книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfПри включении ток делает скачок и по мере заряда конденсатора уменьшается по тому же экспоненциальному закону, что и свободная составляющая напряжения на емкос ти. Время переходного'процесса принимается
t |
=U-;-5)r |
= L4-t-5)r |
С. |
|
На рис. I.15 показаны кривые |
зарядного тока, |
напряжения |
||
па конденсаторе при переходном процессе и его |
составляю |
|||
щие. |
|
|
|
|
За времяпереходного процесса в |
тепло переходит |
|||
раьнан энергии, запасаемой в электрическом поле конден сатора.
§ 10. Короткое замыкании цепи f} С |
|
гл;ли ііѳпь с последовательным соединением активного |
сопро |
тивлении и заряженного 'конденсатора замкнуть накоротко |
|
(рис. І . І 6 ) , то конденсатор начнет разряжаться и |
разряд |
будет происходить до тех пор, пока вся энергия, запасен ная в электрическом /іодѳ конденсатора, не превратится в тепло в сопротивлении /* .
л |
г |
с |
|
||
|
|
|
Г*" |
|
|
14 |
|
|
О
?ис. 1.16.
После переходного.процесса напряжение на конденсато ре будет равным нулю, то есть ііс& = 0, значит, будв*
иметь место только свободный процесс. 50
Составим дифференциальное уравнение для цепи коммутации
относительно ис g |
: |
|
|
с |
г г dutj_+ |
|
-g |
|
dt |
ccS |
|
Решение этого уравнения получено в § 9, оно имеет |
|||
вид |
_ _t_ |
|
|
Llcc6 |
" й е Г С • |
|
(^32) |
Рис.I.17. |
|
До коммутации переключатель Г7 паходился в |
полджѳ- |
нии I и конденсатор был заряжен ди напряжения U. |
(0-)=Е. |
Согласно второму.закону коммутации |
|
ис(о+)-ис(0-)=Е.
При t - 0 из уравнения (1.32) |
получаем |
Е = й • |
|||||
Напряжение на конденсаторе ари переходной |
процессе |
||||||
u.r-u. +LL. - а |
|
|
-Ее. |
|
" с . |
(J . 53) |
|
Ток разряда |
, |
Р |
с ~~сі |
|
|
|
|
|
п CL Uc — |
|
•е |
о |
• |
|
(1.31) |
L^CJJ--- |
г |
|
|
||||
Таким образом, напряжение на конденсаторе и ток в цепи уменьшаются по одному и тому же экспоненциальному закону. Знак минус у тока означает, что ток разряда имеет направление, противоположное зарядному току. Кривые тока у. напряжения на конденсаторе при разряде показаны на
(рис. I . I 7 ) .
Энергия, рассеиваемая в активном сопротивлении в
течение всего переходного процесса
2
то есть равна энергии, запасенной в конденсаторе до замы кания в цепи.
§ I I . Включение H С - цепи на гармоническую э.д.с.
Пусть ГС~ |
цепь включается на синусоидальную э.д.с: |
||
е = Е т sin |
(u)t + у ) |
(рис. 1.18). |
|
Дифференциальное уравнение, составленное по вѵорому |
|||
закону для цепи после коммутагии |
|||
ГГ |
du* |
|
|
или гС |
§f+uc=Emsin(côt+y). |
||
Однородное |
уравнение |
|
|
|
р duççi + и |
- f i |
|
|
nit |
<=cß |
и |
совпадает с уравнением ( 1 . 2 7 ) , |
поэтому для свободной сое- « |
||
тавляющѳй напряжения на конденсаторе можно сразу исполь
зовать вырг^ѳние (1.28) |
_ _t_ |
|
|
ч « , |
= -1''ГС |
• |
|
Вынужденной составляющей в этом случае будет |
.синусо |
||
идальное напряжение, для определения которого нужно |
рас |
||
считать установившийся процесс в даннойцепи. В результа
те |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
ис8 |
=итс |
Sin |
(ü)t+f+ |
|
4-90°), |
|
Г Д ^ |
If =— |
£™ |
|
|
à— |
|
|
|
•Члс |
^Гг| ^ і уг1 |
а) С |
~ амплитуда напря |
|||
жения на конденсаторе |
после |
переходного процесса; |
|||||
if — a/ictg.ujçr- |
угол |
сдвига фаз между э.д.с. источни |
|||||
ке и током. |
|
|
|
|
|
|
|
32
L~lm |
siniùùt *y +4)+j£fcUn(y*if-90°k |
Ч (1.3.7) |
e
Рис. I . I 8 .
