книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfПример 1
Конденсатор контура С =0,02 мкФ, имеющего критичес
кое активное |
сопротивление Г• = 2J) ="1000 Ом, |
заряжен |
до напряжения £" = 1000 В. Требуется определить: |
|
|
- время |
достижения током максимального значения, |
|
-соотношение энергий в емкости и индуктивности к этому моменту,
-энергию, рассеянную в кснтурѳ.за отрезок времени^.
Решение.
1 . |
ч~S" ~ г >, . |
|
||
|
-z^-^0-01-"0 |
<l7 |
-jOfifiC- |
|
|
t.1 -^tр- z |
я |
|
|
2. |
Используя формулы( I . 5 I ) и (1 . 52), найдем |
|||
|
t = t |
fr," |
|
|
|
|
= E0+£t)e |
|
|
r
так как следовательно,
гJ
Wc
VA t-t,
3.Энергия, рассеиваемая в контуре на активном сопротивле нии, равна
ШшмйР,. i L
Определить добротность контура о;при которой часто та свободных колебаний, рассчитаннаяпо приближенной фор муле, отличается не более чем на 0,1% от частоты, определен
нойпо точной формуле.
60
Решение
Приблизительная формула
Точная формула |
|
° |
|
|
|
Относительная ошибка а процентах равна |
|
||||
(dcnp-jdcrn |
. IQQ |
|
U)Q-(JoГІ~Ц-д |
|
|
LOç op |
-^~ІГБТ '~ |
00^ |
', |
||
Отсюда находим У |
_ |
|
|
|
|
§ 15. Переходные процессы в последоьмтельном колебательном контуре при включении ис точника постоянного напряжения
Будем считать, что в контуре к моменту коммутации
(рис. І.4І) |
имеют место |
нулевые начальные условия, то |
|
есть |
|
|
|
при t = 0 |
, Uc(i) |
= 0/ |
i(o)=U. |
Рис.І»4І.
Составим уравнение баланса напряжений по второму за кону Кирхгофа :
Учитывая, что |
./., |
ГС/ |
|
|
1С |
получаем; |
|
|
(1.60) SI
Характеристическое уравнение однородного дифферен циального уравнения, образуемого из уравнения (1.60) пу
тем отбрасывания правой части, имеет вид:
рг *&iïp+u)o* - О.
Учитывая, что контур колебательный |
£U)0 ) , найдем |
||
ОІ'0 корни : |
. |
. |
|
,,-Р,--$ -j-bû..
г40 |
tu --vco*-о* |
- частота свободных колебаний конту- |
r... |
Частное рзшениѳ неоднородного уравьзния (.1.60) дает |
|
. .нуіделную составляющую напряжения u c t = E .
Общее решение однородного уравнения дааі свободную
сбставляющ-ул напряжения: |
, . |
|
|
"eck |
=-Ді* . + Й * е |
• |
|
Общее решение уравнения (1.60) равно сумма иынуадѳн- |
|||
ной и свободной |
составляющих; |
p l |
|
Ток в цепи найдем но фечмуле |
_ , . |
||
Для определения неизвестных постоянных интегрирова ние примѳьим начальные условия :
ис(о) = Е+ЛІ+Аг=0,
Решая полученную систему уравнений
ß± |
Яг ~ "Е- шг > |
находим |
Е t § \ • |
Подставив найденные значения постоянных интегрирова ния в решение, получим
62
г- г ~Sir |
, <Г |
,\ |
(i-«1 ) |
= E~te |
(cosa>e{+fi-sinu)ce). |
|
|
- |
-JJJ-t |
Ыпи)сі. |
|
(1.62) |
|
Если добротность контура достаточно высока, то |
|||
и выражения |
(І.6І) и (I.G2 ^прощаются: • • |
|
||
|
|
ис = £{{~е~ |
созаУ0{)} |
(1.63) |
|
|
L=-^-e~Si |
SîncOj. |
(1.64) |
По этим формулам на рис. 1.42 построены графики на пряжения на емкости и тока. Из'рисунка 1.42,а видно, что на пряжение на конденсаторе через половину периода после включения источника достшает максимсльногс значения, рав ного почти удвоенной величине напряжения источника. Объяс няется это тем, что конденсатор, спустя четверть периода после включения, ззрнжачтся под воздействием суммы э.д.с. источника и э.д.с. катушки самоиндукции, достигающей к концу первого юлупериода своего максимального значения. Катушкг самоиндукции, накопившая в первую четверть перио да электрическую энергию, ьо второй четверти периода оѵдает ее конденсатору. Это явление используется в ряде . импулюьоГ модуляторов радиолокационных передатчиков для заряда накопительиоч емкости до напряжения в 2 раза боль ше того, которое имеет уточник постоянного напряжения.
63
Крк видно из трафиков, колебательный процесс в кон тура постепенно затухает,ток прекращается, и конденсатор оказывается заряжекнь. до напряжения источника.
