книги из ГПНТБ / Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов

без изменений (не считая сезонных колебаний высоты дна) в те­ чение десятков и даже сотен лет. Ее «защищенность» от случай­ ных воздействий существенно связана с ее ограниченной длиной (редко более 10—15 ширин русла). Нельзя рассчитывать на то, что плёсовая лощина вдвое большей длины будет столь же устойчива, поскольку увеличение длины означает увеличение вероятности встретиться с местной неоднородностью грунта, с впадением оврага и т. д.

Недостаточная «защищенность» участка от случайных воз­ действий ведет к резкому снижению сроков устойчивости. Пока­ жем это на следующем примере. Пусть рассматривается прямоли­ нейный участок русла с развитой двусторонней поймой. Пока по­ ток находится в меженном русле, течение близко к равномерному

иучасток устойчив. Затопление поймы осложняет гидравлику по­ тока и делает судьбу участка менее определенной. Известно, что при сильных затоплениях поймы взаимодействие между русловым

ипойменным потоками часто приводит к крупным непредсказуе­ мым переформированиям. Пусть в нашем случае вероятность силь­ ного затопления поймы в период весеннего половодья равна 0,1 (средняя частота 1 раз в 10 лет). Связывая с этим событием на­ рушение устойчивости участка, мы должны считать, что вероят­

ность сохранения устойчивости в течение одного года равна 0,9. С помощью биномиального распределения легко найти, что для пя­ тилетнего периода эта вероятность составит 0,59, а для десятилет­ него— лишь 0,35.

Функция, выражающая вероятность того, что время сохранения

называется функцией надежности. Приведенные в нашем примере вероятности 0,9; 0,59; 0,35 есть значения функции F(t). Представ­ ление оценок устойчивости русла в виде функций надежности яв­ ляется тем решением задачи, к которому следует стремиться, хотя, по-видимому, это не всегда будет осуществимо.

§1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ОТНОШЕНИЮ

КМАЛЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

Во многих гидравлических лабораториях наблюдалась следую­ щая картина. Если установившийся равномерный поток движется в лотке по ровному песчаному дну со скоростью, немного большей неразмывающей, влекомые потоком наносы вскоре после начала опыта начинают в некоторых местах накапливаться, образуя попе­ речные валики. С тыловой стороны валиков развивается эрозия дна. Валики быстро растут в высоту, столь же быстро углубляются их подвалья, и по прошествии короткого времени дно становится волнообразным. Можно искусственно вызвать этот процесс при ско­

10

ростях, меньших неразмывающеи, т. е. когда наносы еще не дви­ гаются, если положить на песчаное дно металлическую линейку.

В другой разновидности опытов вода пускается по сделанной

вслое песка прямолинейной борозде. С какой бы аккуратностью не была проложена борозда, через несколько часов после пуска воды

вней появляются местные углубления и местные скопления нано­ сов, берега начинают искривляться. По прошествии 3—4 суток на месте прежней борозды можно наблюдать сделанную потоком мо­ дельную реку с извилистыми берегами, с перекатами и плёсовыми лощинами.

Аналогичный процесс, но в гораздо более крупных масштабах длины и времени развивается после ввода в эксплуатацию неук­ репленного канала. В начальный момент с возможной для прак­

тоичивости —^ - = 0. С помощью отстойников в голове канала пред­

отвращено поступление в канал наносов русловых фракций. Есть как будто все основания считать, что канал не будет деформиро­ ваться. Однако по прошествии короткого времени по дну канала начинают перемещаться гряды, затем обнаруживаются деформа­ ции крупного масштаба: обрушения берегов, местные размывы, формирование кос. Если крупные повреждения не исправить, они разрастаются еще больше, и канал приобретает формы, все более приближающиеся к формам естественных русел — с чередующимися сужениями и расширениями, плёсами и перекатами.

