книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

) [ ^ 0 ;

5) ' Х4 0;

6) ■ X -СО;

7)

х 4 0 \

&Х+5У0;

Ях+540;

Ях+540; .

В.х+540 \

Х+1 <0;

х+ыо;

х+1 ЧО;

Х +І40;

Х+Я<0;

Х+£<0;

<

<

Х+&40; .

x t £ 40;

Х+5 УО;

Х+ЗУО;

■X+3 40;

X+3 -W;

Х+Ч уО ■

Х+Ч УО.

х+ч >о.

Х+Ч УО.

решений даёт полный

ответ.

Заключительные

замечания. (I) Теория, обосновывающая решение

системы неравенств,

приводится в [33]. . (2) Затронем вопрос

о

душ вычислений) число, вычисляем jcx)

и

асх)

и смотрим, не

нарушается ли

смысл неравенства.

Решение

четвёртой задачи

Условие: построить график функции

у = х &+іхі

■

Пояснение. Если задана прямоугольная декартова система коор­

динат, то

графиком функции

у*Jcx)

называют множество

всех

точекъ/

с координатами

М ( х ; J ( x ) ) ,

. где

х

пробегает

область

определения

данной функции

(см. определение

2

на стр. 8 ) .

В нашем случае J c x ) - х^+іхі -I,- и точка графика имеет

коорди­

наты М (х ;х? + іхі - О

или

М ( X , у ) ,

где

у = х е+іхі-і.

Из пояснения получается,

что для каждой точки х найдётся

ного

набора ( у = Іх+6 , у -л г

y=k

, у - аХ і о х + е ; у =!xl

и другими).

Конкретно, данная функция

у ^ х ^ + іх і-!

определена для лю­

бых действительных х

и

обладает

свойством

чётности. Это значит,

ЧТО

j C ' X ) = j ( X ) ,

( - х ) г

+і

- х і

-1

= х 2+ і х і -1

Это

парабола,

ветви которой уходят- в полуплоскость

ух?.

Вершина параболы имеет

координаты

Ио ( - ^ ; ~ % ) . При х = о ,у = і,

т .е .

точка И

( С г , - 1)

находится на вертикальной

оси

О у .

Точки пересечения параболы с осью

Ох' найдём из

уравнения

Х?+Х-1=0;

х . - ± й .

l+fë'

м

п.

>'

2

’

2

’

2

Для построения графика при

х > о

нужны точки.

и Иz (

i ° ) ■

Остальные

(М0,

)

имеют отрицательные

абсциссы.

Сравним данную функцию '

t j = x s+ x - l

или

(в

более

удобном

виде)

у= (■

,

.

,

со

стандартной

функцией

=xz■

2

т

у

I2

я

График промежуточной функции

- (-Х* т>)

получается из гра­

фика основной функции

и - X 2,

сдвигом

(параллельным переносом)

вдоль

оси

Ох

нрд

влево, т .е , вершина параболы из

точки О

(0;0)

перейдёт

в вершину'A

( - g i O ) , ■

а

каждая ордината

графика

о

влево на

отрезок длины

I

параллельный гори­

у =х

сдвинется

д ■>

зонтальной

оси

Ох .

График нашей параболы

у=

2~ %

получится из

графика функции

у = ( х + ^ ) &

сдвигом

вниз

(вдоль вертикальной

оси

Оу

) на

отрезок

длины у •

У полученного

тикальной оси Оу.

- Эскиз графика готов.

И в этой задаче можно отчасти проверить себя, проверить ход

построения

графика: если

то

іхі = - х ,

и наша функция

у^хЯ-х-І или

y = x £- x t^ - ij-l

■ График этой функции получа­

ется из графика стандартной функции

двумя последователь­

ными сдвигами: во-первых,

вправо вдоль

оси

Ох

на

отрезок

дли­

ны *[л

; во-вторых,

вниз

вдоль оси

Оу

на

отрезок

длины ^ ■

Другой путь проверки-построить график функции

у=х&-х -1

,

выделяя

точки Ло ft j

;■- ф ;Ц С0;-1); Д, (

О),

Л3 ( Я К - 0) .

Затем сравнить его

с частцю построенного графика для

х+О.

Решение

пятой задачи

Условие: доказать,

что

если

£ + j r

= -j-

и

ас ?o,

то

atè

atb

7,4-

Ba-è

+ Вс-6

L +L -і

получим, что

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условия

Вас

6ФО,

а

с

ь

и з-за

того,

что

6-a te

так

как

a t e ФО

ас>о.

