книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

3)

Выделение

нулей.фущщии, т .е . х е Х в = { х : у=о}

■

4)

Выделение

полюсов функции, т . е . , тех

значений

х ,

прі

которое

пришлось бы делить на нуль: ясно, что

такие х ^ Х ,

но поведение функции вблизи этих точек часто

приходится

иссле­

довать.

5)

Проверка на четность, если X симметрично, т .е .

Х = { х : / х Ы £ , ( еЩ ) .

Разъяснения

I) Функция считается заданной, если задана область определе­

ния (множество X

) .

Что же в таком случае

уточнять? Ведь, например,

все табличные функции заданы с указанием множества X .

Но на прак­

тике

часто

образуют

сложную функцию без

указания нового множества

X

і

Даже

требуют

решить не совсем корректно сформулированную

задачу: найти

область

определения (множество X )

для функции

у

/ ------------------------- >

Ответ: Х

=

ft

О

;

X е R .

^ y ü x j ^ t e j x .

{ х : Ы 4 х - с к Я +j .

кб £ }

(Проверьте).

Записать множествоX

можно более

просто и

привычно,

используя

обозначения и названия:

если

х е Х

удовлетворяет

неравенствам

а ^ х ^

6,

то

пишут

х е

[о.,Ы

и говорят’’X

принадлежит

отрезку-или сег­

менту ' [ а,£>1 ” ;

если

х е Х

удовлетворяет неравенствам

а ^ х - і ѣ ,

то

пишут

х е (а-;6)

.

и

говорят ”х

принадлежит интервалу a , è ”.

В случае,

если

а < х е Ь

или

a * x - c h ,

то

говорят

-XX

принадлежит полуинтервалу" и пишут

х е

( а ; 6]

или х е га; 6)

соответственно.

Замечание.Избегайте вместо

а е Ц

или 6е £

употреблять сим­

волы ”

" или

"

+ &=>

".

Лучше заменить

запись в виде интер—

валов,

отрезков

записью в

виде

неравенств.

2)

Для зашей, множеств Y_

, Y 0

, Y +

употребляют те же

сим­

волы, что и для записи множества X .

3) Более привычно название-корни функции. Обратите внимание -

корни (нули) могут быть совпадающими. Тогда удобно говорить

о

кратных корнях. Например,

функция

. у - (х -3 )2

имеет

корнем

число

3 , его

кратность

-

два.

;

4 ) П

р

имеют полюсы при

х

I

=

0:

х . =

I:

х .

= 2

и

х

и

= 4. Эти значе-

Ü

л

) дан­

ния, конечно, не входят в области определения

(множествах

ных функций.

5)

Определение.Функция j {

x

)

называется четной, если

равен­

ство

J { - х )

= у

( X

)

верно

для всех

х е

(-£,+£)■

Функция

if(x)

называется нечетной,

если

равенство

=

верно

для всех

х е ( - ( ,

+£).

Подчеркнем два факта: во-первых, X

может

быть и несимметрич­

ным,

значит,

существуют функции,

для которых вопрос о четности

смысла не имеет. Во-вторых, не

толькоX

должно

быть симметричным,

венно

выполняться н а Х .

6) Определение. Функция j ( x )

называется пери, цческой

на

X

,

если

существует

хотя

бы

одно

число Т фо ,

T e R

такое,' что

уравнения

j c x + T)

= f(X ),

f ( x - T ) = j ( x )

выполняются тождествен- -

но для

всех ( х + Т ) е Х

,

всех

( х - Т ) е Х

и всех

х е Х .

Число Г

не

зависит

от „с. Например, функция

у = х - [ х ]

имеет

периодом любое целое число. Действительно,

если

]с е

2

І с ^ х - с і - г і

и

п £ % ,

п ^ х + Т ^ п + { ,

то из

тождества

Сх + Т ) - І х + Т ]

=

X - [ X ]

получаем

Т = я - і ,

где

ne %

, } е %

по

определению [х],

значит, (п-Ъ) е

1

_

тоже.

Наименьший положительный период есть единица.

7)

Определение. Функция

j ( X )

называется монотонной

на не­

котором участке

(отрезке,

интервале),

если

для любых .г,

и

х &

из., этого участка из

условия

х

< Х Р

вытекает неравенство

-fCXg)

( или

j c x ^ ^ j c x ^ ) .

