
книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения
.pdfНо П О С К |
О Л Ь |
• |
/—/5----- Е—' |
, |
|
то |
(считая, что нал известно |
|
К У |
&п - yJZä - |
а к/і) |
|
|||||
кое-что |
из |
теоріи пределов) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
к т |
6п = R . |
|
|
|
|
|
|
Ял = У |
n-*-co Л- |
|
|
|
|
Отсвда |
к т |
И |
к т |
а |
= р . |
|||
|
г-*-^ Рл |
|
П |
*** |
V* |
|
||
ІЕММА |
4 .Пусть (Рѣ ) , (Qn ) |
- |
последовательности соответствен |
но вписанных в окружность С и описанных около нее выпуклых много угольников, для которых.существуют пределы периметров
- 1&Рп=Р |
>'/*2 , 9я =9 - |
|
|
Тогда |
Р'Я- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, |
По лемме |
I |
Рп ^ Яѣ |
• |
По |
теореме |
о |
перехо |
|||||||||||
де к пределу в неравенстве заключаем, что |
J i m |
рл |
é Um |
|
|
||||||||||||||
ТЕОРЕМА |
I . Для всех монотонных последовательностей |
|
вписанных |
||||||||||||||||
в данную |
окружность С |
выпуклых многоугольников (Рп ), |
для |
которых |
|||||||||||||||
к т |
а ^ = о , |
пределы |
( р |
) последовательностей |
периметров |
||||||||||||||
совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таковы, |
что |
tim а' |
||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть |
( P j ) |
|
и (Р*) |
||||||||||||||||
= к т |
а!‘ =о |
, |
и |
пусть |
_ km^ |
р'п |
- р ' |
, |
|
а |
также |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Р п ~ Р ' " V У * Р < |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим |
последовательности |
( Q'j |
|
|
и |
( Q ' ) , |
|
которые |
|||||||||||
существуют |
по |
лемме |
3 . Кроме, того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
к т о ' - р ' |
|
И |
|
k m q * = р* |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
«♦ос |
и |
г |
|
|
|
л - ~ |
'п. |
^ |
|
|
|
|
|
||
Применяя лемму |
4 |
к паре |
f P ' ) |
|
и |
( О.* ) , |
имеем |
р к р Р |
|||||||||||
Применяя ту же лемму 4 к паре (Р*) |
и |
( Q ' ) , |
|
получаем |
|||||||||||||||
А |
/ 3 • |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, р'=р" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определение 3 . Длиной окружности называется предел периметров |
|||||||||||||||||||
вписанных |
Многоугольников из |
любой монотонной |
последовательности |
||||||||||||||||
({^) , для |
которой длина наибольшей стороны |
стремится |
к нулю |
||||||||||||||||
( к т |
а71-О), |
I .Число |
сторон многоугольника |
Pint |
|
(лучшего) |
|||||||||||||
Замечание |
|
||||||||||||||||||
должно делиться на число сторон многоугольника |
Рк , |
. если ( P J - |
|||||||||||||||||
последовательность |
правильных вписанных многоугольников. |
|
|||||||||||||||||
Замечание 2 . Дальнейшее изложение вопросов, связанных с длиной |
|||||||||||||||||||
окружности, |
совпадает |
с обычным школьным изложением. Например, тео |
'120
рема о том, что отношение длинокружностей равно отношению их ради усов, доказывается ссылкой на определение 3 и последовательность правильных вписанных многоугольников( Ш] ) .