Таким ооразом, при переходном процессе на синусоидаль ный ток и напряжение на конденсаторе налагаются свободные составляющие, уменьшающиеся го экспоненциальному закону.
В результате |
в течение некоторых промѳ кутков времени ток |
и напряжение |
будут превосходить амплитудные значения при., |
установившемся рѳжкje. Величинысвер; гока и перенапряжения зависят от фазы включении э.д.с. источника (^/ и от постоянной времени цепи ѵ С , определяющих соответственно начальные значения свободных со^тавлчющихи скорость их уменьшения.
Если включение цепи произвести в момент, когда
y + if = |
9 0 ° , то есть начзлъная фаза вгнужден юй |
|
ооставляющѳй напряжения на конденсаторе |
будет равна нулю, |
|
Т° siniy+q |
-30°) = 0 и аса =0, іа |
=0, |
а это означаем, что сразу ifocJ"? включения -аступит уста новившийся процесс. STO cauL.3 безог.асныі, момент вклйченЕ.і.
Если включение цепи .іроизЕѲіти ч момѳкг, когда
п
ір + ("= 9,то возникают КІ.Л сверхтоки,так и прѳнапрржения. В этом случае получим
З.Зак.ТУоф.
il
U -U |
Sin(u)t-90°UUm |
<> "° |
(1.38) |
и |
|
|
|
с =Im |
sin U)t- Jötre |
ГС • |
( Ь 3 9 > |
I
Рис. І.І9.
При большог постоянной времени Т = гС (свободные составляющие затухают медльнно) можно ожидать пѳренапряхение на конденсаторе, в пределе равное удвоенной ампли туде установившегося значения (2 Um„), го не большое превышение тока.
34
При малой постоянной времени (свободные составляющие за тухают быстро^ может получиться сверхток ^о) — -^^уг во много раз превосходящий амплитуду установившегося режима J 4 но тогда перенапряжения на емкости прак
тически не будет. Величина сверхтока в последнем случае определяется
Г= Г
Рис. 1.20.
і.
отношением - ^ Е - . циЫ |
больше это отношения, иеы боль- |
ив максимальноj значение |
.ока. |
35
В любом случаѳ время переходного процесса tne
принимаю!- равным (4-^-5)?=(i-h |
5) г С. |
|
|
Графики напряжения и тока для одного из случаев даны |
|||
соответственно на рис £.19 и I.2Û. |
|
||
§ іа. Качественный анализ |
переходные |
процессов |
|
Довольно часто |
не требуемся производить полный |
||
расчет переходного |
процесс?, а требуется |
только нарисо- |
|
_атъ графика изменения техили иных величин во время пе реходного процесса или найти максимальные значения их и моменты времени, которым соответствуют эти значения.
Решить этп задачи помогает глубокое понимание процессов к умение применить для любого момента времени законы
Кирхгофа. |
|
В предыдущих параграфах было показаьо, |
что в любой |
цепи с одним реактивным элементов свободные |
составляющие |
затухают п^ экспоненциальному оакону, а закон |
изменения |
вынужденных составляющих определяется характером воздейст вующих на цѳш> напряжений. Эти чнаі ш позволяют нарисо вать графики изменения переходных іокеви напряжений,_.а определение значений переходных ветчин в какой-либо мо-
ыент ьрзмѳни(•* том числе дляг = 0 и t = |
производит |
||
ся по законам Кирхго{а |
'^.законан "омыутации.' |
||
При наличии нескольких реактивных |
элементов качест |
||
венны* анализ выполнить |
труднее,но не |
невозможно. |
|
Рассмотрим качественное решение задачи на конкрет |
|||
ных примерах. |
|
|
|
Пример I . В чѳпи |
рио. І.2І рубильник |
Р£ замы |
|
кается спустя время t |
после зам. кания рубильника Pf. |
||
Построить графики изменения тока в катушке э*д.е. са
моиндукции и напряжения на |
активной сопротивлении і"2 . |
|
Э.д.с. источника £ = со/г s t . |
|
|
Ток при установившемся режиме |
в данной цепи оперѳ- |
|
г |
|
|
ï іѳт напркж-ниѳ источники на угол If |
, тоесть' началь |
|
ная фа&а тока равна \{J + if |
. Напряжение на ко-дѳнса- |
|
торѳ отстае™ от тока ьа угол 9U", поэтому его начальная Фаза равно " Л - if -90°.