Тогда функ­

вытекает строгое неравенство j cxt ) < /Г-Г^)

(или

убг;)>

? } ( х ^ )) , то функция называется строго монотонной (в

первом случае

обратную функцию.

Иногда участки

монотонности ‘функции отделяются друг от дру­

га точками (числамих ) , в которых

скорость изменения функции

равна нулю(точнее,

точками экстремума).

8) Определение.

Функция у ( х

) называется выпуклой (к на -

некотором отрезке, если

для любых точек jr

этого

отрезка

верно неравенство

Функция будет

вогнутой,

если знак неравенства заменить

на

об­

ратный.

Участки выпуклости и вогнутости отделяются друг от друга на

кривой

точками перегиба.

Следует

обратить внимание на условность

этих понятий,

их

Определение I . Функция непрерывна на отрезке

(интервале),

если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).

Определение

2. Функция у ( х

) непрерывна в точке х0е Х ,

если даю любого

числа £ > о

найдется число â>o

такое, что

для всех х е З С ,

для

которых верно

неравенство

i x - x 0j < â ,

будет верно неравенство

I j c x ) - J(xo)j< £ -

Здесь

6 e R

, ö e И

, jCx)e Y

, } ( x 0) e Y .

Иногда пишут

/tm

Jrx) =J-(x0),

'Основная т е о т Л з т и ч е с к а я

задача:

по заданному

£>о

найти

Пример.

Найти

â y o

по

£ >о

для j ( x )

= х 2

в точке je =с

.

Пусть искомое

число

â< I ,

тогда

j x 2-ez l = ! (Х -С)(Х + С)І =ІХ-СІ-ІХі-СІ =

d x -d -K x -cH -B cU /х-е/- (Ix-citäici) 4

^ â ( â +£,№!)<.ö (!+g,ld)-i£ .

Итак,

6 <

I

т .е .

п &ісі,

{ + 2 lei

с

&

д=тіЛ(1' і Ш

і ) -

Конкретно,

пусть

= 2 ,

25, тогда â = I; при

£ -

^EO“3

будем

иметь â

= 2 .1 0 ~ f

при с

2.

Отметим важный факт, связанный

с

табличными функциями: толь­

ко числовые последовательности

, y = s ^ n x ,

y-=£rj

ные функции непрерывны (даже

непрерывна для

всех хфо,

а х

= 0

в область определения данной функции

не входит. Подобно

этому

функция

y =

непрерывна).

10)

Определение

экстремума

(максимума или минимума, т .е .

крайнего

наибольшего и наименьшего

значения).

Функция j ( x )

имеет

в точке х д

экстремум (максимум или минимум), если

эту

точку можно поместить в середине интервала

Cx0- â , х 0+<5) е

X

'

6> 0

так, что для всех л: из

этого интервала

выполняется неравенство

j ( x ) ^ j ( x a')

{ максимум],

или

у (X) > -f(x0)

{ минимумj .

Итак, в определении экстремума подразумевается, во-первых,

что

существует

такое

число

ö y o ;

и во-вторых, что интервал

( x o - â

, х 0 f â

)

полностью

содержится

в X ,

т .е .

точки

X

есть

справа и слева от

точки х 0.

Иногда точки

экстремума

бывают

концами участков монотонности.

Верно утверждение: если в точке

экстремума можно

найти

ско­

рость

изменения

функции,

то она,

эта

скорость, равна нулю непре­

менно. .Обратное утверждение неверно.

В отличие от экстремумов выделяют еще крайние (наибольшее

или наименьшее)

значения функции на отрезке. Дело

в том, что функ­

ция, • заданная на

отрезке,

может принимать крайнее

значение

на кон­

це

отрезка, и это

крайнее

значение

может

оказаться больше наиболь-

функции

у =J c x )

на отрезке

/ х

; x t k ]

называется

дробь

t ( x + A ) - J ( x )

—

Т

Обозначение

і>- £ л ;

л* А]

или

і£ср .

Так для функций

tf'

= Ь х

і

= X*

;

Я3 - £ 3 -,

уу -

Ух будут

следующие функции

на

отрезке л

[ л - . л + А ]

:

<г

-S;

О* - В х + А )

О,

^Зх^+Зхі+А*;

*

Юр

&ер

Зср

V

г -------------

'

1 е/>-

X(XtA)

Определение

2 .

