книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

Но П О С К

О Л Ь

•

/—/5----- Е—'

,

то

(считая, что нал известно

К У

&п - yJZä -

а к/і)

кое-что

из

теоріи пределов)

к т

6п = R .

Ял = У

n-*-co Л-

Отсвда

к т

И

к т

а

= р .

г-*-^ Рл

П

***

V*

ІЕММА

4 .Пусть (Рѣ ) , (Qn )

-

последовательности соответствен­

- 1&Рп=Р

>'/*2 , 9я =9 -

Тогда

Р'Я-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,

По лемме

I

Рп ^ Яѣ

•

По

теореме

о

перехо­

де к пределу в неравенстве заключаем, что

J i m

рл

é Um

ТЕОРЕМА

I . Для всех монотонных последовательностей

вписанных

в данную

окружность С

выпуклых многоугольников (Рп ),

для

которых

к т

а ^ = о ,

пределы

( р

) последовательностей

периметров

совпадают.

таковы,

что

tim а'

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

( P j )

и (Р*)

= к т

а!‘ =о

,

и

пусть

_ km^

р'п

- р '

,

а

также

Р п ~ Р ' " V У * Р <

Рассмотрим

последовательности

( Q'j

и

( Q ' ) ,

которые

существуют

по

лемме

3 . Кроме, того,

к т о ' - р '

И

k m q * = р*

«♦ос

и

г

л - ~

'п.

^

Применяя лемму

4

к паре

f P ' )

и

( О.* ) ,

имеем

р к р Р

Применяя ту же лемму 4 к паре (Р*)

и

( Q ' ) ,

получаем

А

/ 3 •

-

Следовательно, р'=р"

Определение 3 . Длиной окружности называется предел периметров

вписанных

Многоугольников из

любой монотонной

последовательности

({^) , для

которой длина наибольшей стороны

стремится

к нулю

( к т

а71-О),

I .Число

сторон многоугольника

Pint

(лучшего)

Замечание

должно делиться на число сторон многоугольника

Рк ,

. если ( P J -

последовательность

правильных вписанных многоугольников.

Замечание 2 . Дальнейшее изложение вопросов, связанных с длиной

окружности,

совпадает

с обычным школьным изложением. Например, тео­

Соизмерима ли диагональ

квадрата с его стороной? Нет. Это

саѵ й

простои

пример пары

несоизмеримых отрезков? Тоже

нет.

П.уоть йВ

-

сторона правильного выпуклого

десятиугольника. Точка О -

центр

окруж- .

ности, описанной около

десятиугольника.

Тогда радиус этой окружности ВО несоизме­

рим

с ДВ.

Если

провести

йс

-

биссектрису

угла

BRO,

то

/ 801: ІЙВІ-

/ СО!: / ВСІ ■

Это следует

из свойства

биссектрисы

и

подобия треугольников ЙВС

и ДОВ.

Кроме

того,/<?<?/- і й с 'і = if)В) .

Значит,можно

считать, что на стороне

ВО

отложен отрезок,

равный по длине

й&.

Чтобы отложить на ЙВ

отрезок ЯД,

равный по длине

80',

проведем

ОД -

биссектрису угла

Дев.

Имеем

і й д і = і е д і

- /в с / -

Остаток ВД

мы отложим

на ВС,

проведя

Д Б -

биссектрису угла

ВДС.

Ясно,

что процесс откладывания

остатков,' подобный

описанным двум

шагам, никогда не кончится. Это и

подтверждает

справедливость

предложения: отрезок ВО

несоизмерим

с отрезком

йд.

Длина отрезка ЙВ есть ІйВІ

'*-*-) Чво/

= ( -

(равенство

получено из

пропорции / ВОД ійВІ-

l e o j IBCI).

Длины отрезков

/ BOI

и

ІйВІ

находятся в

"божественной пропор-

ции", в "золотом сечении", отношение большей части отрезка

ВО

(т .е .

отрезок

со) к меньшей (отрезок

ВС)

равно

отношению всего

отрезка ВО

к большей

части

о /со/ = /дві).

Этой пропорцией

очень

гордились древние греки,

они нашли ей

применение в архитектуре.

