книги из ГПНТБ / Гусаров А.А. Балансировка гибких роторов с распределенной массой

.вектор [Q] получают из решения уравнения

Вработе Е. Хюбнера определяется необходимое и достаточное число измерений для определения компенсирующих грузов.

Вработе А. Г. Паркинсона и Р. Е. Д. Бишопа [41] дано тео­ ретическое исследование колебаний вращающихся валов с произ­ вольным числом упругих опор. Показано, что многоопорные валы могут балансироваться так же, как и двухопорные роторы. Пред­ ложенный метод основан на разложении дисбаланса по собствен­ ным формам колебаний системы не вращающийся ротор — опоры. Колебания каждой формы последовательно устраняются установ­ кой соответственно подобранных компенсирующих грузов. При балансировке каждой последующей формы грузы подбираются так, чтобы не нарушить уравновешенность, достигнутую для предыдущих форм.

Уравнения движения вращающегося многоопорного вала, за­ висящие от дисбаланса и упругого прогиба, составляются ана­ логично уравнениям для однопролетного вала. При этом условие ортогональности характеристических функций содержит дина­ мические жесткости опор, которые должны быть равны. В общем случае это возможно только тогда, когда эти жесткости не зависят ■от частот, что соответствует условию отсутствия масс и опор.

Дж. Ден-Гартогом предложен общий метод балансировки гиб­ ких роторов с произвольной податливостью опор [42]. Рассмот­ рение двухопорного вала массой М, сосредоточенной на расстоя­ нии sо от опоры, и к дисбалансов mh, расположенных на расстоя­ ниях sk от опоры и имеющих эксцентриситеты ек, дает векторные уравнения

МаР-Ъд + 2 ЩіОУ(zа + ek) = 0,

к

s0MiäH0+ 2«fcW fc®2 (ч + efc) = 0.

к

Полагая для упрощения, что массы балансировочных грузов mh малы по сравнению с основной массой ротора М и прогибы неуравновешенных масс малы по сравнению с--эксцентриситетами I zkI I ек|, автор получает следующие условия полной уравнове­ шенности ротора:

на расстояниях sv от опоры, и неуравновешенностями mh (sh, eh)

100

имеющего Ъопор, путь решения такой же. При этом отбрасываются Ъ— 2 промежуточных опор, влияние которых заменяется допол­ нительными условиями неподвижности или упругой связи на этих опорах. Тогда для полного уравновешивания ротора потре­ буется удовлетворение системы, состоящей из п + Ъ уравнений, что может быть обеспечено установкой на роторе п + b компен­ сирующих грузов.

Рассматривая далее установленный на Ъ опорах ротор с рас­ пределенной массой и дисбалансом, автор приходит к выводу, что для балансировки р форм собственных колебаний необходимо установить на нем п = b + р грузов, величина которых опре­ деляется из решения системы уравнений. При этом рекомендуется учитывать при балансировке критическую скорость, в четыре раза превышающую наибольшую рабочую скорость ротора.

Принятое вначале допущение о малости прогибов по сравне­ нию с эксцентриситетами в случае ротора с распределенной мас­ сой может нарушиться при распределенном дисбалансе и на ско­ ростях, близких к критическим. Поэтому условие равенства нулю реакций в опорах будет удовлетворяться неполностью. Однако величины реакций, остающихся после балансировки, будут неве­ лики.

Методика балансировки многоопорных систем, изложенная в работе [43], основана на определении коэффициентов влияния пробных грузов при двухкратной установке их в каждую плос­ кость и не требовала поэтому измерения фаз вибрации. Но нужны были два дополнительных пуска для определения влияния груза в поперечной плоскости. При рекомендованной установке двух

К. Юлиш [44] предложил дающий на практике хорошие ре­ зультаты приближенный метод балансировки гибких трехопорных роторов. На первом этапе ротор (рис. 5.1) балансируется на ма­ лых оборотах в двух близких к опорам плоскостях. Для компен­ сации на критической скорости вызванного изгибающими момен­

