книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfПри анализу переходных процессов практический интерес представляют случаи:
-совпадения частоты источника и частоты свободных колебаний (резонанс): uü~i0o'
-небольшой расстройки частоты источника относитель
но частоты свободных колебаний: cü = u)0±&u)
- значительного превышения частоты свободных коле-
ОШІІИ: Сі?г< cûa •
- .значительного проришенин частоты источника:
и)» и>0.
.iJacuM'.iTj.,i>j кн.ѵ.диа из m i . случаев в отдельности.
Первой случаи iJ-и)0
В случае резонансного воздействия иыаіст место соотн шения:
_d
Принимая so' внимание, чти отношениеwcr^Oi представ ляет собой добротпостъ контора, получаем:
§i
Uc^EQ.{i-e' )sln{U)Dt * f ) t (1.72)
•70
71
Вынужденная и собственная составляющие, изменяются но синусоидальному закону с одинаковой частотой, но сво бодная .оставляющая имеет противоположную разу и убываю
щую, пи экспоненциальному закону амплитуду. Начальная ам . плитуда свободной составляющей от начальной фазы г.д.с. источ/'ика не зависит.
Б результате сложения вынужденной и свободной сос тавляющих амплитуда колебаний ь- переходный период воз растает от нудя до амплитуды вынужденных колебаний по экспоііеншаяыіому закону.
Ньрас. І.4Ь,а изображенная составляющая тока (а), свободная составляющая (б) и их сумма. Начальная фаза
ш на рисунке принята равной нулю, парис. І.4Ь,г изобра жай напряжение; на емкости.
Для характеристики скорости нарастания амплитуды вводят понятие постоянной времени контура и времени уст новления колебаний.
Постоянной времени'Контура Т называется время, за которое амплитуда свободны:, колебаний уменьшается в в
Раза |
^іі |
|
_с |
п -S-T ' |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
$Т |
- |
I |
|
И |
L - £ |
- |
Г |
• |
Под временем переходного процесса (временем установ ления) условились понимать время, за которое амплитуда достигает 90% амплитуды установившихся колебаний.
ç . a i , - « - " « > = E . a ( і - и |
K ^ - f - f , ^ |
ер-ІСО.
К'олебанил устанавливаются тем быстрее, чем іыже |
добт- |
||
ротность контура. Выключение источника синусоидальной |
|
||
ь.д.с. |
в= [mC0S(uot |
t f ) из последовательного контура |
|
(при этом |
считают, что |
цепь к.онѵура не рвется) можно |
тра |
. кровать как вллючѳ"ие второго, точно такого же источника,
нос противоположной фа-юл в -- .С st lUàt |
|
«цО.Включениѳ |
|||
второго источника |
вызывает |
в контуре |
|
пеірилодный процесс: |
|
uc =-Em |
|
- |
|
(u)J-у), |
|
Ô ( / - е |
* * Ism |
||||
i~--±f-ti-e' |
)cos(u)Bt |
|
|
||
Попринципу наложения для линейны/ |
электрических |
||||
цепей оба колебания в контуре |
сложатся. Пршіеы момент |
||||
включения второго источника ti |
за новое начало отсчета |
||||
времени. Тогда для t > t |
|
будем |
иметь: |
||
і ^ ^ { і - е |
Jc o «[4 ( t • *,Ьр] - |
|
( і - |
||
+ l|/ J= £-.(y-«-^)e"^cos[4(éf^)^]. |
C1'76) |
||||
и с = Е г а а ( У - ^ " Л ' ) г " ^ 5 ^ [ а ; 0 ( е + ^ ) + ( р | С 1.77)
Полученный результат свидетельствует о том, что ха рактер колебаний после включения источника э.д.с. не за висит от выбора момента выключения. Ток и напряжение про должают изменяться по тому же синусоидальному закоку, по которому они изменялі.сь до моы-знта выключения э.д.с, но амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному за кону.