§ 3. Геометрический смысл алгоритма Евклида
Соизмерима ли диагональ |
квадрата с его стороной? Нет. Это |
|||||||||||||||
саѵ й |
простои |
пример пары |
несоизмеримых отрезков? Тоже |
нет. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
П.уоть йВ |
- |
сторона правильного выпуклого |
|||||||||
|
|
|
|
|
десятиугольника. Точка О - |
центр |
окруж- . |
|||||||||
|
|
|
|
|
ности, описанной около |
десятиугольника. |
||||||||||
|
|
|
|
|
Тогда радиус этой окружности ВО несоизме |
|||||||||||
|
|
|
|
|
рим |
с ДВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Если |
провести |
йс |
- |
биссектрису |
угла |
|||||
|
|
|
|
|
BRO, |
то |
/ 801: ІЙВІ- |
/ СО!: / ВСІ ■ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Это следует |
из свойства |
биссектрисы |
и |
||||||||
|
|
|
|
|
подобия треугольников ЙВС |
и ДОВ. |
Кроме |
|||||||||
|
|
|
|
|
того,/<?<?/- і й с 'і = if)В) . |
|
Значит,можно |
|||||||||
считать, что на стороне |
ВО |
отложен отрезок, |
равный по длине |
й&. |
||||||||||||
Чтобы отложить на ЙВ |
отрезок ЯД, |
равный по длине |
80', |
проведем |
||||||||||||
ОД - |
биссектрису угла |
Дев. |
Имеем |
і й д і = і е д і |
- /в с / - |
|
|
|
||||||||
Остаток ВД |
мы отложим |
на ВС, |
проведя |
Д Б - |
биссектрису угла |
ВДС. |
||||||||||
Ясно, |
что процесс откладывания |
остатков,' подобный |
описанным двум |
|||||||||||||
шагам, никогда не кончится. Это и |
подтверждает |
справедливость |
|
|||||||||||||
предложения: отрезок ВО |
несоизмерим |
с отрезком |
йд. |
|
|
|
|
|||||||||
Длина отрезка ЙВ есть ІйВІ |
'*-*-) Чво/ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= ( - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(равенство |
получено из |
пропорции / ВОД ійВІ- |
l e o j IBCI). |
|
|
|
||||||||||
Длины отрезков |
/ BOI |
и |
ІйВІ |
находятся в |
"божественной пропор- |
|||||||||||
ции", в "золотом сечении", отношение большей части отрезка |
ВО |
|||||||||||||||
(т .е . |
отрезок |
со) к меньшей (отрезок |
ВС) |
равно |
отношению всего |
|||||||||||
отрезка ВО |
к большей |
части |
о /со/ = /дві). |
Этой пропорцией |
очень |
|||||||||||
гордились древние греки, |
они нашли ей |
применение в архитектуре. |
||||||||||||||
Здесь важно подчеркнуть, что мы имеем самый простой пример |
||||||||||||||||
пары несоизмеримых отрезков |
йВ |
и |
ВО. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Простота в том, что "остаток" |
одной стороны (ВС, |
например) |
|
|||||||||||||
ровно |
один |
раз |
откладывается в другой |
(йВ). |
|
|
|
|
|
|
|
Для более распространенной пары несоизмерімых отрезков (сторо ны единичного квадрата и его диагонали) получаем, что остаток диа гонали ( fS - I) дважды умещается на стороне квадрата.