Все три рассмотренных примера говорят об одном и том же. Они показывают, что равномерный водный поток и сложенное из несвязного грунта прямолинейное, призматическое русло с ровным дном составляют неустойчивую механическую систему. Малые воз­ мущения, которые никогда нельзя предотвратить и вначале даже заметить, способны нарастать, необратимо переводя систему по­ ток—русло в существенно иное состояние. В таком виде задача об устойчивости русла входит в круг задач, рассматриваемых класси­ ческой теорией устойчивости движения.

Исследование вопроса об. устойчивости ведется в этой теории по следующей схеме: на движение, которое нас интересует (как правило, установившееся), накладывается в момент времени t= 0 некоторое малое возмущение. Далее ищется, как будет вести себя возмущенное движение во времени.

Применительно к движениям, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений (т. е. имеют одну не­ зависимую переменную — время), строгое определение устойчиво­ сти было дано А. М. Ляпуновым [28]. Формулируя определение Ляпунова в качественном виде, говорят, что исходное невозмущен­ ное движение устойчиво, если при достаточно малых начальных возмущениях возмущенное движение будет сколь угодно мало от­ личаться от невозмущенного. Если при f-»-oо возмущения затухают и движение возвращается к своему исходному состоянию, это ис­ ходное состояние называется устойчивым асимптотически. Если

11

с течением времени возмущенное движение отходит от невозмущен­ ного, как бы малы ни были начальные возмущения, исходное не­ возмущенное движение неустойчиво [32].

Для движений, описываемых уравнениями в частных производ­ ных, строгого определения устойчивости не имеется. Главным сред­ ством решения задач гидродинамической устойчивости служит ме­ тод малых колебаний, носящий приближенный характер. Основы метода малых колебаний составляет линеаризация уравнений воз­ мущенного движения и задание начальных возмущений в форме периодических функций координат пространства и времени. Каж­ дый, из элементов г/ь г/2........ Ук, ■■., Уп возмущенного движения (компоненту скорости, давление, высоту свободной поверхности и т. д.) можно представить в виде суммы значения ум этого эле­ мента в исходном невозмущенном движении и наложенного возму­ щения

У * = У ім+ У * , У * « У й о -

Отбрасывая в уравнениях возмущенного движения члены, со­ держащие произведения малых величин i/h (в частности, на самих

себя), получаем уравнения, линейные относительно возмущений. Поскольку любое возмущение может быть представлено разложе­ нием в ряд Фурье, периодическая форма возмущений не нарушает общности решения. Чтобы облегчить расчеты, величину возмуще­ ния считают комплексной.

Проследим за общим ходом решения в простейшем случае пло­ ского течения вдоль оси х. Величина возмущения напишется (под­ строчный индекс у обозначения у' опускаем) в виде

Из уравнения (1.5) следует, что вопрос об устойчивости исход­ ного невозмущенного движения решается знаком мнимой части комплексной фазовой скорости. Если сг> 0, возмущение будет сте­ чением времени экспоненциально нарастать — исходное движение окажется неустойчивым. Если щ <0, возмущение будет экспоненци­ ально затухать — исходное невозмущенное движение устойчиво. При сг- = 0 будем иметь нейтральные волны — не нарастающие и не затухающие.

12

Знак величины С; определяется в результате подстановки ве­ личины

У — Уо~гУ — Уо-}-яеій(Л с J

в линеаризованное уравнение возмущенного движения. Решающее значение при этом имеет инвариантность показательной функции по отношению к операции дифференцирования. В силу этого свой­ ства величина exp [ik(x — с£)] оказывается общим множителем всех членов линеаризованного уравнения и сокращается. Остаю­ щееся выражение — дифференциальное или алгебраическое — дает возможность определить с, а значит и с*.

Будучи успешно применен в ряде задач гидродинамики, метод малых возмущений оказался плодотворным и в работах по началь-

пой устойчивости подвижного дна. Наряду с этим приходится пом­ нить о его приближенности и проверять результаты расчетов опыт­ ными данными. Критический анализ современного состояния тео­ рии гидродинамической устойчивости содержится в книге

Н.А. Картвелишвили [22].

Вбольшинстве случаев расчеты показывают, что неустойчивость

развивается лишь в определенном интервале длин волн Я, а вне этого интервала движение устойчиво. Поясним это на физическом

примере.