Если время выключения э.д.с. іі больше времени уста новления t „
і |
пер ) |
s |
|
|
то формулы (1.76) и (1.77) примут вид: |
, |
(1.78) |
||
L=z-±a-e |
cosfait + t^+y] |
|
||
Л |
|
|
|
|
uc = Em Qe.~^s:n[cû0(tHt)^}, |
|
|
(1.79) |
|
По формуле (1.7.)) на рис. ІЛбизобрази график нгппяжения на емкости теле выключения источника э.д.с.
Пользуясь формулами а.72), (1.73)» и (1 . 76), (1 . 77), можно найти реакцию колео~тельного контура на воздействие
73
источника прямоугольных радиоимпульсов напряжения. Нача ло действия прямоугольного радиоимпульса напряжение с
длительностью £ |
можно трактовать как включение сину |
|
соидальной b.a.G,e, |
= Emco$(cût+fh |
момент t = 0, а |
окончание импульса как включение синусоидальной э.д.с
£ ~-Е (и)і + ш) в момент t - £ |
(рис. 1.47). |
Рис.1.46.
Il
Рис.1.47.
При включения синусоидальной І>.Д.С. С амплитуда лоле- ОЗКИІІ в KCHïype нарастает по экспоненциальному з'лкону (1.72) и (1.73) (рис. 1.Ь4,г).
74
При включении синусоидальной э.д.с. |
ег |
амплитуда |
убывает по экспоненциальному закону |
(1.76) и (1.77) |
|
(рис. 1.46). |
|
|
Рис. 1.48.
На рис. 1.46, а изображен воздействующий прямоуголь ный радиоимпульс напряжения, апа рисунках 1.48,6 и 1.48,в показаны радиоимпульоы напряжения на конденсаторе контура при двух разных добротностнх. Сравнение рисунков 1.48,6 и 1.48,в покаі-ываѳт, что искаженна і^рмы прямоугольных радиоимпульсов колебательным контуром тем меньше, чем шире пропускания контура.
75
76
Второй случай ùû = tJ0+ûu) |
|
(u)-U)0~ù.-(0) |
|
При небольшой |
расстройке да? |
можно приблизительно |
|
считать, что Мг-~1. |
Тогда выражения (1.70) и (1.71) |
||
принимают вид: |
* |
^ |
|
LLc = ~£\sLn(u)t |
+у -<f)e~ |
5Іп(а)01+у-}?Ц. |
(I..81) |
|
Вынужденная составляющая имеет постоянную амплитуду |
и |
|||
частоту колебаний источника э.д.с. и) |
(рис. ІЛ9,а). |
|||
Свободная |
составляющая имеет.экспоненциально убываю |
|||
щую амплитуду и частоту |
свободных колебаний (рис. |
1.49,6). |
||
Колебание в контуре в переходные период является результа том сложения (биений) этих двух колебаний. В первый мо
мент фазы обоих противоположны, что дает нулев-ую ампли |
|||||
туду переходных колебаний. Так ѵлти частоты колебаний раз |
|||||
личны: |
Cûs[((JB+&o)i |
f Г - У] |
, |
-G~âicos(<Oet + Y - Г) , |
|
то будет происходить непрерывный набет1 разности фаз |
|||||
и чѳчез некоторое время t{ |
, за которое произойдет набег |
||||
фаз, равный П, обь колебания будут в фазе. Определим это |
|||||
время i t |
: |
à cjt, |
= <?5f&f t, |
= |
%, |
|
z<~ùf |
f-f, |
і-т |
Y |
суммарная |
амплитуда колебаний в этот момент'времени |
|||
будет раляа т |
і -Em/, |
|
„Si-л |
|
Через время t = Zi4 |
набег фаг будет равен 2 Î ~ ^ынужден- |
|||
ныа и свободные колебания скова будут в противофазе и их
амплитуда будет равна . |
/ |
^ . |
Через время t -5l1 колебания |
снова будут в фазе и т.д. |
|
