книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfКак в примере |
I , задачу нужно рассматривать для двух |
|
иатервалов времени: а) от /- Ü до t |
= it и |
|
б) от t = ti |
до t - о , . |
|
а) До включения рубильника ps |
тон и все напряжения |
|
за исключением напряжения источника, |
равнялись нулю. Cor |
|
ласно второму закону коммутации напряжение па кондѳнсат
рѳ в первый момент после включения |
остается рапным |
чулю: ис Lui-)- ис(0~). |
|
По второму закону Кирхгофа получаем уравнение
Е = i t} + ir ,
Значит, ток скачкой увеличится от нуля до значения
ал ѳ а
ç~ 7 / y Д будет происходить заряд конденсатора,
'(апряжекиѳ на конденсаторе л ток ь цепи будут изменять ся по экспоненциальному, закону.
Напряжение - увенчиваться,, стремясь к значению э.д.с, источника Е а ток - уменьшаться, стремясь к нулю. Кри вая напряжения на сопротивлении ^ будет точно повторять кривую тока, так как uf. — і , Постояняая цепи в этом интервале времѳнл Т =( *г, п ) С .
|
т |
Если |
бы не замыкался рубил>пик р то зсть не было |
бы новой |
коммутации, то с течением времени.равным |
(4 —SKqtK,) |
Сопряжениела конденсаторе возросло бы |
до своего максимально ЕОЗКОЖНОГО значения - з.д.с. источ нкка Е, а ток упал бы до нуля.
Но в момент/"^замкнулся рубильник /л . и начался новый процесс - процесс разряда конденсатора.
о) С момента включения рубильника напряжение на конденсаторе будет уменьшаться по экспоненциальному зако ну, начиная с того значения, которого оно достигло до
включения рг , Процесс |
разряда происходит в новой цепи |
>г -, С и рубильник), значит,и постоянная времени оудет |
|
другая, а именно Z - |
С. |
Рис. 1.24.
Ток разряда конденсатора ИМОѲТ направление, нроти-
.чсположіла току заряда. Величина тока в іервый момент
определяется по уравнению, составленному |
согласно второ- |
|
і'у закону Кирхофап |
ис = * "л . |
4Т |
Сопротивление r\, - величина постоянная, а напряжение на конденсаторе равно тому значению, которое было перед зам канием рубильника р . Следовательно, ток изменит направление и скачком достигнет величины -^Ц^іі Далее он будет уменьшаться по экспоненциальному закону.
После замыкания рл>кроме рассмотренной цепи,образу - атся еше одна цепь реактивных элементов - источник, со
противление |
и рубильники рі и р^.В ней скачком |
установится ток, равнкй TJ' и напряжение на этом сопротив |
|
лении, начиная с момента f. = Сбудет равно э.д.с. источни ка £ .
Кривые ис(~к),іс(і) и Urt(i) |
приведены на рис. 1.24. |
|
Гу^Т^, поэтому скорость изменения |
всех переходных ве |
|
личин в интервале от 0 до tt |
будет |
меньше,чем при f r t j . |
fi 13. Расчет трехветвевой цепи с одним реактивным элементом
Если цепь содержит несколько ветвей при наличии одн
го реактивного |
элемента, то методика расчета мало отлича |
тся от методики |
расчета,рассмотренной в § 3 — I I . Л. именно, |
в случае разветвленной цепи с одним реактивным элементом поступают следующим образом.
1 . По методу уравнений Кирхгофа или методу контурных токов составляют систему уравнений для цепи после коммута ции.
2.Методом подставки сводят полученную систему к одно му уравнению, неизвестным в котором является переходная величина ,не изменяющаяся скачком.
3.Находят указаннуюі переходную величину по рассмот
ренной* в предыдущих параграфах методике.
4. Все остальные переходные величины определяют ло уравнениям доставленным в п. I .