Пусть в результате неточности, допущенной при планировке откосов неукрепленного канала, один из берегов имеет выступ со стрелой a < ß (рис. 1.2). Для простоты положим, что очертания выступа плавные и он обтекается без отрыва. В зависимости от протяжения выступа вдоль потока возможны три случая.

13

1. Длина выступа Я имеет порядок а и, следовательно, также мала по сравнению с шириной канала В (рис. 1.2 а). В этом слу­ чае малыми (порядка а) будут и радиусы кривизны струй, обте­ кающих выступ. Поэтому возмущение, вносимое в поток выступом, локализуется в его непосредственной близости. Здесь произойдет местное увеличение скорости течения, выступ будет постепенно смыт, деформаций канала не произойдет.

2.Протяжение выступа по потоку Я имеет порядок ширины ка­ нала В (рис. 1.2 6). В этом случае будет наблюдаться общее ис­ кривление всего потока. Под действием центростремительного ускорения разовьется радиальное течение, начнется размыв проти­ воположного берега, вдоль выступа станут откладываться наносы. Эти деформации будут усиливать искривление струй, возмущение будет нарастать, и устойчивость канала окажется нарушенной.

3.Длина выступа вдоль потока велика по сравнению с ши­ риной канала. Кривизна берега будет при этом столь незначи­ тельна и в соответствии с ней структура потока изменится так мало, что деформация русла и нарастание возмущения будут идти медленно. Весьма вероятно, что это слабое возмущение, не успев развиться, будет подавлено каким-нибудь новым, более сильным возмущением.

Таким образом, «опасны» для устойчивости канала возмущения

сдлиной волны порядка ширины потока В. Возмущения со зна­ чительно меньшими и значительно большими длинами волн не угрожают устойчивости канала.

Первая работа, в которой метод малых возмущений был приме­ нен к задаче о начальной устойчивости подвижного дна, принадле­ жит Д. Картрайту [60]. В ней рассматривалось формирование гряд

на морском дне под действием ливных течений. Вслед за ней по­ явились работы, посвященные начальной устойчивости дна рус­ ловых потоков: Дж. Ф. Кеннеди [78], К. Ашида [55], А. Рейнольдса [90], Н. Б. Кереселидзе [23], М. Градовжика [70], Дж. Кеннеди [79], Р. Калландера [59], Т. Хаяши [73], Дж. Смита [93], Ф. Энгелунда [64], Ф.. Энгелунда и И. Фредсо [65], Ф. Энгелунда и

О.Сковгора [66].

Вработах Кеннеди, Хаяши, а также Энгелунда и Фредсо ис­ пользована модель потенциального течения идеальной жидкости, во всех остальных работах — модель течения с трением. Большин­ ство авторов ограничилось рассмотрением коротковолновых дву­ мерных возмущений поверхности дна, т. е. тех возмущений, кото­ рые кладут начало плоским грядам и антидюнам. Устойчивость дна относительно трехмерных коротковолновых возмущений в области больших чисел Фруда исследована в работе Энгелунда и Фредсо. Трехмерные донные формы рассматривал также Рейнольдс, однако эта часть его работы имеет целью классификацию развитых дон­ ных форм и лишь косвенно затрагивает вопрос об их возникно­

вении.

Устойчивость руслового потока в плане относительно возмуще­ ний с большими длинами волн исследовал Калландер, а также Эн-

14

гелунд и Сковгор. Эта задача актуальна в связи с процессами меандрировашія и ветвления русел. Н. Б. Кереселидзе отдельно рас­ смотрел двумерные возмущения дна и двумерные возмущения бе­ регов.

Исходные положения и приемы анализа явления у указанных авторов во многом различны, однако в том, что касается развития коротких двумерных волн (плоских гряд и антидюн), в работах этих авторов намечаются контуры единой теории. Основную роль в создании этой теории сыграли работы Кеннеди, Рейнольдса и Энгелунда. Проблема устойчивости русла по отношению к длин­ новолновым возмущениям, представляющая непосредственный практический интерес, в связи с ее чрезвычайной трудностью раз­ работана пока очень мало.