Скоростью изменения функции

(или мгновенной

скоростью изыенения) в точкех называется

(ітп

J (X f A ) - J C x )

или

Aim

% 7

7 Г ~

А~о

А~о

если

этот

предел существует. Обозначение

Ѵ(х).

Итак,

0 (Л ) = lim

#

=

lim

k~o

eP

h~o

&

Так,

для вышеприведенных функций иыееы 0’(л)=51

&(л)=8л

о

i

1

; 0-3 Сл)=5л&

0^£Xj--jj-.

В высшей математике

(Нх)

называют производной функции

t/=j£x)

в

точке

X.

о-[л; х+А ] -

Геометрический смысл средней

скорости

это

тангенс

угла наклона к оси О х

прямой,

проходящей,

через

точки

с координатами (л ; } ( Х )

)

и

(л+А

; /

(Л+А))-

Геометрический смысл

о-(л)

-

это

тангенс

угла наклона к оси Л с,

касательной

к кривой

і] =J ( x )

в точке

х .

Отметим без доказательства, что если функция имеет скорость

изыенения в данной точке

х ,

то

она непрерывна в данной точке.

.Обратное утверядение неверно. Например, функция

у - / х /

непрерывна в точке х

= 0, но не

имеет

скорости изыенения в

этой

нии

2 .

'

Ещё отметим, что скорость изменения элементарной функции ѳст£>

также

элементарная функция.

Наконец, отметим, что здесь написан предел функции, понятие

более сложное, чем предел числовой последовательности (см. стр.

91

,

а также определение 2 на стр. І І 8 ) .

Г л а в а

У

I

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ

§

I . Предел монотонной

ограниченной последовательности

Определение

I .

Числовая

последовательность

( а п )

называется

ограниченной,

если существует

число Я

такое, что Іая і-<М

при любом п £-М.

(ап )

Определение

2 .Числовая последовательность

будет моно­

тонной

(возрастающей),

если

при любых п е К и

(п+1) е И

верно

неравенство

°п *

аті ■

ТЕОРЕМА. Монотонно возрастающая ограниченная последователь­

ность

(ап )

имеет

предел .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,

Будем

считать,

что каждое

число

М ',

Q, ;

. можно записать

в виде

бесконечной

десятичной

дроби.

Тогда имеем таблицу

/V - й , 2

і> с d с

. .

Р,

9, П

■

%

=

■>Ре. -%

s£ ^

••

•

аз

йз

’ Рз /%

q

^

■■ ■

%

Q,

-в.

»

а

г л

'S, і .

, Р.

к

к

' rt

~к

к

к к

Здесь

Я ,

Я, , в& . ■, fl;,

-

целые

числа,

p. q . , л ,s . , tc

-

десятичные цифры от 0 до

9,

а, Ь,

с, d , e -

тоже

Строим

число

Числа

я

д п, ^ nä

п3 д . . .

существуют,

ибо,

во-первых,

а п *

„

тгеЯ,

отсюда

Я-Я ez é

яз

~

■■ -

йк 4

во-вторых,- любое Дп

д д.

Значит,

найдется

в нашей таблице

строка

с

номером п0 такая,

что

начиная

с

нее

в строках

я,*/,

nBt& , . . .

и т .д .

.

наибольшее

целое

число

/?Л

будет

неиз­

менным. Обозначим его через В.

Итак,

начиная со

строки

я„ .

в на­

шей таблице

до

запятой

стоит

целое

число

В.

Со строки

я0

и

далее смотрим за первой десятичной цифрой рг

Если

х

-

наибольшая

цифра, появившаяся впервые в строке с номером

я, -? п 0 ,

,то

она сохранится

в дальнейшем,

ибо

ая

.

Кроме того,

ясно,что

число

Вt X * Д , а.

Продолжая рассуждения для

столбцов Ц

г

- >

мы и получим число

Я - В , Xу Z UD-. . .

. Число ИГ

является

пределом

последовательности

(ая ).

