книги из ГПНТБ / Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов

руются во взвешенном состоянии. Кривые построены при значении £/о/ у*о=17, отвечающем значению коэффициента Шези С = 53 м'/г/с, и при нескольких разных значениях коэффициента подвижности дна ц*о/о>о. Огибающими для нейтральных кривых служат установ­ ленные Кеннеди и Рейнольдсом границы области развития анти­

чаемые с помощью модели потен­ циального течения, но дает возможность детализировать условия устойчивости. Решением Кеннеди (3.34), полученным без учета тре­ ния, устанавливается однозначное соответствие между длиной волн с наибольшей скоростью роста и числом Фруда. В решении Эигелунда эта длина зависит также от сопротивления русла и подвиж­ ности донных частиц. Нельзя однако считать, что в природе могут реализоваться произвольные комбинации параметров Fro, Uo/v...o и ц*о/шо. При течении жидкости в подвижном русле эти параметры связаны друг с другом. Поэтому пока что трудно сказать, на­ сколько велики поправки, вносимые учетом трения. Это выяснится лишь после более детальных расчетов и сопоставления расчетов со специально поставленными экспериментами. Тот факт, что ре­ зультаты Кеннеди находятся в достаточном согласии с опытами, относящимися к широким диапазонам изменения £/о/а*о и ѵ^о/щ,

60

говорит о том, что роль сил трения в начальной устойчивости дна не является во всяком случае первостепенной.

Подробно разобрав работы А. Рейнольдса и Ф. Энгелунда, мы лишь бегло остановимся на работах других авторов, исследовав­ ших устойчивость подвижного дна средствами динамики реальной жидкости. Каждая из этих работ представляет самостоятельный интерес, но они немного добавляют к основным результатам Рей­ нольдса и Энгелунда.

К. Ашида [55] использовал одномерную модель руслового по­ тока. Сопротивление русла Ашида определял по формулам Шези и Маннинга, расход наносов — по формуле Калинского—Брауна. Считая, что расход наносов однозначно связан с элементами дви-

Ѵгг0

жения потока в том же самом сечении (öx = 0), он получил, что дно устойчиво.

Н. Б. Кереселидзе [23] установил, что минимальная скорость, при которой возникает неустойчивость, лишь немного превосходит неразмывающую. Неустойчивость берегов развивается при мень­ ших скоростях, чем неустойчивость дна. Эти результаты под­ тверждаются опытом.

М. Градовжик [70] рассмотрел одномерный неустановившийся поток, приняв для коэффициента Шези выражение типа формулы Штриклера, а для расхода наносов выражение типа формулы Мейер-Петера и Мюллера. Он показал, что нестационарность по­ тока влияет на устойчивость дна таким же образом, как сдвиг 8х, вводимый в уравнения установившегося неравномерного дви­ жения.

61

изойдет отложение наносов. В результате возникает шахматная цепочка углублений дна (на рис. 3.10 они показаны штриховкой) и шахматная цепочка отложений. Этот возмущенный рельеф дна уси­ лит искривление струй, возмущения будут нарастать, пока не сфор­ мируется устойчивая извилистая линия наибольших глубин. В ра­ ботах по морфологии рек в этих случаях говорят о русловом меандрировании или о меандрировании меженного потока, понимая под этим извилистость течения внутри меженного русла. Если бе­ рега легко поддаются размыву, то следующим шагом будет ис­ кривление берегов, т. е. переход к пойменному меандрированию.

Можно себе представить, что в русле очень большой ширины параллельно развиваются два или больше возмущений планового движения. Поток, а с ним и русло разделятся по ширине на не­ сколько фрагментов, каждый из которых будет повторять картину,

Рис. 3.10. Возмущения свободной поверхности при искривлении плановых линий тока.

изображенную на рис. ЗЛО. Этот процесс положит начало делению русла на рукава.

Постановка и решение задачи об устойчивости русла в описан­ ном виде принадлежит Р. Калландеру [59]. Перейдем к математи­ ческой формулировке задачи. Исходной будет система уравнений планового движения потока в деформируемом русле (2.27) — (2.30). Перепишем эту систему, исключив высоту дна с помощью равен­ ства 2 s = z,„ — /г и представив продольный градиент потерь энергии,

дне (индекс х у величины то, а также у проекции вектора удель­ ного расхода наносов qs будем опускать). Получим следующие уравнения:

63

+z'w. Перенеся эти равенства в систему (3.101) — (3.104), исполь­

зовав (3.105) и отбросив члены, нелинейные по переменным за­ дачи, получим

Чтобы замкнуть систему (3.106) — (3.109), свяжем возмущения касательного напряжения и расхода наносов с возмущениями про­ дольной скорости. Малость амплитуд возмущений позволяет вос­ пользоваться линейными соотношениями:

64

Возмущения элементов движения представим выражениями:

Здесь S, Т, R, Z — безразмерные комплексные функции. Волно­ вое число k и комплексная скорость с также безразмерны. Вслед­ ствие соотношений (3.110) и (3.111) возмущения касательного на­ пряжения и расхода наносов находятся в фазе с возмущениями продольной скорости. Возмущения V', h' и z'w могут быть смещены

по фазе относительно U'.

Подставив выражения для возмущений (3.116) — (3.119) в урав­ нения (3.112) — (3.115), после дифференцирования и сокращения экспоненты получим:

Система уравнений (3.120) — (3.123) дает возможность решить задачу об устойчивости планового движения потока в эродируемом русле. Опуская громоздкие преобразования, приведем общий ход решения.