бирают так, чтобы их суммарное статическое и динамическое воз­

101

А. В. Шляхтина [45]. В работе показано, что с помощью распо­ ложенных в п сечениях групп грузов можно отбалансировать ротор по п формам собственных колебаний на одной скорости вра­ щения независимо от числа жестких или податливых опор и от числа распределенных или сосредоточенных масс. Величины ста­ тических моментов грузов, необходимых для балансировки к-й

здесь, кроме использованных ранее, приняты обозначения: ?щ, р,,

— неуравновешенная сосредоточенная масса, ее эксцентриси­ тет и фазовый угол; а, — расстояние г-й массы от опоры.

102

Из системы уравнений (5.4) определяются статические момен­ ты корректирующих грузов

Из выражений (5.5) видно, что для каждой формы колебаний имеются определенные соотношения между статическими момен­ тами грузов, не зависящие от распределения дисбаланса ротора, которые определяются конструктивной формой последнего и вы­ бором мест расположения корректирующих грузов. Отношения статических моментов грузов могут быть вычислены заранее для каждой формы колебаний, что облегчает процесс балансировки. Сохраняя неизменными эти отношения и меняя лишь один па­ раметр, можно полностью отбалансировать к-го гармонику.

Отбалансировав таким способом все п форм, объединяют все грузы, установленные в каждом сечении, в результате чего на роторе окажется система из п грузов, установленных в тех же сечениях. Эти грузы в совокупности будут компенсировать дис­ балансы по всем п первым формам колебаний. Более высокие формы остаются при этом несбалансированными.

Далее рассмотрен ротор постоянного сечения без сосредото­ ченных масс, установленный на Ъопорах (рис. 5.2). Распределен­ ный дисбаланс р (s) расположен в одной плоскости. Некоторые из опор предполагаются жесткими, другие — упруго-податливыми. Последнее обстоятельство, однако, в дальнейшем не учитывается, так как, исходя из условий балансировки, реакции считаются рав­ ными нулю, и в граничных условиях записываются условия не­ подвижности опор. В последнем пролете установлены два кор­ ректирующих груза (Qb-i, Ьь-і, Qb, Ьь), а в остальных — по одно­ му «?і, Ьі).

Ротор разбивается на участки, границами которых являются опоры. Для каждого участка составлены уравнения типа (1.4). Записывая решения для вынужденных колебаний в форме (1.12), получена система уравнений, решение которой дает b уравнений упругой линии ротора по участкам в форме (1.14).

103

реакций в опорах в результате балансировки.

С учетом граничных условий получена система уравнений, решение которой по методу начальных параметров дает значения произвольных постоянных, входящих в уравнения упругой ли­ нии, и определяет величины статических моментов Ъ корректи­ рующих грузов, полностью устраняющих реакции во всех опорах на данной скорости.

Показано далее, что ротор с любым распределением масс и дисбаланса, опирающийся на Ъ подшипников, при помощи п = Ь + к грузов можно полностью отбалансировать на всех ско­ ростях вращения по к формам колебаний, и при заданной скоро­ сти со о устранить динамические реакции во всех опорах.

Рассмотрен также случай, когда после балансировки /с низ­ ших собственных форм в к сечениях многоопориого ротора дина­ мические реакции от высших форм превышают допустимые.

Для повышения качества балансировки необходимо увеличить количество корректирующих грузов с к до п (п > к). При этом возможны два принципиально различных пути использования дополнительных грузов: 1) увеличить число полностью отбаланси­ рованных форм дисбаланса до ?г, 2) не увеличивая числа отбалан­ сированных гармоник, наложить на N = п — к грузов дополни­ тельные условия устранения динамических реакций на' N опорах при некоторой скорости вращения и 0-

Статические моменты N корректирующих грузов определяют­ ся с помощью метода начальных параметров из системы уравнений

рость реакции изменятся, однако если системы уравнений (5.4) и (5.6) удовлетворены, то реакции, обращенные в нуль при со = w0, практически будут малыми в достаточно широком диапазоне скоростей.