В самом деле,

пусть

выбрано число

£ уЮ~т,

тогда для всех

пу пт

целая часть и

первые т

цифр после'занятой

в числах

ап

и Я

будут совпадать между

собой,

так что

разность

/ап - Я /

не может превышать 10" Т

Так как это можно сделать для любого

£ у о

с

помощью выбора

достаточно

большого

т ,

то

теорема доказана

(

[ I]) .

Число Я

ввиду своей важности получило в математике

название

точной

верхней

грани.

Например, длина данной окружности есть точнця верхняя грань

периметров

выпуклых многоугольников,

каждый из

которых вписан

в .

данную окружность.

так, как это сделано

в школе.

Отправляясь

от правильного

треу­

гольника, вписанного

в данную

окружность,

будем'удваивать

на

каждом шаге число сторон (т .е . получим правильный шестиуголь­

ник, двенадцатиугольник,...,

вообще 3 .2 71

- угольник) и

подсчи­

тывать периметры получившихся многоугольников.

ЛЕММА I . Если выпуклый многоугольник

Pf содержится в выпук­

лом многоугольнике Р£ , то периыетр

не

превосходит периметра

Доказательство этих фактов есть в любом школьном учебнике, и

мы его

опускаем.

(Далее

см.

[30]

) .

Определение I . Пусть р

и

/ >- в п и с а н н ы е

в

окружность

С

многоугольники. Будем

говорить,

что jD

лучше Pt

,

если

все

вершины Р:

являются вершинами Р&

(обозначение

Р, 4

Р&).

В частности,

Р 4 Р

,

и если

р 4

Р£

и

то р

и Р^

совпадают.

Ясно,

что

отношение

4

(лучше) определено

не для всех

многоугольников,

вписанных в с

Определение 2. Последовательность многоугольников ( Ps ) ,

вписанных в С,

называется монотонной, если для любых

к е N ,

fe Ы

и

t

верно

отношение

4 Р£

ЛЕММА 2 . Для любой монотонной последовательности^) .вписан­

ных в данную окружность

С,

последовательность их

периметров имеет

предел*

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как каждый многоугольник

Ps

вписан

в

окружность

С

радиуса j?

,

то

соответствующий

периметр

ps

ограни­

чен,

например,

периметром

квадрата,

описанного около

С,

т .е .

р

Кроме того,

что любых

ке J\f

, ? еІ Г

и

имеем

Рк

4

Pt

и, значит,

pt і

р£ .

Одним словом, последо­

вательность

периметрюв

(ps j

в данном случае монотонна и ограни­

чена. По теореме

об ограниченной монотонной

последовательности

можно утверждать,

что

существует

к т

р

Обозначим

его

п-~оо ог- •

буквой р.

Пусть

а

-

длина наибольшей из сторон многоугольника

,

вписанного

в данную окружность с.

Пусть

6Л

-расстояние

от центра

окружности С

до

стороны,

имеющей длину

.

ЛЕША 3 . Пусть в окружности С вписаны многоугольники

Р

так,

что они

образуют монотонную последовательность и

кт. а =о

„

л-

Пусть

рл

обозначает

периметр соответствующего многоугольника

Q

и

km^ ра = р.

Тогда существует

последовательность

выпуклых

описанных

около С

многоугольников

(обозначим каждый многоуголь­

ник через

Qn t

его

периметр - через <j

)

такая, что

lim

% - Р-

я —“=

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть многоугольник Рп вписан в окружность

С

радиуса R. Построим многоугольник

За

,

гомотетичный много ■=■

угольнику Рл

с

центром гомотетии

в

точке. О - центре окружности С

и коэффициентом гомотетии

(Ясно,

что

к > 1 ,

. ибо

всегда). Полученный многоуголь­

ник

содержит окружность С и имеет

с

ней хотя бы одну точку

(ибо &

-

наименьшее из расстояний от центра 0 до сторон много­

угольника

Рп ,

а

наименьшим из

расстояний до сторон 3

будет £ \

Пусть

-

периметр многоугольника Зѣ .

Т0Рла

4 . Ä

.

A

4

'

-

Чтобы построить многоугольник

Ö

проведем для всех

сторон

многоугольника

S

прямые,

параллельные

сторонам и касающиеся

данной

окружности С.

По лемме

I

имеем

Рп ^ Яп~

или

9п

^ é n

— ^

■