Напряжение на конденсаторе при переходном процессе
-. J
o
uc-uCß+uc =Vmc sin(tdt->-y+q-90 )+fle "(і.зз) докоммутации напряжение на конденсаторе равнялось
нулю: ис (О-) ~ О. Согласно второму закону коммута ции
исі,0>) = исІО~)-0}
поэтому из уравнения <Х»35) при t - Q будем иметь
|
О =Ѵт |
sin (у +ір-до") + й. |
|
Отсюда |
с |
|
|
|
Й--И |
Un |
Lij/i-tf-9ö0). |
Окончательно получим |
|
||
, Uc=Unc |
sin(a)i |
+ f+ |
if-90°)~ t |
Переходный ток цепи
так как
IfтсС ü)=T т •- амплиауда тока и цепи после пѳреходного процесса.
- c z f — r > r T ^ - j
р.
О |
г П |
|
L ф |
M |
- |
о |
|
|
|
Рис. I . 2 I . |
|
Задачу нужне |
рассматривать для Днух интервалов |
вре |
мени' |
|
|
a) oj 0 до / |
и б) от іі дп=~. |
37 |
|
|
|
а) До включения рубильника Рі ток и все напряжения, |
|
ліх |
исключением напряжения |
источника, равнялись нулю. |
G |
момента замыкания Pt ъ |
цепи начнется переходный про |
цесс, который был подробно рассмотрен в § 6. Согласно |
||
первому закону коммутации ток в индуктивности в первый мо аент о/дет равным нулю іі(о+)=1і1 (0~) = 0. Значит, напря жения на активных сопротивлениях rt и Уг тоже будет при t ~ 0 равными нулю, Э.д.с. самоиндукции в первый момент
получает значение, равное э.д.с. источника. Далее ток будет возрастать по экспоненциальному закону, по тому же закону будет возрастать и напряжение на сопротивлении
г. , таккак и |
~іг2 . |
Э.д.с самоиндукции бу- |
дуг уменьшаться |
по экспоненциальному закону. Постоянная |
|
времени цепи в. интервале от 0 |
до . равна tt-jr^jr . |
|
б) Замкнулся рубильник Рг,л тем самым цепь разде лилась на две самостоятельные цепи. Одна из них состоит
из индуктивности L , |
сопротивления |
и рубильника Рг . |
|||
Вторая содержит источник питания, сопротивление г£ и |
|||||
рубильники |
Pf и |
Р2 |
Вторая цепь не содержит |
||
реактивных элементов и, следовательно,1 |
в нейне будет |
||||
переходного |
процесса. Значит, после |
замыкания рубильни |
|||
ка Р2 напряжѳниэ на сопротивлении |
|
скачком изме |
|||
нится до величины £ |
|
и далее будет оставаться постоян |
|||
ным. |
|
|
|
|
|
В цепи |
с индуктивностью после |
замыкания рубильника |
|||
Р, начнется новый пѳоеходный процесс. Он будет длиться до тех. пор пока энергия, запасенная и магнитном поле ка тушки, не рассеѳтсл в сопротивлении £ . Ток в этой цепи будет уменьшаться по экспоненциальному закону с того зна чения, которое было в последний момент перед коммутацией. Làm, не содержит, внешних источников, поэтому после пере ходного процесса ток в ней будет равѳ.і нулю.
В момент замыкания рубильника Рг э.д.с. |
самоиндук |
|
ции измѳншш-ь скачком до величины, равной Ц±..± |
• rt |
|
(по второму закону Кирхгофа после замыкания рг |
ilrd =£г )• |
|
Ток умеп.шается пи величине, но направление |
его не |
|
изменилось, РИцчит.з.д.с. са-оині.укции лолучилг,1 |
направле- |
|
58
ние, противоположное |
тому, что было до второй коммутации. |
||
Далѳѳ э.д.с. уменьшается по |
экспоненциальному закону, |
||
После замыкания рубильника р, постоянная цени г. |
|||
равна Т |
поэтому скорость изменения всех |
||
переходных величинв в интервале от 0 до ti |
больше, чем |
||
На рис. Т.22 |
приведены кривые |
i(.t)) е (t) |
|
Рис. 1.2?.
Пример ?. Нѳпь рис. J.23 рубильником рі включается на постоянную э.д.с. Е. Спустя некоторое время tl за мыкается рубильник рг .
Построить график», ичмечѳьия тока г конденсаторе,
напряжения на к..нденсатое и ніпгяж^ни;. на сопротгвле-
у
нии rt.
33