I2I
§ 4. Однородность геометрических формул Отметим важный теоретически и практически принцип однород
ности геометрических формул. Ограничиваясь пока случаем, когда формула выражает связь между длинаыи нескольких отрезков (без участия площадей или объемов), мы приведем обычные высказывания по этому поводу, сознательно сохраняя некоторые редакционные не точности, которые будут затем исправлены (эта часть текста выделе
на ниже |
кавычками). |
|
|
|
|
|
|
||
"Не всякая алгебраическая формула допускает геометрическое |
|||||||||
истолкование, |
в котором буквы означают длины отрезков. Такое ис |
||||||||
толкование невозможно, например, для формул |
|
|
|
||||||
не удовлетворяющих требованию |
однородности". |
|
|
|
|||||
В такой редакции это утверждение неправильно. Первая из.фор |
|||||||||
мул (I) |
может, |
например, появиться в |
результате |
применения теоре |
|||||
мы Пифагора к прямоугольному |
треугольнику, в котором один |
из |
|||||||
катетов |
принят |
за |
эталон (следовательно, имеет |
длину, равную I ) , |
|||||
а другой катет и гипотенуза |
в |
э т о й |
с и с т е м е |
и з |
|||||
м е р е н и я |
имеют длинами |
соответственно |
а |
и а - Равным обра |
|||||
зом второе уравнение (I) дает |
некоторую кривую |
(четвертого |
поряд |
||||||
ка), если X и у |
означают декартовы |
координаты точки, т .е . |
снова |
||||||
длины (отвлекаясь |
от знаков) |
отрезков |
п р и |
о п р е д е л е н |
|||||
н о м |
в ы б о р е |
э т а л о н а |
д л и н ы |
(который состав |
ляет неотъемлемую составную часть декартовой системы координат; с примерами этого рода хорошо знаком читатель, например, он уже
встречался с уравнением = параболы, которое также неодно
родно именно в результате определенного выбора эталона). Совершен но так же могут быть геометрически истолкованы остальные формулы
( I ) , как имеющие место при специальном выборе |
эталона. Особые тре |
||||
бования к структуре |
формул появляются лишь в |
связи с тем, |
что |
||
э т а л о н |
п р е |
д п о л а г а е т с я |
н и к а к |
н е |
|
с п е ц и а л и з и р о в а н н ы м , т . е . |
остается совершенно |
произвольным. Однако в элементарной геометрии как раз это положе ние является обычным. В самом деле, при выводе, например, формулы
(2)
122
выражающей высоту треугольника через три его стороны, мы молча
ливо |
предполагаем, |
что |
а, 6, с , А. |
|
|
суть |
длины, |
полученные |
||||||
при измерении всех четырех отрезков одним и тем же, |
но |
|
п р о |
|||||||||||
и з в о л ь н ы м |
эталоном длины. Достаточно учесть это |
обсто |
||||||||||||
ятельство для того, чтобы заранее предвидеть |
такую структуру фор |
|||||||||||||
мулы (2 ), |
которая |
обеспечивает сохранение этой формулы при заме |
||||||||||||
не |
а , Ь , а , і і |
соответственно на |
А а , А б , л с |
, л к |
, |
|||||||||
где |
А>о |
(именно |
такая здмена происходит, когда от |
эталона |
||||||||||
/<Г/ |
переходят к эталону |
/ j / . |
. И |
действительно, если |
(2) имеет |
|||||||||
место в некоторой системе |
измерения, |
то |
равенство |
|
|
|
||||||||
|
|
AÂ- |
|
|
|
+А&С* |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 л а |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выполняется тождественно |
относительно |
|
А~?о |
|
- следствие |
того, |
||||||||
что |
обе части (2) |
однородны (первого измерения).. Практическое |
||||||||||||
значение принципа однородности состоит в том, |
что он |
позволяет |
||||||||||||
в некоторых случаях сразу обнаруживать ошибочность формулы, не |
||||||||||||||
вникая в способ ее |
вывода. Например, |
если кто-нибудь-утвервдает, |
||||||||||||
что |
он .получил формулу |
а ^ - 6 г +с3, |
|
где |
а, 6, с. |
|
-длины |
|||||||
отрезков, измеренные произвольным эталоном, то проверка путем |
||||||||||||||
изменения |
эталона легко |
обнаруживает |
ошибку: |
|
А^а2, - |
л і к г'ч- |
||||||||
+ AJс 3 |