Покажем применение изложенной методики на конкретном примере расчета трехветвевой цепи приведенной на рис. 1.25
Для цепи после коммутации составив систему уравнений по методу контурных токов. При этом в уравнения вместо
42
контурных токов L и і/Т будем сразу подставлять токи в
ветвях. Анализ схемы показывает, что іт~іі} |
a L - -L£_ |
||
LjCç |
+f}) |
~ілг3 = E, |
( I . |
i ^ ^ |
h i |
^~с,г=0. |
( |
Скачком в данном случае измениться не может ток і (ток в индуктивности), поэтому методом подставки получен ную систему (1.40) и (І.4-І) сведем к одному уравнению,
Рис.1.25.
и подставам в (І.4І? :
u at |
L&,, |
П + П |
~ п+г3 • |
Однородное уравнение
dl |
|
' ' ^ |
Ъ>П |
|
Хирактаристичѳокоѳ уравнение |
|
|||
и его корень |
|
|
|
|
D |
_ _ |
ПЪ+ьЪ* |
|
|
Свободная |
составляющая тока |
|
||
/, |
- |
Йе Р І ~ |
Йе ^ , |
(1.43) |
где посточнная ирѳйенк цагш |
|
|
|||
Вынужденную составляющую тока ig определим из |
ана |
||||
лиза схемы при t |
=о» , так |
как на цепь воздействует |
|||
постоянная э.д.с. |
|
|
|
||
При t |
- |
« • |
во всех лотвнх оудет постоянный ток; |
||
сопротивление индуктивности равно нулю. Значит, |
|
||||
Lz é " к f" |
&~Ті |
|
|
||
Или |
|
|
|
|
|
/ |
- |
E-2- |
. |
|
|
Ток переходного процесса в индуктивности |
|
||||
|
|
= i-t-i * Une- |
|
|
|
Используя ( I . 4 3 ) и (1 . 45), получаем |
|
||||
_ Осталось |
найти постоянную интегрирования Я. |
Для |
|||
ее определения необходимо |
знать значение тока |
при |
|||
і. = 0 , то есть-независимые' начальные условия.
До коммутации все токи равнялись нулю, значит,с(а.)=0. Согласно первому закону коммутации
£г(0*) = ;г(0-) = 0.
44
Подставим начальные условия в (1.46)
<
Откуда
с- £'>
следовательно, переходный ток в ветвл с индуктивно стью оудеі'
/ - |
LU |
р~^~ |
Для определения всех остальных переходных реличин можно использовать следующие зависимости
UL |
L |
dt |
* |
;s -~ |
|
'іrЛ3-ІМа. > |
|
' После определения всех переходных величин необходи мо произвести лэсыѳрку правильности расчета.
Дли этого по поду-.антни выражениям переходи;ч величин надо найти зь^чѳнкя чс»и величии і = 0 и t = <»- - Ваіем те яе величины для т&х я*? МОМѲНТОР времени надо кай'.св из инаяяза схемы.