Изложенный метод приводит к тем же основным результатам, что и метод Ден-Гартога, однако, в отличие от последнего, он не содержит никаких упрощающих предположений.

104

При решении задачи балансировки гибких многоопорных рото­ ров важную роль играет изучение их изгибных колебаний при критических скоростях. Этой теме посвящена работа X. Томаса [46]. Рассматривая простейший двухмассовый трехопорный ро­ тор без демпфирования, автор показал, что в зависимости от мес­ та расположения дисбаланса, соотношений масс собственных частот н коэффициентов влияния разные критические скорости представляют разную опасность.

В отличие от одномассовых систем опасность критических ско­ ростей многоопорного ротора определяется не только порядком этих скоростей, но и рядом других параметров системы и, в част­ ности, расположением и параметрами наиболее неуравновешен­ ного ротора системы. Это обстоятельство дает возможность на основании анализа частотных характеристик и упругих линий ротора оценить необходимое количество корректирующих грузов, мест измерений вибраций и наметить программу балансировки.

Ни в одной из приведенных выше работ не исследовалась сов­ местность системы уравнений, определяющих уравновешенность гибкого многоопорного ротора. Указывалось лишь, что при ра­ венстве нулю определителя система не имеет решений. Причем не выяснялись причины, приводящие к этому случаю. Решение сис­ темы уравнений зависит не только от равенства нулю ее опреде­ лителя, но и от ряда других факторов. Вопросы совместности ре­ шения системы уравнений, определяющих уравновешенность, и устойчивости решения этой системы исследованы в кандидатской диссертации С. И. Микуниса [47].

Требование равенства нулю векторов колебаний М подшип­ ников (А2, . . ., Ад/) в результате балансировки грузами, уста­

новленными в N сечениях при скорости вращения сор, приводит к системе из М линейных векторных уравнений, связывающих N

іі=і

где амп — коэффициенты влияния, определяющие вектор коле­ баний М-го подшипника при установке единичного груза в ?г-м сечении на скорости сор. В матричной форме эта система будет

105

Решение уравнения (5.7) или (5.8), определяющее величины необходимых корректирующих грузов, в матричной форме имеет

.вид (5.2). Основным оператором уравнения (5.2) является обрат­ ная матрица коэффициентов влияния [а]-1. При балансировке возможны три случая:

Из теории определителей известно, что в первом случае могут быть три варианта. При равенстве нулю определителя матрицы [а] и всех ее миноров порядка р (р < N) система неопределенная и имеет множество решений. Если а = 0, но хотя бы один из ми­ норов матрицы [а] не равен нулю, то система несовместна и решений не имеет. Если | а | =/= 0, то система имеет единственное решение. Во втором случае ранг гь расширенной матрицы системы [5] больше ранга га матрицы [а], система несовместна и решений не имеет. В третьем случае система совместна, но имеет множество решений.

В связи с ограниченностью числа доступных для установки грузов плоскостей у турбоагрегатов и ряда других машин наи­ более распространенным является третий случай (М > N). Мож­ но уменьшить количество уравнений М до величины N, однако это ухудшит качество балансировки, так как при этом не все условия полного уравновешивания будут выполнены. Увеличе­ ние количества корректирующих грузов до числа М потребует увеличения пусков с пробными грузами, что в случае необходимо­ сти выемки роторов из статоров может резко снизить общую эко­ номичность балансировки.

Случай второй легко приводится к третьему путем состав­ ления дополнительных к уравнений (к = N — М), получаемых из условия равенства нулю колебаний тех же N опор на других скоростях вращения (Щ, . . ., сщ, или из условия равенства нулю колебаний в к дополнительных сечениях при той же скорости Юр, или из комбинаций этих требований.

Решение (5.2) для случая третьего имеет ограничение, свя­ занное с требованием, чтобы определитель матрицы [ос] не был равен нулю. Математически это выражается в том, что опреде­ литель не должен содержать тех строк или столбцов, все элемен­ ты которых равны нулю или пропорциональны соответствующим элементам других строк (столбцов). С учетом этих математических признаков технология балансировки должна содержать некото­ рые общие рекомендации, использование которых до начала ба­ лансировки или при определении коэффициентов влияния обес­ печило бы выполнение условия | а | =j= 0. К числу таких рекомен­ даций относятся следующие.