Здесь важно подчеркнуть, что мы имеем самый простой пример

пары несоизмеримых отрезков

йВ

и

ВО.

Простота в том, что "остаток"

одной стороны (ВС,

например)

ровно

один

раз

откладывается в другой

(йВ).

на ниже

кавычками).

"Не всякая алгебраическая формула допускает геометрическое

истолкование,

в котором буквы означают длины отрезков. Такое ис­

толкование невозможно, например, для формул

не удовлетворяющих требованию

однородности".

В такой редакции это утверждение неправильно. Первая из.фор­

мул (I)

может,

например, появиться в

результате

применения теоре­

мы Пифагора к прямоугольному

треугольнику, в котором один

из

катетов

принят

за

эталон (следовательно, имеет

длину, равную I ) ,

а другой катет и гипотенуза

в

э т о й

с и с т е м е

и з ­

м е р е н и я

имеют длинами

соответственно

а

и а - Равным обра­

зом второе уравнение (I) дает

некоторую кривую

(четвертого

поряд­

ка), если X и у

означают декартовы

координаты точки, т .е .

снова

длины (отвлекаясь

от знаков)

отрезков

п р и

о п р е д е л е н ­

н о м

в ы б о р е

э т а л о н а

д л и н ы

(который состав­

( I ) , как имеющие место при специальном выборе

эталона. Особые тре­

бования к структуре

формул появляются лишь в

связи с тем,

что

э т а л о н

п р е

д п о л а г а е т с я

н и к а к

н е

с п е ц и а л и з и р о в а н н ы м , т . е .

остается совершенно

ливо

предполагаем,

что

а, 6, с , А.

суть

длины,

полученные

при измерении всех четырех отрезков одним и тем же,

но

п р о ­

и з в о л ь н ы м

эталоном длины. Достаточно учесть это

обсто­

ятельство для того, чтобы заранее предвидеть

такую структуру фор­

мулы (2 ),

которая

обеспечивает сохранение этой формулы при заме­

не

а , Ь , а , і і

соответственно на

А а , А б , л с

, л к

,

где

А>о

(именно

такая здмена происходит, когда от

эталона

/<Г/

переходят к эталону

/ j / .

. И

действительно, если

(2) имеет

место в некоторой системе

измерения,

то

равенство

AÂ-

+А&С*

2 л а

выполняется тождественно

относительно

А~?о

- следствие

того,

что

обе части (2)

однородны (первого измерения).. Практическое

значение принципа однородности состоит в том,

что он

позволяет

в некоторых случаях сразу обнаруживать ошибочность формулы, не

вникая в способ ее

вывода. Например,

если кто-нибудь-утвервдает,

что

он .получил формулу

а ^ - 6 г +с3,

где

а, 6, с.

-длины

отрезков, измеренные произвольным эталоном, то проверка путем

изменения

эталона легко

обнаруживает

ошибку:

А^а2, -

л і к г'ч-

+ AJс 3

или

t А а 3

—

равенство,

несовмести­

мое с первоначальным при произвольном положительном

А

£

I , на­

пример, равенства несовместимы

при А

= 2.

Точная формулировка принципа однородности и обоснование его

потребовали бы пространных разъяснений. Ограничимся поэтому част­

явная функция длин других

отрезков (ср .

(2 )):

(3)

X = j c a , b , c

Начнем с определения понятия однородной функции: функция

нескольких аргументов

(переменных) называется

о„д н о р о д -

н о й

(измерения к

) ,

если

присоединение ко

всем аргументам

п р о и з в о л ь н о г о ,

но одного и

того

же множителя (боль­

ше нуля)

равносильно умножению функции на некоторую степень (с

показателем к ) этого

множителя

(4)

J e A a , а 6, а с ,. .. J-- л 1-J с а , 6, С ' . . . )

тождественно относительно

А , а,

Ь ,о

Например,

функции

&а*-аЧ+ J/63si

ЗаЧс3 .

af&

/ а ч+Ьч'\ y a £ tj/s^^aJe^'

'ПСт'п') ’

é È+C^ ’

суть однородные

относительно

аргументов

й , 6, с, т , а

соответственно измерений 3;

5; -

I; 2

2 /3 .