или |
|
|
t А а 3 |
— |
|
равенство, |
несовмести |
||||||
мое с первоначальным при произвольном положительном |
А |
£ |
I , на |
|||||||||||
пример, равенства несовместимы |
при А |
= 2. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Точная формулировка принципа однородности и обоснование его |
|||||||||||||
потребовали бы пространных разъяснений. Ограничимся поэтому част |
ным, но важным случаем, когда длина некоторого отрезка задана как
явная функция длин других |
отрезков (ср . |
(2 )): |
|
|||
(3) |
X = j c a , b , c |
|
|
|
||
Начнем с определения понятия однородной функции: функция |
||||||
нескольких аргументов |
(переменных) называется |
о„д н о р о д - |
||||
н о й |
(измерения к |
) , |
если |
присоединение ко |
всем аргументам |
|
п р о и з в о л ь н о г о , |
но одного и |
того |
же множителя (боль |
|||
ше нуля) |
равносильно умножению функции на некоторую степень (с |
|||||
показателем к ) этого |
множителя |
|
|
|||
(4) |
J e A a , а 6, а с ,. .. J-- л 1-J с а , 6, С ' . . . ) |
123
тождественно относительно |
А , а, |
Ь ,о |
|
Например, |
функции |
||
&а*-аЧ+ J/63si |
ЗаЧс3 . |
|
af& |
|
/ а ч+Ьч'\ y a £ tj/s^^aJe^' |
||
'ПСт'п') ’ |
é È+C^ ’ |
||||||
суть однородные |
относительно |
аргументов |
й , 6, с, т , а |
|
|||
соответственно измерений 3; |
|
5; - |
I; 2 |
2 /3 . |
|
||
Теперь утверждаем;если |
в |
(3) |
х |
, а., |
Ь . с , .. . — |
длины отрез |
ков, |
измеренных произвольным, но одним и тем же |
эталоном, |
причем |
||||||||||
а , 6, а,.., |
- независимые переменные, то |
Функция J |
|
- однородная |
|||||||||
первого измерения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в (3) |
.г , а, |
6 , с |
.. |
- |
длины некоторых |
||||||||
отрезков, |
измеренные |
эталоном |
і З I. Перейдем |
к новому эталону |
|||||||||
/ - / , |
где А |
- |
произвольное |
положительное |
число; |
новые длины преж |
|||||||
них отрезков |
выразятся, числами |
А х , |
Ай., |
А б , |
|
АС , . . . |
|||||||
А так как зависимость между новыми длинами та же, |
что и между ста |
||||||||||||
рыми, |
то |
|
|
АХ = j ( A a , A b t а с ,... |
) . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя |
сюда л |
из (3 ), найдем |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
А} (а,Ь,с,...) = f |
Ш , л 6, А е ) , |
|
|
|
|
||||
т . е . |
тождество |
относительно а , 6, с , . . . , |
А?о |
(шюмним, |
что |
||||||||
<2, 6, с , |
••• |
независимы), выражающее, |
что у |
(положительно |
) одно |
||||||||
родная функция первого измерения. Читатель |
легко |
проверит доказан |
|||||||||||
ное предложение на примере (2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Замечание. На практике для .подсчета измерении |
оказываются |
полезными легко устанавливаемые правила, сходство которых с прави лами логарифмирования бросается в глаза: измерение произведения (однородных функций) равно сумме измерений, сомножителей; измерение корня равно измерению подкоренного выражения, деленному на пока затель корня, и'т .п . ([23] , стр. 55).
§ 5. Ь построении в пространстве
Во всех задачах на построение в пространстве предполагается, если нет особых указаний (см. ниже), что мы умеем
1)провести плоскость через три данные точки;
2)построить линию пересечения двух данных плоскостей и точку пересечения прямой и плоскости;
3)выполнить в произвольно данной в пространстве плоскости всь построения, известные нам из планиметрии.
124
Это предположение носит чисто условный характер, так как ыы не имеем никакой возможности осуществить практически эти операции. Однако в начертательной геометрии ыы имеем такой способ изображе ния пространственных фигур на плоскости, при котором только что перечисленные построения могут быть выполнены с помощью циркуля и линейки.
Те построения, которые должны быть выполнены, не пользуясь указанным выше предположением, ыы называем эффективными. ( fllj , ' стр. 83).