Если разница между первыми и вторыми не будет превышат (3+4)%, то расчет можно считать удовлѳтворитѳльныМі
|
Прежде |
чем закончить параграф,.обратим внимание на |
||||
формулу для |
(J . 44) . |
|
|
|
||
|
іір 1 рассмотрении К L -цепи |
было |
выяснено, что посто |
|||
ная врембіг такой цепи определяется |
по формуле Г=г - ^ — . |
|||||
При рассмотрении разветвленной цепи получим такую же |
||||||
Формулу для Т, аименно, 'Г = -^-,гдѳ |
г - эквивалент |
|||||
ное активное |
сопротивление цепі относительно |
зажимов |
||||
индуктивности. Действительно, эквивалентное сопротивле |
||||||
ние относительно эакѵш^в индуктивности определяется по |
||||||
охеые рис 1.26. |
|
|
|
|
||
|
г -г + -ЛИ - йЛ 1*1 |
>11Лй |
|
|||
|
' |
ri+r3 |
г, |
|
|
|
|
|
г, - /} гя + гг |
/ j -І rt |
г3 > |
точно |
|
то ость выражение |
для постоянной времени %' |
|||||
совпало с Формулой |
(1.44). |
|
' |
|
||
|
Следует заметить, ч"годля разветвленных цепей с од |
|||||
ной емкостью постоянная времени |
определяется по формуле |
|||||
Т=г3 С где >э - эквивалентное активное сопротивление |
||||||
цепи |
относительно зажимов емкости. |
|
|
|||
|
§ 14. Свободное колебание |
в последовательном |
||||
|
|
контуре Г, L,C |
|
|
|
|
• |
В последовательном контуреГЬ}С вознике'Т свободные, |
|||||
кглѳбания в том случае, если в :онтур |
предварительно вне |
|||||
сена |
электрическая |
энергия. Ji: ;ргия может находиться либ |
||||
z
в имкостя з виде энергии электрического noim(Wc--^-CU )}
либо |
в катушке индуктивности в виде эиергги маиитного |
|
поля |
( V i= |
'j"^-7"* ) t либо в обоих энергоемких элементах |
одновременно.
• Рассмотрит случаі. предварительного накопления энер гии в ѳмкол-и (рис 1.2"). При переводе переключателя
П в положение I конденсатор заряжается ы г.зточкика д напряжения Е . При І. доводе иереключателя в положение
46
2 заряженный конденсатор получает возможность разряжаться через активное сопротивление Л и индуктивность L -
Б момент коммутации ток в цѳпи отсутствует, поэтому на
чальные |
условия запишутся так: |
||
при t |
= 0 |
ис(о) = Е, |
І(0)-0. |
Напишем уравнение баланса напряжений в контуре по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений:
где
и.г~ІГ- мгновенное значение напряжения на активном |
||
|
сопротивление; |
т |
tJ-L — L~7T - |
м-новенноэ значение напряжения га индуктивѵ |
|
• _ / / • . , , |
«ости; |
-s |
Uс ~~c~J |
+ |
|
-Ë^/Vrfif«-мгновенное значение напряжения, |
||
|
'на et.ee пя, |
[ . |
Выразив ток L через напряжение на емкостиаГ1 i-C-J^-t |
||
de |
u L d i |
|
Разделив каждый член уравнения ьа/с'и обо-ліачич
поіучин t z
2 -
r T T 7ГТ~ c~0. (1.48)
un
Состазим характеристическое уравнение дифференциаль ного уравнения (1.48)
яг
р+ 2$р +а30 -О
инайдем его корни:
Следовательно, общее решение уравнелия (1.48) имеет
ис ~ Яі е. + Нг г ,
Для определения неизвестных постоянных интегрировани применим начальные условия.
При t = О
иі(о)=Д/ + Дг=Е,
Решая полученную систему уравнений
вг й - Е \ ,
Подставив найденное значение постоянных интегрирова ния в общее решение, получим:
Y'c =(1.50)
t
u,=L-!?j-=Ee~âi(~chzi |
+ -§-sbzé). |
( I . 5 I ) |
|
i- dt |
* |
|
|
Изменения напряжений и тока в контуре определяются |
|||
величинами ( Г и г . Величина |
X =W-и)0& |
' |
в зависи |
мости от значений параметров контура |
Л, L} |
С может |
|
принимать вещественное, нулевое и мнимое значения. Рас смотрим каждый из этих случаев л отдельности.
Первый случай .г г
Найдем значения активного сопротивления и добротно сти контура в этом случае:
У
Активное сопротивление контура больше удвоенного ха рактеристического сопротивления контураі добротность кон тура меньше половины, а <f является вещественной поло жительной величиной.
Рис.1.28.
Для удобства анализа запишем выражения ( І Л 5 ) , (1.50) ч (І.5І) в слодучщеч виде:
L =- |
-е |
4.3ак.?30оф. |
49 |
|