Лас

a t é

* ate

а (ata) t&aa

a t3 c

Тогда

Л а-6

ate

Ва c a te ) -Вас

Ва

Лас

Bate

ctè

Ot а+а

ecatc) t Лас

Вс-Ь

Вс

. Лас

Во cate)- Вас

Вс

a ta

Далее

at6

_

eté

a t За

3 a tc

ßa-6 + Вс-6

Ва

,

в с

Но правая часть

at3e

B ate

Вас t6 e &t 6 a &tBaa

S a ct3 (a &t é )

Ва

і

Вс

Чае

ае

Вас

Рассмотрим дробь

a&ta &

а &

а

с

ас

ае

' аа

с

а

Так как

ас>о,

-

то

а

+■

равны,

-

прямоугольник).

Замечание. Мы постарались решить геометрическую

задачу

без

чертажа. Это может показаться оригинальничаньем. Однако часть

математиков считает, что чертёж только мешает

развитию

геометри­

ческого

воображения.

Решение седьмой

задачи

Для решения задачи посмотрим, что

представляет собой

сечение пирамиды

плоскостью

Х Р М ,

провёденной через

точки

К ,Р , Н

•

Треугольники ЙВС

тикер

подобны, следовательно,

КРИ

И ЙВ.

Тогда

KP

параллельна плос­

кости

(IBS

;

KP - J ЙВ-

Секущая плоскость

пересечёт

грань

ЙВS

по

отрезку E F , параллельному KP,

а следовательно, параллельному и ЙВ.

Проведём

среднюю линию МД

треуголь­

ника

$ e s ,

ЕД = В Д - В Р

,

М Д UBS.

Заметим,

что

BE -

средняя линия

треугольника

М Д Р ,

откуда

В5 =

= £МД - KßE.

Значит, EF

ЙВ

(треугольники

йBS

и EFS

подобны). Площади подобных треугольников относятся,

как квадраты

сходственных

сторон, поэтому

S

= —

S

üE FS

16

ä flB S .

Пусть V - объём пирамиды .

за в а .

При вычислении

объема

пирамиды

3EFM

целесообразно

за

основание

принять грань

EFS .

Тогда

высота

И

этой пирамиды из

точки М

будет

равна половине

высоты

Нс из вершины С

пирамиды

СйВІ

,

ибо

м

-

середина

ребра

es .

" у

- і

и . в

i

-Hé — s

—H„ -S

M&Fі

з

пм

üsrs

з

" I

16 3 Йд$ 32,

3 с i №

Объём нижней части пирамида будет составлять

объёма пирамиды

ЗвВС .

Отскща искомое отношение есть 9 : 23.

Сформулируем ещё

одну

задачу: имеет ли фигура, состоящая из

вопрос

относительно

осей

симметрии.

Решение

восьмой

задачи

Имеем

п + 7 а - + к п 2) = п - + / 4 п г'+Цд=(ті&+7)*

По условию

п

-

нечётное

число,

что можно

записать

так:

n -Zk+1,

где к

-

любое

целое

число.

Значит, можно записать

с п ^ ) 2- = [ ( è U l f + l f =

Гкк£+ 4к+і+7)& =

=[4 C k â+ k + £ )f=

!6 (k 2 +k+ß)â -

Выражение,

стоящее в

скобке

ск^+ к+к),

на множители

не

раз­

лагается.

Q

Ö

Нам надо

убедиться,

что

при любом целом

к

( к К +к+к)

делится на

4.

Это обстоятельство

будет иметь место,

если к г +к+2

делится на два,

другими словами,

к 2 +к+к-

является

чётным числом.

Убеждаемся в последнем утверждении так:

Первый

случай,

к

-

чётное

число, тогда (по основной теореме

арифметики,

см.

стр.

80)

число к 2

тоже чётное,

и

k &+k+â

есть сумма трёх чётных чисел, а,

следовательно,

при к

чётном по­

лучаем,

что

к 2 +к+3,

чётно.

Вторюй

случай, к

- нечётное

число, тогда

к 2

-

тоже

нечётное,

и

Ск&+к)

’будет числом чётным, откуда следует,

что

к 2+к+&

чётное. Заметим: можно доказать,

что

4к (к+О

всегда

делится на

8

(см. С* ) ) .

Другое решение задачи

8

При

« - /

имеем

п ѵ+7(7 +ânz)= 1+63-64,

данное

выражение

на 64

делится.

Предположим, что при

п-к

к ч+1(1+2к*) = ( к &+1)\

это

выражение делится на 64, Если после проверки мы получим,что

при

п = к+£

выражение

Ct+£)r+ ? f7 + £ r t+ £ ) ej

тоже делится

на 64, то

принцип математической индукции позволяет

утверждать,

что исходное

утверждение справедливо.

. Проверка.

(к+£)\7П+£(к+£)г1 --/ (к+£)л*і]*=

(k &+9k-HH7)â = (k&+9k+H)â=

к 4+I6k2 +l£l+8k3+ £ £ k 2 +88k =

Скч+17/кя+ т

+ (8k3+ 29kS+88k +72) =

ли она на восемь? Попробуем разложить эту сумму

на множители:

к 3+Зк2 +Нк +9= Ck3+ßk2+k) +Ck2+2k+]) t (8к+Ю=

к (к&+£к+1)+(к&+2к+І) +8 (к+О =

кСк+і)2 + (k-tlf +8 Ck+l) - (к+03 +8СЫ).