J06

Установка пробного груза в двух различных сечениях ротора не должна давать подобные формы упругой линии ротора или пропорциональные векторы колебаний всех опор, а также при­ водить к кососимметричным формам колебаний, при которых противофазные колебания всех опор будут равны или пропор­ циональны.

При определении коэффициентов влияния и балансировке из рассмотрения должны быть исключены балансировочные сече­ ния, нечувствительные на данной скорости к установленным в них грузам, и опоры, в которых отсутствуют реакции от пробных грузов, установленных во всех N балансировочных плоскостях. Неточность исходных данных, полученных в результате измере­ ний, порождает ошибки в решении, так как изменение коэффи­ циентов системы в пределах заданной точности, вызывает изме­ нение решения.

Условие I ос | ={= О еще не определяет полностью возможность применения решения (5.2) для вычисления с достаточной для практики точностью величин корректирующих грузов. Для обеспечения устойчивости обратной матрицы [ос]-1 необходимо, чтобы прямая матрица [ос] была хорошо обусловленной.

Обратная матрица называется устойчивой, если малым изме­ нениям элементов прямой матрицы соответствуют малые изме­ нения в элементах обратной матрицы. Для устойчивости матрицы [а]-1 необходимо, по крайней мере, чтобы определитель матрицы [ос] был не слишком мал. Однако одна величина определителя не дает полной характеристики обусловленности матрицы. Например, одинаково обусловленные матрицы ;г-го порядка, отличающиеся друг от друга постоянным множителем, имеют определители, от­ личающиеся на и-ю степень множителя. Поэтому величину оп­ ределителя следует сравнивать с n-й степенью наибольшего эле­ мента матрицы.

Рядом авторов предложены различные количественные ха­ рактеристики обусловленности матрицы, вычисление которых связано с определением различных норм или собственных зна­ чений прямой и обратной матриц. В частности, С. И. Микунис [47] использовал для характеристики обусловленности одно из чисел Тюринга, определяемое равенством

ѵ ( [ « ] ) = 4 - ^ ( [ с с ] ) А ( [ а Г 1),

матрицы [а]; N ([се]-1) — ана-

логично определяемая норма обратной матрицы.

Число обусловленности имеет вероятностный смысл, заклю­ чающийся в следующем. Если при рассмотрении системы урав­ нений (5.8) вектор [А] задан точно, а элементы матрицы [а] явля­ ются независимыми случайными величинами со средними зна­

107

чениями оси и одинаковой дисперсией а2 (а2 ^ аіу), то число обус­ ловленности V ([а]) показывает, во сколько раз отношение сред­ неквадратичного ошибок неизвестных корректирующих грузов к среднеквадратичному самих неизвестных превосходит отноше­ ние среднеквадратичного ошибок коэффициентов влияния к сред­ неквадратичному самих коэффициентов.

Инженерные методы балансировки многоопорных роторов

вусловиях электростанций

Впредыдущем разделе рассмотрены работы но теории балан­ сировки многоопорных роторов, показывающие общий путь оп­ ределения неизвестных корректирующих грузов, заключающийся

врешении уравнения (5.2), содержащего результаты измерения вибраций опор и данные о коэффициентах влияния. При этом процесс балансировки многоопорного ротора обычно связан со сравнительно трудоемкими расчетами коэффициентов влияния и

самих корректирующих грузов, которые в большинстве случаев невозможно выполнить без применения ЭЦВМ. Кроме этого, реальные турбоагрегаты имеют ограниченное число доступных для установки корректирующих грузов сечений. Все это приво­ дит к необходимости разработки инженерных методов баланси­ ровки многоопорных роторов, позволяющих значительно сокра­ тить объем вычислительных работ и количество пробных пусков.

