равномерно распределенной на части длины

М г (%) = k2b0EI [cos ß sh ß2 sh ksx + ch ß sin ß2 sin /csJ/С (ß)r

M 2 (s2) = — k2b0EI {[cos ß ch ßx ch ks-, — ch ß cos ßj cos /cs2] -j-

+C (ß) U (ks2)}/C (ß)

ипо всей длине

M (s) = k2b0EI [cos ß sh ß sh ks -j- ch ß sin ß sin ks]/C (ß).

Выражения, определяющие опорные реакции ротора, будут: при неуравновешенности, распределенной на части ротора

при неуравновешенности, распределенной по всей длине (s2 = 1/2)

Для случая симметричной нагрузки, равномерно распределен­ ной по концевым участкам длиной Іг при свободном от нагрузки среднем участке длиной 2/2(рис. 2.1, б), уравнения упругой линии

гибкого ротора можно получить следующим образом. Рассматрива­ емую нагрузку необходимо представить в виде суммы двух распре­ деленных нагрузок одинаковой интенсивности (6'0= const), уста­

новленных в противофазе. Первая распределена по всей длинеротора (\2Ь=■• 1), а вторая — по среднему участку (Х2Ь= 2L/1). Тог­ да, учитывая независимость действия каждой нагрузки, с помощью формул (2.9) получаем следующие уравнения упругой линии по участкам:

Zi (si) = — b'o [cos ß (sh ß — sh ß2) sh ksx —

— ch ß (sin ß.— sin ß2) sin kSl]/C (ß),

Z2Ы = ---- {COS ß [sh ß sh (ß — ks2) + ch ßi ch ks2\ —

.— chß [sin ß sin (ß — ks2) — cos ßi cos/cs2]} + bö [S (ks2) — 1].

18

Уравнения изгибающих моментов по участкам будут:

М 1(Si) = k~b'0EI [cos ß (sh ß — sh ß2) sh ks1+ -fc h ß (sin ß — sinß2)smÄ:s1]/C(ß),

M 2(s2) = Wb^EI (cos ß [sh ß sh (ß — ks2) + ch ßi ch /cs2] 4 -

+ ch ß [sin ß sin (ß — /cs2) — cos ßi cos /cs2] + U (/cs2) Ci (ß)}/C (ß).

(2.11)

Опорные реакции при такой нагрузке равны

JR(0) — R (Г) = b0V Tl V ^ E I[A ® ) - A '{m ß * C (ß).

Р и с. 2.2. Ротор с симметричным дисбалансом, распределенным по треугольнику

Для балансировки симметричной неуравновешенности коррек­ тирующие массы часто распределяют на роторе по треугольному ■закону (рис. 2.2), что позволяет уменьшить по сравнению с рав­

номерным распределением общий вес устанавливаемых на ротор грузов, хотя величина грузов, устанавливаемых в средней части ротора, повышается. Кроме того, распределение грузов по тре­ угольнику дает меньшие значения возбуждаемых этими грузами высших гармоник.

Рассмотрим действие такой нагрузки на ротор. Так как кон­ струкция ротора и неуравновешенность симметричны относитель­ но среднего сечения, будем рассматривать только половину ротора, состоящую из одного участка, загруженного неуравновешенно­ стью, распределенной по закону а (s) — 2a0s/l (О sg; s sg; 0,5Z).

Дифференциальное уравнение колебаний ротора будет

ElzІѴ + mz = 2a0smco2exp iat/l.

С помощью подстановки (1.9) получаем Zi y — IéZ = 2JAa0s/l. Общее решение этого уравнения имеет вид

Z = AXS (iks) + В-уТ {ks) + C\U {ks)+DJT (ks) - 2a0[s —^T (ks)]/l,

где учтено, что для рассматриваемой нагрузки 5

о

19