Исключая из уравнений (3.120), (3.122) и (3.123) величины 5

dT

и R, получаем уравнение, связывающее Z с производной

dy

Решая это уравнение совместно с (3.121), исключаем Z и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для безразмерной амп­ литуды поперечной скорости

где Л — параметр, сложным образом зависящий от элементов не­ возмущенного движения, волнового числа k и комплексной скоро­ сти с. Интерес представляют собственные значения параметра А,

т. е. те его значения, при которых уравнение (3.124) имеет нетри­ виальные (не нулевые) решения. Чтобы найти собственные зна­ чения Л, используем граничное условие обращения амплитуды Т в нуль на линиях берегов

Из условий (3.125) следует, что собственные значения Л дол­ жны быть вещественными и положительными

R eA > 0 , Іш А =0.

Это сразу приводит к решению

где А — постоянная. Собственные значения Л определяются выра­ жением

(3.127)

Приравняв правую часть (3.127) выражению Л через элементы невозмущенного движения, волновое число k и скорость с и от­ бросив некоторые малые члены, получаем уравнение, в котором ве­ щественная и мнимая части могут быть разделены. Это дает два алгебраических уравнения для определения сти с,; тем самым мы решаем задачу об устойчивости.

Уравнения для сг и Сі ставят эти величины в зависимость от сле­ дующих шести безразмерных параметров, из которых первые че­ тыре характеризуют невозмущенный поток, а два последние — воз­ мущения:

Число n, входящее в последний параметр, представляет собою число полос с шахматными дорожками экстремумов zw и zs, на ко­ торые разбивается возмущенный поток. Значение п = 1 отвечает меандрированию, значения /г > 1 — делению на рукава.

Если касательное напряжение на дне определять по формуле

Таким образом, зная величины £Л>, /го, /о и qso и построив связь между qSQи ІІ0, мы можем найти все четыре параметра, характе­ ризующие невозмущенный поток.

66

ходимо задаваться. После этого волновое число k находится из ус­ ловия наибольшей начальной скорости роста амплитуды, т. е. из условия максимума величины /гщ при щ >0. Конечный итог иссле­ дования Калландера сводится, таким образом, к установлению связи между длиной волн доминирующих возмущений и видом, ко­ торый получает русло (меандрирующее или разветвленное) в ре­ зультате развития неустойчивости.

Полученный Калландером закон изменения величины kc,■в за­ висимости от изменения k представлен в общем виде на рис. 3.11. На этом рисунке видно, что плановая неустойчивость (с*>0) име­ ется во всем диапазоне волновых чисел от 0 (длина волн %— оо) до

ные на моделях, дали необходимые для расчетов исходные данные. Заметим,, что на основании совокупности опытов значение пока­ зателя степени т в формуле расхода наносов было найдено рав­ ным 5,94 — 6. Во всех семи опытах Калландера прямолинейный канал преобразовался в однорукавное меандрирующее русло. Рас­ считанные для условий этих опытов длины волн доминирующих

Таким образом, порядок длин извилин оценивается теорией Калландера правильно. Для четырех опытов Леопольда и Вольмаиа, в которых сформировались разветвленные русла, положив п = 3, Калландер получил теоретические значения длин доминиру­ ющих волн, близкие к ширине русла. Этот результат согласуется с обычными длинами островов при русловой многорукавности.

Ксожалению, в работе Калландера не приведены длины извилин

ирукавов, наблюденные в опытах. Условность теоретической мо­ дели Калландера не дает, впрочем, оснований ожидать близости

ГЛАВА 4

ВРЕМЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РУСЕЛ

§ 4.1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Уже указывалось, что прямолинейные плёсовые участки явля­ ются наиболее устойчивыми формами естественных русел. Степень устойчивости таких участков особенно велика, если хотя бы один берег у них незатопляемый. В соответствии с содержанием этой главы название «устойчивый участок» будет здесь употребляться в смысле «долго сохраняющий свои размеры и плановое положе­ ние». Есть много плёсовых лощин, которые не меняются в течение десятков лет.

Общая причина устойчивости плёсовых участков ясна. Она со­ стоит в том, что русло на таких участках близко к цилиндриче­ скому, течение, следовательно, мало уклоняется от равномерного и наносы проходят транзитом. Свидетельством почти равномерного движения потока служит однозначность наблюдающихся на этих участках связей между расходом и уровнем воды.

Однако, когда мы поразмыслим над условиями существования однозначных связей Q и zw, встанет следующий вопрос. Во время паводка движение воды в реке неустановившееся, к уклону трения добавляется инерционный уклон, имеющий на подъеме и на спаде разные знаки; как возможно, что на кривых расхода, во всяком случае на многих из них, мы не видим, казалось бы, неизбежной в этих обстоятельствах петли? Можно сослаться на медленность колебаний речного стока и вытекающую отсюда малость инерци­ онных уклонов. Если инерционные уклоны малы по сравнению с ук­ лоном трения, точность гидрометрических наблюдений (5— 10%) недостаточна для того, чтобы обнаружить их влияние. Но это не от­ меняет поставленный выше вопрос, а лишь заставляет повторить его в другой форме. Спросим себя так: каким решением уравнений Сен-Венана описывается то квазиравномерное неустановившееся движение открытого потока, которое наблюдается на устойчивых гидрометрических участках с приближенно однозначными кривыми расходов? Ответ на этот вопрос важен не только для гидрометрии. Как будет показано, решение этого вопроса имеет далеко идущие следствия в отношении условий устойчивости русел рек и каналов.

Существование специфических особенностей неустановившегося движения при больших силах трения и малых силах инерции из­ вестно давно. Еще в середине прошлого столетия Клейтц и Бретон исследовали этот случай движения. Результатом исследований

69