§ 6. Объем трапецоида
Задача. Доказать, что объем многогранника, ограниченного ка- ■ киыи-либо двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях, и треугольниками или трапециями, вершинами которых служат вершины этих многоугольников,равен
|
|
|
|
|
к |
(В + В' +ЧВ"), |
|
|
|
|
|
||
где |
к |
- |
расстояние между |
плоскостями данных многоугольников, |
|
||||||||
В |
и В 1 |
- их площади, |
В" - площадь сечения многогранника плоско |
||||||||||
стью, параллельной двум данным плоскостям и находящейся |
от |
них |
|
||||||||||
на равных расстояниях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Вывести отсюда объем усеченной пирамиды. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Указание. Разложить многогранник на пирамиды, имеющие общую |
||||||||||||
вершину |
в некоторой |
точке |
сечения |
&" |
( ВД- |
, |
стр. |
108, |
№587). |
||||
|
|
Решение, Пусть |
О |
- некоторая точка среднего |
сечения данного |
||||||||
|
|
|
|
|
|
грайяика (см. чертеж). Соедийив |
ее |
||||||
|
|
|
|
|
|
со всеми вершинами многогранника, по |
|||||||
|
|
|
|
|
|
лучим две |
цирамиды с |
вершиной О, |
осно |
||||
|
|
|
|
|
|
ваниями которых служат соответственно |
|||||||
|
|
|
|
|
|
грани |
ДВСД Е |
и |
XL И Я |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
многогранника (дальнейшие |
рассуждения |
||||||
|
|
|
|
|
|
не зависят от числа сторон оснований), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
и ряд треугольных пирамид с вершиной |
|||||||
|
|
|
|
|
|
в той же точке о , |
основания которых |
||||||
|
|
|
|
|
|
лежат в боковых гранях данного много |
|||||||
|
|
|
|
|
|
гранника |
(например, |
|
о х д в |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
боковая, грань - |
четырехугольник, |
|||||
то |
ей |
соответствуют две |
такие пирамиды (например, |
грани |
ВСЕХ |
|
125
соответствуют |
пирамиды Обе к |
и |
ОСLX |
и л и же пирамиды |
|||||
08CL И OBKL). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Объемы пирамид, |
имеющих своими основаниями верхнее основание |
||||||||
и нижнее |
основание многогранника, |
равны соответственно J А& |
|||||||
я J h&'. |
Объем какой-либо из боковых пирамид, например, объем |
||||||||
пирамиды |
OKt7 3 , |
можно найти |
следующим образом: тан как площадь |
||||||
треугольника |
ХДВ |
S |
= УУ |
, |
' |
то объем |
охав |
||
|
|
|
|
Л k AB |
л к P S |
’ |
|
|
|
вчетверо |
больше |
|
объема пирамиды OXPQ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
К « * 1 |
■ |
|
|
Сложение |
объемов |
всех |
боковых пирамид дает |
поэтому 4 |
к р )■ |
||||
Ьтсюда и |
получается общая формула |
|
|
|
|
Ѵ - ^ к с в + в ' + Н В * )
для объема данного многогранника.
Частным случаем многогранников рассматриваемого вида является
усеченная пирамида. Если обозначить черезх расстояние от плоскости
ее верхнего основания до, общей точки пересечения всех продолженных
"(Зоновых ребер, то будем |
иметь |
|
|
J |
Х : ( Х + ~ ) |
■(Х+к) |
- / 3 ■/ 3 ' ■/ в |
или |
|
|
|
|
С/З + /В ') |
■/ В 7 = |
С£х*А): ( x + ^ |
|
|
|
4 |
откуда |
|
|
|
Подставляя в правую часть общей формулы вместо УВ цы и получим обычное выражение
v = j a ( ß i ß ' + f ë s 1)
для объема усеченной пирамиды.
Замечание I . Интересно отметить, что доказанная общая формула объема верна для всех тел, рассматриваемых в школьной математике (не только для призмы, пирамиды, но и для цилиндра, конуса и шара).