Теперь уже видно, что можно было сделать проще

последнюю выклад­

ку: вспомнить, что ск+!)3 = к3 +3к2 +3к +!

,

отщепить это вы­

ражение от рассматриваемого, т .е . записать, что

к3 +3ке + нк+9=

Ск3+Зкг+5к +1) +(8к+8 ). Итак,

Опять обращаем внимание на то,

что к

- нечётное число

(по усло­

вии). Тогда

(кН)

- число чётное;

( к Н / -

делится

на четыре;

L(k+l)*+81

-

делится на четыре ,и,

наконец,

к 3+Зк&+Ifк +9

делится на восемь,

что и требовалось

проверить.

Решение девятой

задачи

Условие

задачи: упростить

выражение

l / n f ^ / H ä f / п а * - i t â } /

~ ä ]

при j - t a * / .

,

(А если - Ы а - ю ,

то

как решать

задачу?)

вовсе их не содержать). Б таких задачах

возможен произвол

со

стороны преподавателя в том емнеле, что

заранее неясно, какой вид

преобразованного выражения больше всего

понравится преподавателю,

п а

_

1 - а

______ / н а

/ п а к ' . і+ а

/ н а ^ - й - а . )

/ п а - / п а

Исходное выражение

примет

вид

г

/на

/па

7 /на*-/

I /н т - / н а

/ н а - / и щ

а

/І+а

*/ңа

/і-а*-1

/ н а

- / н а

а

( / н а

+ / н а ) ( / н а - / н а ) • (/нс? -і)

&а

с /н ? - 1 )

'

. ( / 7 ä - / H o W

а

’ ( / н а - / н а ) “ '

а

_

2 ( /н а * - / )

_ 8. ( / п а * -П = [

~ Н а н - а - £ /( п а к н а )

г а - / н а * )

при о^а-сі

Эту задачу можно было сформулировать и так: пусть

задана функция

г

,г -

, „

, г Г,------

,

7

*

ж * / н а +

- . lf J [ j / 5 ^

' â l -

Доказать,

что

она от а

не

зависит. Точнее

надо

сказать

так: до­

казать, что в

заданной

области

определения функция

j c a )

равна

постоянно

числу ( -У

) .

В таком виде следует

проверить,

нет

ли среди

названных значений а

( о < а < 1 )

таких, при которых

получится нуль в знаменателе. Желающие могут убедиться,

что

опас­

ными значениями для jc a )

являются только

a -о

и

<2-У,

которые

из области определения функции исключены.

И ещё одна задача монет быть сформулирована на основании рас­

сматриваемой

задачи на

экзамене: построить

график функции jc a )

кладываются значения

а.

, по

вертикальной

оси

значения функции

j(a).

Решение десятой

задачи

Задача заимствована из

(16

,

§ 68]. Вторая часть

задачи (касающая­

ся разности

двух

сторон)

приведена тад< не в

[16]

в

виде

задачи

№34 на

стр. 41.

Будем

вести

рассуждение

без

чертежа

(разбирающий

эту

задачу

с карандашом и бумагой воспроизводит чертёж сам).

Первый случай. Построить

треугольник,

зная

его

основание Ь,

угол оС,

прилежащий к основанию,

и суш у

3

двух

боковых сторон.

1) Анализ. Предположим, что задача решена, т .е .

найден та­

кой й ЙВС,

что

ДС-6,

z #-<=■£,

flö+ BC-S.

Построить

с

помощью цир­

куля и линейки

ДС ,

^Д

мы можем. Остаётся найти

на

другой

стороне

угла Д

такую

точку

ß

,

чтобы сумма

ДВ + ВС.

равня­

лась

S.

Важный момент: продолжив

ДВ ,

отложим

отрезок

ДД ;

равный

3.

Искомая точка

ß

должна быть одинаково

удалена

от

точки С

и точки Д ,

. т .е . лежать

на

перпендикуляре,

проведенном к отрезку

СД

через

его

середину (этот

перпендикуляр называют

ещё медиатри-

сой

отрезка

СД

) .

Итак,

план построения

готов.

2) Построение. Строим z К - ос. На одной его стороне отклады­

ваем

отрезок KL = Ь ,

на другой

К Я - S. Соединяем

точки

L и Н

отрезком

прямой. Через

середину

отрезка І Я

проводим

перпендику­

ляр МО.

Точку

Л

соединяем

с

точкой

М

-

точкой

пересечения

перпендикуляра

МО

со

стороной

КЯ.

Треугольник

K L M -искомый,

ибо по построению в нём z MKL

~ ы. ,

основание

KL

- 6

и K M + M L

= S .