Теперь утверждаем;если

в

(3)

х

, а.,

Ь . с , .. . —

длины отрез­

ков,

измеренных произвольным, но одним и тем же

эталоном,

причем

а , 6, а,..,

- независимые переменные, то

Функция J

- однородная

первого измерения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в (3)

.г , а,

6 , с

..

-

длины некоторых

отрезков,

измеренные

эталоном

і З I. Перейдем

к новому эталону

/ - / ,

где А

-

произвольное

положительное

число;

новые длины преж­

них отрезков

выразятся, числами

А х ,

Ай.,

А б ,

АС , . . .

А так как зависимость между новыми длинами та же,

что и между ста­

рыми,

то

АХ = j ( A a , A b t а с ,...

) .

Подставляя

сюда л

из (3 ), найдем

А} (а,Ь,с,...) = f

Ш , л 6, А е ) ,

т . е .

тождество

относительно а , 6, с , . . . ,

А?о

(шюмним,

что

<2, 6, с ,

•••

независимы), выражающее,

что у

(положительно

) одно­

родная функция первого измерения. Читатель

легко

проверит доказан­

ное предложение на примере (2 ) .

Замечание. На практике для .подсчета измерении

оказываются

к

(В + В' +ЧВ"),

где

к

-

расстояние между

плоскостями данных многоугольников,

В

и В 1

- их площади,

В" - площадь сечения многогранника плоско­

стью, параллельной двум данным плоскостям и находящейся

от

них

на равных расстояниях.

Вывести отсюда объем усеченной пирамиды.

Указание. Разложить многогранник на пирамиды, имеющие общую

вершину

в некоторой

точке

сечения

&"

( ВД-

,

стр.

108,

№587).

Решение, Пусть

О

- некоторая точка среднего

сечения данного

грайяика (см. чертеж). Соедийив

ее

со всеми вершинами многогранника, по­

лучим две

цирамиды с

вершиной О,

осно­

ваниями которых служат соответственно

грани

ДВСД Е

и

XL И Я

многогранника (дальнейшие

рассуждения

не зависят от числа сторон оснований),

и ряд треугольных пирамид с вершиной

в той же точке о ,

основания которых

лежат в боковых гранях данного много­

гранника

(например,

о х д в

);

если

боковая, грань -

четырехугольник,

то

ей

соответствуют две

такие пирамиды (например,

грани

ВСЕХ

соответствуют

пирамиды Обе к

и

ОСLX

и л и же пирамиды

08CL И OBKL).

Объемы пирамид,

имеющих своими основаниями верхнее основание

и нижнее

основание многогранника,

равны соответственно J А&

я J h&'.

Объем какой-либо из боковых пирамид, например, объем

пирамиды

OKt7 3 ,

можно найти

следующим образом: тан как площадь

треугольника

ХДВ

S

= УУ

,

'

то объем

охав

Л k AB

л к P S

’

вчетверо

больше

объема пирамиды OXPQ

К « * 1

■

Сложение

объемов

всех

боковых пирамид дает

поэтому 4

к р )■

Ьтсюда и

получается общая формула

"(Зоновых ребер, то будем

иметь

J

Х : ( Х + ~ )

■(Х+к)

- / 3 ■/ 3 ' ■/ в

или

С/З + /В ')

■/ В 7 =

С£х*А): ( x + ^

4

откуда

Пусть для тела, имеющего

объем, площадь S = S сх)

его поперечного сечения, перпендикулярного к оси

Ох.,

изменяется

по квадратичному

(или даже кубическому) закону

S(x.)= Я х& + ßx+C

( а ^ х ^ Ь )

(или

SCx) =оСх3 +ß x & +%х +<$),

где Я, в, С

(d,/b, jf, â )

- постоянные числа.

Тогда объем этого

тела

равен

ѵ

ISCO+J/-S

+ SC&)J,

где H - è - a -

Если

Sex)

не является многочленом третьей

степени, то фор­

ного множества

функций ошибка при использовании формулы Кеплера-

Симпсона будет невелика. Например, с помощью выведенной формулы

площадь круга получается быстрее ( т . е .

быстрее

достигается

задан­

ная

точность),

чем с

помощью традиционного

удвоения числа сторон

правильного

вписанного многоугольника.