Замечание 2 . Вообще верна формула Кеплера - Симпсона;
126
Пусть для тела, имеющего |
объем, площадь S = S сх) |
|
||||
его поперечного сечения, перпендикулярного к оси |
Ох., |
изменяется |
||||
по квадратичному |
(или даже кубическому) закону |
|
|
|||
|
S(x.)= Я х& + ßx+C |
( а ^ х ^ Ь ) |
|
|
||
(или |
SCx) =оСх3 +ß x & +%х +<$), |
|
|
|||
где Я, в, С |
(d,/b, jf, â ) |
- постоянные числа. |
|
|
||
Тогда объем этого |
тела |
равен |
ѵ |
|
|
|
|
ISCO+J/-S |
+ SC&)J, |
|
|
||
где H - è - a - |
|
|
|
|
|
|
Если |
Sex) |
не является многочленом третьей |
степени, то фор |
мула для объема уже не точна, но известно, что' для довольно обшир
ного множества |
функций ошибка при использовании формулы Кеплера- |
|||||||||||||||
Симпсона будет невелика. Например, с помощью выведенной формулы |
||||||||||||||||
площадь круга получается быстрее ( т . е . |
быстрее |
достигается |
задан |
|||||||||||||
ная |
точность), |
чем с |
помощью традиционного |
удвоения числа сторон |
||||||||||||
правильного |
вписанного многоугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
§ 7. Стереографическая проекция |
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть дана плоскость об |
и касающаяся ее |
в |
точке S поверхность |
||||||||||||
шара |
ft. |
Пусть ZfS |
- |
диаметр шара. Установим |
соответствие |
между |
||||||||||
точкаыи сферы ft |
и точками плоскости об |
так: из |
конца диаметра |
Я |
||||||||||||
проводим луч, пересекающий, сферу ft |
в точке Я , |
естественно |
не |
совпа |
||||||||||||
дающей с |
точкой N- |
Этот луч пересечет |
плоскость об в точке |
ß. |
Мы |
|||||||||||
говорим, |
что |
точки |
я |
и в |
соответствуют друг другу |
в стереографи |
||||||||||
ческой проекции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Основное свойство стереографической проекции: всякая окруж |
|||||||||||||||
ность или прямая плоскости об |
переходит |
в окружность |
сферы |
ft |
и |
|||||||||||
обратно |
(без |
доказательства).. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Второе |
свойство |
(применяется |
при вычерчивании |
географических |
|||||||||||
карт): стереографическая |
проекция сохраняет углы (точнее, величины |
|||||||||||||||
углов). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассуждение. Рассмотрим |
две кривые на сфере ft, |
пересекающие |
|||||||||||||
ся в какой-либо |
точке М |
, и |
пусть |
касательные |
к этим |
кривым в |
|
|||||||||
этой |
точке образуют угол |
if . |
Покажем, |
что касательные |
к стереогра |
фическим преакциям этих'кривых в точке М' (М'еы), являющейся проек цией точки И , также образуют угол с/> , тГе. что величины углов
12?
при стереографической проекции сохраняются. Для этого заметим |
|
сначала, что когда секущая к кривой стремится к совпадению |
с |
касательной к этой кривой, то проекция секущей стремится к совпа дению с проекцией и в то же время стремится к совпадению с каса
тельной к проекции,-кривой. Отсюда следует, что проекция касатель ной к сферической крвой есть касательная к проекции этой кривой.