Пример.
Импульсный модулятор, эквивалентная схема которого
показана на рис. I . 4 I , |
имеет |
следующие |
параметры: |
|
Е = .10 KB; |
L = 10 |
Г; |
Г я і кОм; |
С - 0,01 мкФ. |
Требуется определить напряжение на емкости через половину периода свободных колебаний после включения ист чника.
і |
.... |
4
А
Рис.1.42.
Решение |
|
|
Пользуясь формулой |
(1 . 63), находим |
|
Si |
I |
т |
ис t_T0jz =EU-e~ ccsü)0i)\roi |
=EU'-e г cosu)B -f-)~ |
|
64
§ 16. Переходные процессы ъ последовательном
П И
контуре г, t. С Р включении источника
синусоидального напряжения
Будем считать, что в контуре к моменту коммутации (рис, 1,43) существуют нулевые начальиые условия:
при t - 0 ис(0) = О, І(0)= 0.
t Составим уравнение баланса напряжений по второму за кону Кирхгофа.
ri + L |
+ ^-jidt=Emcos(U>t*ijj). |
'(1.63a) |
Учитывая, |
что |
|
Рис.ІЛЗ.
получаем
Вынужденные колѳоания в контуре і.аеют вид:
5.-,ак.730офа
uc* |
= 7 % c s L |
n { u |
) t |
^""^ |
|
где |
|
|
|
|
|
if |
=ancty |
j |
â |
L |
^ . |
Характеристическое уравнение однородного дифференци ального уравнения
рг +&ïïp + iûf =0
имеет корни:
Следовательно, свободные составляющие напряжения и тока равны
Общее уравнение (1.63а) равно сумме вынужденных и св
бодных составляющих:
р t
I = |
•^f-cos(a)t+4/-<f)+C(pieiePli+pJ, йгеРрл). |
|
Неизвестные постоянные интегрированиянайдем, испо. - |
||
зуя начальные условии: |
|
|
ис(О)- ~£sin |
(<р-ifU Йі* Йг = О, |
|
і(о) |
= |
^cos(p-(f)+C[(-$-+z)ûJ*(-8-x)flil]=o. |
Решая |
подученные |
уравнения |
нахолли |
|
|
'й--- |
binlf-if)* |
gcosty-ij)]. |
bo |
|
|
Подставим найденные постоянные интегрирования в общее решение. ^
+ - £ - 0 / « / . . . |
. . \ l _ r i |
- |
- - - / „ , |
, f l \ ^ |
и? I
r Si f |
Г |
и) |
EeMl\ |
Jâ |
- t m C ö j ( ^ ^ +f - ( f ) - - j j — |
j [ ca?' |
( y - 7 M i - | - ) e o * ( ^ ) ] ^ t [ ^ 5 i « ( V - y > ^ .
д. s)
Если контур колебательный ( Sх и)0 ) , то
ckxt -ch. j,cût =cosu)c
-dh^-SÙn(^-^)\sina)ct |
\ |
( |
I |
.66) |
|
i-„^cos(u)t |
+ y-<f)- |
|
jcosLf-y)cosu>ct |
- |
|
$[$*in(Y-4)+&eosLiit-V]sLnqtj. |
( I |
. |
6 7 ) |
||
Рассмотрим переходный процесс в апериодическом кон туре. Пусть, например, фаза включения синусоидальной: пряжения удовлетворяет следующему условию:
Тогда формулы (1.64) и (1.65) примут вид:
|
(1.68) |
Em |
« і * - Л |
I |
(1.69) |
|
|
Свободные cocTaiUi |
напряжения и тока |
1 Рис. 1.44t а
JE
68
были рассмотрены в ^ 14. Это noâi оляет нам сразу изобра зить напряжения и ток в переходный период (рис. 1.44).
За счет свободных составляющих, возникающих при включении источника, напряжение и ток и цепи,в переходный период провышаюг напряжение и ток в установившемся режиме.
Рис.1.44,б |
|
Аналогичным образом мокко |
рассмотреть' переходные |
процессы при других «»азах ір |
ЧІ.Ч.ЮЧЗНМЯ источника. По |
добрать такую .базу включении, при которой процесс стал
бы сразу установившимся, как -.-кип MO ш |
достичь в цепях |
|
с одним рзактнвиыі іѵоментоіі,t i данной, цепи |
с.д.уыя |
реактив- |
ними элементами чельал. |
|
|
В радиоустроистлах ч большинства случявв применяют |
||
контуры с высоко!, .'.обротностью, при которой молно |
прибли |
|
женно считать |
|
|
Cûr = (О,
а этом случае .при,улп ( T . f c ) и (1.^7) принимают иид:
л
t = ^n-cos(u)t+f~if)- |
-ft~?%os(y-})cosu)0t |
- ( I * 7 I ) |