§ 7. Стереографическая проекция

Пусть дана плоскость об

и касающаяся ее

в

точке S поверхность

шара

ft.

Пусть ZfS

-

диаметр шара. Установим

соответствие

между

точкаыи сферы ft

и точками плоскости об

так: из

конца диаметра

Я

проводим луч, пересекающий, сферу ft

в точке Я ,

естественно

не

совпа­

дающей с

точкой N-

Этот луч пересечет

плоскость об в точке

ß.

Мы

говорим,

что

точки

я

и в

соответствуют друг другу

в стереографи­

ческой проекции.

Основное свойство стереографической проекции: всякая окруж­

ность или прямая плоскости об

переходит

в окружность

сферы

ft

и

обратно

(без

доказательства)..

Второе

свойство

(применяется

при вычерчивании

географических

карт): стереографическая

проекция сохраняет углы (точнее, величины

углов).

Рассуждение. Рассмотрим

две кривые на сфере ft,

пересекающие­

ся в какой-либо

точке М

, и

пусть

касательные

к этим

кривым в

этой

точке образуют угол

if .

Покажем,

что касательные

к стереогра­

при стереографической проекции сохраняются. Для этого заметим

сначала, что когда секущая к кривой стремится к совпадению

с

в точках й

и ß

с касательной плоскостью ß к сфере

в точке Я.

Очевидно, что треугольник

йЯВ

равен треугольнику

йМВ ,

,

так

как сторона

й В-

общая для

этих

треугольников,

Iм

/

ІЙМІ

как длины касательных к сфере,

проведенные из

одной и

той же

точки,

и /В Я / = ІВМІ

по гой же причине. *Ноэтому

йЯВ

= е м В -if ■

Но касательные к проекциям кривых параллельны прямым йЯ

и

В Я ,

ния плоскостей Я й м

и ЯВМ

с

плоскостью проекций. Сле­

довательно, угол между ними равен

ЙЯВ

= i f ,

что и требовалось

доказать.

§ 8 . Вычисление

площадей

(история проблемы)

Уже в Древнем Египте

точно вычисляли площадь

прямоугольников,

формулу

площади 3

в таком

виде

. a t e

6 +d

где

d

-

длины последовательных сторон (для сравнения при­

ведем точную формулу

3 = jj ^fcSm n t a e,t a &-l>s- - d e')(B m n .-ae'-c ü + l>Èt d £) ,

где

т , п

- длины диагоналей

четырехугольника).

Задача. Интересно выяснить для каких фигур формула египтян

I)

точна; 2)

ошибка невелика; 3) может ли ошибка быть сколь угодно

Самое интересное,

пожалуй, было

вычисление площади круга по форъ

муле

о

S - ( I о

■

где d - диаметр круга. Эта фор­

Затем,

около

каждого малого

квадрата строим по два квадрата

со

стороной h d

(на рисунке

эти восемь квадратов

отмечены бкувой

и ) .

Площадь

ступенчатой

фигуры после второго

выбрасывания

(уже

квадратов ы.

)

будет

В древнем

Вавилоне вместо" числа Я- употребляли

число

3.

Геометрию

значительно усовершенствовали

древние

греки,

В школе Пифагора считали, что

’’весь мир в целом является гар­

монией и числом". Имеется в виду натуральное число, а если вели­

чина не выражалась таким числом,

то ее изучала уже не'арифметика,

а геометрическая алгебра. Греки поставили (и пытались разрешить)

задачи, связанные с построением

с помощью циркуля и линейки без

делений. Т акони, пытались разрешить задачу о квадратуре

круга,

т .е . задачу

о возможности с помощью названных инструментов постро­

ить квадрат,

равновеликий данному кругу. Были попытки свести зада­

чу 'к' другой

задаче (луночки Гиппократа, с которыми разобрались

окончательно

в 30-40 годы нашего

столетия). Были и спекулятивные

был принцип исчерпывания. Лемма: "если даны две

неравные величины

и из большей вычитается часть, большая половины;

а из остатка -

снова часть, большая половины, и это повторяется

постоянно,

то

когда-нибудь останется величина, которая меньше,

чем меньшая из

данных величин" (эта лемма основана на аксиоме Архимеда

множе­

ства R ) ,