Продолжим теперь касательные к сферическим кривым до пересечения
в точках й |
и ß |
с касательной плоскостью ß к сфере |
в точке Я. |
||||||
Очевидно, что треугольник |
йЯВ |
равен треугольнику |
йМВ , |
, |
так |
||||
как сторона |
й В- |
общая для |
этих |
треугольников, |
Iм |
/ |
ІЙМІ |
|
|
как длины касательных к сфере, |
проведенные из |
одной и |
той же |
точки, |
|||||
и /В Я / = ІВМІ |
по гой же причине. *Ноэтому |
йЯВ |
= е м В -if ■ |
||||||
Но касательные к проекциям кривых параллельны прямым йЯ |
и |
В Я , |
так как эти касательные по предыдущему являются прямыми пересече
ния плоскостей Я й м |
и ЯВМ |
с |
плоскостью проекций. Сле |
|
довательно, угол между ними равен |
ЙЯВ |
= i f , |
что и требовалось |
|
доказать. |
|
|
|
|
§ 8 . Вычисление |
площадей |
(история проблемы) |
||
Уже в Древнем Египте |
точно вычисляли площадь |
прямоугольников, |
треугольников, трапеций. Для выпуклых четырехугольников применяли
формулу |
площади 3 |
в таком |
виде |
|
||
|
|
|
|
. a t e |
6 +d |
|
где |
|
d |
- |
длины последовательных сторон (для сравнения при |
||
ведем точную формулу |
|
|
||||
|
3 = jj ^fcSm n t a e,t a &-l>s- - d e')(B m n .-ae'-c ü + l>Èt d £) , |
|||||
где |
т , п |
- длины диагоналей |
четырехугольника). |
|
||
|
Задача. Интересно выяснить для каких фигур формула египтян |
|||||
I) |
точна; 2) |
ошибка невелика; 3) может ли ошибка быть сколь угодно |
||||
|
|
|
|
|
Самое интересное, |
пожалуй, было |
|
|
|
|
|
вычисление площади круга по форъ |
|
|
|
|
|
|
муле |
о |
|
|
|
|
|
S - ( I о |
■ |
|
|
|
|
|
где d - диаметр круга. Эта фор |
мула дает значение знаменитого числа# с ошибкой, не превышаю щей 1 %.
128
Есть предположение, что египтяне рассуждали так: пусть а&сд-
квадрат, описанный около круга диаметра d . Около каждой вершины квадрата построим квадрат со стороной 1/6 <±, Тогда площадь фигу-
ры без этих четырех квадратов будет
' - / И * '
Затем, |
около |
каждого малого |
квадрата строим по два квадрата |
со |
||
стороной h d |
|
(на рисунке |
эти восемь квадратов |
отмечены бкувой |
||
и ) . |
Площадь |
ступенчатой |
фигуры после второго |
выбрасывания |
(уже |
|
квадратов ы. |
) |
будет |
|
|
|
В древнем |
Вавилоне вместо" числа Я- употребляли |
число |
3. |
||
Геометрию |
значительно усовершенствовали |
древние |
греки, |
||
В школе Пифагора считали, что |
’’весь мир в целом является гар |
||||
монией и числом". Имеется в виду натуральное число, а если вели |
|||||
чина не выражалась таким числом, |
то ее изучала уже не'арифметика, |
||||
а геометрическая алгебра. Греки поставили (и пытались разрешить) |
|||||
задачи, связанные с построением |
с помощью циркуля и линейки без |
||||
делений. Т акони, пытались разрешить задачу о квадратуре |
круга, |
||||
т .е . задачу |
о возможности с помощью названных инструментов постро |
||||
ить квадрат, |
|
равновеликий данному кругу. Были попытки свести зада |
|||
чу 'к' другой |
задаче (луночки Гиппократа, с которыми разобрались |
||||
окончательно |
в 30-40 годы нашего |
столетия). Были и спекулятивные |
рассуждения, подобные следующему (Антифон): "Любому многоугольнику соответствует равновеликий ему квадрат; следовательно, кругу - многоугольнику с бесконечным числом сторон - тоже соответствует равновеликий ему квадрат". Но такого рода рассуждения раскритико вал тогда же Аристотель.
Одним из высших принципов, провозглашенных в геометрии Евдоксом,
был принцип исчерпывания. Лемма: "если даны две |
неравные величины |
|
и из большей вычитается часть, большая половины; |
а из остатка - |
|
снова часть, большая половины, и это повторяется |
постоянно, |
то |
когда-нибудь останется величина, которая меньше, |
чем меньшая из |
|
данных величин" (эта лемма основана на аксиоме Архимеда |
множе |
|
ства R ) , |
|
|
129