С методологической точки зрения заслуживает внимания боль­ шой успех, который выпал в решении задачи о начальной устойчи­ вости дна на долю методов динамики идеальной жидкости. Полу­ ченные по этим методам основные результаты Кеннеди оказались в хорошем согласии с опытом и не были поколеблены теоретиче­ скими исследованиями более сложных моделей, учитывающих силы^ трения в жидкости.

§ 1.5. СОДЕРЖАНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Закончив обзор современного состояния проблемы устойчивости русла, попытаемся сформулировать содержание проблемы. Это необходимо потому, что иногда приходится встречаться с недоста­ точно ясным пониманием ее состава и границ.

Логически первой частью проблемы является вопрос о началь­ ной устойчивости плоского подвижного дна по отношению к ко­ ротковолновым двумерным и трехмерным возмущениям. Это во­ прос о происхождении рифелей, гряд и антидюн. Далее следует вопрос об устойчивости плоского подвижного дна и прямолиней­ ных деформируемых берегов относительно трехмерных возмущений с большими длинами волн, другими словами, вопрос об общей устойчивости призматического русла. Оба этих вопроса удобно объединить под названием задач о начальной устойчивости. Реше­ ние этих задач основывается на методе малых возмущений.

Следующую часть проблемы составляют вопросы устойчивости развитых, т. е. получивших естественные формы речных русел и эксплуатируемых каналов. Под устойчивостью здесь понимается недеформируемость ограниченного участка русла в течение ограни­ ченного времени. Это та устойчивость, которая чаще всего интере­ сует инженера. Задачи этого рода назовем задачами о врёменной устойчивости. К ним непосредственно примыкает вопрос о факто­ рах, определяющих интенсивность русловых деформаций. Можно спорить о принадлежности этого вопроса к проблеме устойчиво­ сти, но интересы практики требуют рассматривать его в связи с за­ дачами о врёменной устойчивости. Решение задач о врёменной устойчивости можно вести, применяя детерминистические методы

15

скорость в живом сечении; С — коэффициент Шези; Zs= z w—Н — средняя высота дна; Qs —-объемный расход наносов в плотном теле; S = Qs/Q — средняя концентрация транспортируемых нано­ сов; е — коэффициент пористости донных отложений. Члены урав­ нения движения (2.1) отнесены к единице веса жидкости.

Ширины естественных русел, а также больших и средних кана­ лов всегда велики по сравнению с их глубинами: В^>Н. Учтя это условие, а также приняв во внимание малость концентрации S, мо­

Если русло не деформируемое, движение потока полностью опи­ сывается уравнениями (2.1) и (2.2). Система (2.1) и (2.2) известна под названием уравнений Сен-Венана. При отсутствии колебаний стока уравнения Сен-Венана вырождаются в систему уравнений установившегося неравномерного движения:

UBH— Q =const.

Если русло деформируется, то со строгой точки зрения даже при неизменяющемся стоке движение воды в реке неустановив­ шееся. Однако вследствие того, что расход наносов Qs на несколько порядков меньше расхода воды Q, иестационарность движения, производимая деформациями русла, так слаба, что ею всегда мо­ жно пренебрегать.

Таким образом, если расход воды во входном сечении данного участка реки не меняется, уравнения установившегося движения (2.6) действительны как в жестком, так и в деформируемом русле.

Исходная общая система уравнений (2.1) — (2.3) содержит шесть неизвестных функций продольной координаты и времени: zw, U, Н, В, С и Qs (при желании, вместо zw, U, Н, Qs можно считать неизвестными Zs, Q, ы, S). Коэффициент пористости е, входящий в уравнение деформации, предполагается постоянным (для песков е~У з). В действительности, если грунт неоднородный, это не со­ всем так. При размыве дна за счет выноса мелких частиц вели­ чина е немного возрастает, при намыве, когда промежутки между крупными частицами заполняются мелкими, величина е снижа­ ется. Однако эти вариации значений е лежат, по-видимому, за пре­ делами точности расчетов.

18