Приведенные рассучсденгч прончлюстрированы графиком |
||
рис. ІЛЦв. График построен слѴдуюшим образом. ha уровиях |
||
+ I и - I проведены горизонтальные |
прямые |
ЛІ*ЗИИ, соответ- |
стіущие амплитуде вынужденных колебаеий. Сверху и :низу этих прямых, как оком ОСИ времени, проведены кривые ли-
77
Й Й И экспон. Hi + ;.' |
и - г. , соответствующие |
амплитуде |
свободных колео-.ний, В моменты времени t = t i t |
l t i } . . , |
|
оиьния имеют суммарные амплитуды. В этих точках орди наты прямых и экспонент складнь&іыся, ооразуя точки
йу- В моменты времени /=0,2 tt |
н tt)... биения имеют |
||
разностные амплитуды. Ь этих тешках ординаты |
прямых |
||
и экспонент вычитаются, |
образу л точки О^и, а. |
., да- |
|
лав полученные точки 0) |
а і } û ^ û |
соединяются плавной |
|
пунктирной кълвой, являющееся огибающей кривой биений. Ьта кричал осциллирует около примой линии, постепенно приближаясь :і цОЙ.
Оплошной линией изображено высокочастотное заполнение биений.
• TîtKOb построение, конечно, дает только приближенное представление о форме огибающей кривой.
Получим аналитическое выражение огибающее.
Для этого переходный ток представим в следующее
' |
7 |
|
|
- 4 U |
[cos (ti)J+y- |
(f)coiuu)t. |
- Unlust* y - с?Ыпди)£ -в cos((jù0t+ |
hlp-<f)j= ^p[(co$ùu)t-è~ |
koilu>0tH[j-i?)-tiiiaoûtWu^+f-ifjj |
||
T |
|
|
|
Обозначим;^
Разделив второе уравнение на первое, найдем: -
у"*- ~ cosùut -a-st '
Возведя оба уравнение в квадрат и сложив их,полу чим:
Й=исоійо)і-е |
)+sin ьи)і-we |
~яе co$uu)t.( і . зз) |
Выразим ток через Л к «(..
•m
~E
?8
По формуле |
(1.83) можно |
точно построить огибающую |
|||
кривую. Величина A |
( I . R |
2 ) |
является функнийй времени. |
||
Это означает, что периоды суммарных колебаний различны. |
|||||
При і—~ |
е~ ^O^afictylyutâhaWt |
и кгло^ачйп |
|||
становятся состоящими |
только из вынужденной состав •нющѳй: |
||||
(_--£&- |
cos(cot+ip- |
|
|
|
|
Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям в пер |
|||||
вом случае (иЗ = ^о), |
легко убедиться в том, что после вы |
||||
ключения синусоидальной |
э.д.с. в контуре возникают колеба |
||||
ния с частотой свободных колебаний СОа |
и с убывающей |
||||
по экспоненциальному закону амплитудой: |
|
||||
• L=-&P-€~**cos(uJ,t +у- |
< f j , |
(1.85) |
|||
ut = £-ëStsin(tû0t |
+ y-4). |
(1.86) |
|||
Пользуясь формулами (1.81) и (1 . 86), нетрудно опре |
|||||
делить реакцию контура на воздействие нерезонансного пря-' моугольного радиоимпульса напряжения (рис. 1.50),
Переедем к рассмотрению случаевсоки^ u-lo^^o. Свободные составляющие тока к напряжения выражений
(1.79) и (І.7І) содержат слагаемые с множителями:
Рис,Іо50в
Это означает, что ла^актор переходных проиѳ^сов существенно зависит эт фазы включения ичто воз-, мокнг возникновение .таких юков и напряжений, которые
.иигут быть значительно больше токоь и напряжений з уста
новившемся режиме. |
79 |