Одними из первых работ в этой области являются работы А. С. Гольдина [48, 49], в которых описывается так называемый способ нулевых систем. Способ этот основан на том, что каждый корректирующий груз может рассматриваться и как некоторая система грузов, связанных определенным соотношением. Прос­ тейшими из таких систем являются пары симметричных грузов. При расчетах грузы, образующие систему, умножаются на одни и те же коэффициенты.

За нулевые системы грузов н-го порядка принимаются систе­ мы из п грузов рь, суммарное влияние которых на ряд опор рав­ но нулю. Из п грузов можно составить систему, не влияющую на (п — 1)-й вектор вибрации. Введено понятие полных нулевых сис­ тем грузов — таких нулевых систем, порядок которых равен количеству N используемых балансировочных плоскостей. При равенстве количества учитываемых векторов вибрации А; и коли­ чества балансировочных плоскостей, каждая из N полных нуле­ вых систем грузов влияет только иа один из векторов А*. Единич­ ная нулевая система — это система, в которой первый груз еди­ ничный (рх = 1 ■еі_0). Векторные изменения вибрации, вызывае­ мые единичными нулевыми системами, являются коэффициентами влияния нулевых систем. При балансировке необходимо стре­ миться к ограничению количества рассматриваемых векторов вибрации, что приводит к уменьшению количества корректирую­ щих грузов. Это возможно сделать, учитывая следующее.

108

Шесть компонентов вибрации одной опоры механически свя­ заны между собой, поэтому в первом приближении можно харак­ теризовать колебания одной опоры при одной скорости вращения одним вектором вибрации. Вся совокупность векторов вибраций на критической скорости может рассматриваться как один вектор. Для достижения допустимого уровня вибраций большинство сов­ ременных энергетических машин достаточно отбалансировать иа рабочей скорости вращения и критических скоростях, лежащих ниже рабочей. Часть форм дисбаланса при существующих конст­ рукциях и технологии изготовления машин практически не вли­ яет на вибрации опор. Часть опор имеет повышенную вибрацию, часть — незначительную. Это определяется в основном механи­ ческими свойствами ротора и в малой степени распределением дисбаланса. Поэтому при балансировке следует стремиться к ограничению вибрации только «неблагополучных» опор, так как на остальных опорах вибрация имеет тенденцию к уменьшению в связи с общим улучшением уравновешенности ротора.

Способ балансировки многоопорных роторов нулевыми систе­ мами грузов, позволяющий оперировать как отдельными грузами, так и системам грузов, дает возможность относительно просто вносить нужные изменения в процессе расчета и более полно ис­ пользовать промежуточные результаты расчетов при изменении исходных данных. Он позволяет также находить оптимальные грузы в том случае, когда для полной компенсации векторов виб­ рации не хватает одной балансировочной плоскости.

Дальнейшее развитие этого способа в части использования комплексных балансировочных чувствительностей и оптимизации расчета корректирующих грузов изложено в работах [50, 51].

Для балансировки многороторных систем в условиях элект­ ростанций И. С. Лисициным разработан метод [52] раздельной компенсации нечетных и четных форм дисбаланса с помощью систем симметричных и кососимметричных грузов на критичес­ кой и рабочей скоростях вращения с последующим распределе­ нием корректирующих грузов по длине ротора. В работе того же автора [53] показан метод решения систем линейных уравнений для определения компенсирующих грузов, позволяющий значи­ тельно сократить число расчетных операций по сравнению с мето­ дом Крамера, а также исключить появление больших погреш­ ностей в расчете, связанных с делением на малые величины. Это последнее обстоятельство особенно важно для расчетов при балан- -сировке с применением нулевых систем.

Условие уравиовешенности многоопорного ротора (5.7) или

.(5.8) есть требование равенства нулю прогибов или колебаний в выбранных точках измерения. Менее строгое условие уравно­ вешенности, предложенное для двухопорных роторов А. Черчем и Р. Планкетом [54], заключается в обеспечении минимума ампли­ туд колебаний в определенных точках измерения. Т. Гудмэн [55] при балансировке сложных роторных систем предложил исполь­

ю :9