книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdf§ 7. Короткое замыкание цепи г, L
Ветвь с сопротивлением и индуктивностью внезапно замыкается накоротко(рис. 1.8).
П |
г • |
L |
•ф -А
Рис. 1.8.
Ток в этой ветви прекращается не сразу. Возникшая э.д.с. самоиндукции стремится поддержать ток за сче^ энергии, запасенной в магнитном иоле. По мере того как энергия магнитного поля переходит г тепло, ток в цепи постепенно уменьшается. Найдем'закон изменения этого тока.
дифференциильное уравнение цели после коммутации
Так как внешние источники энергии в образовавшемся контуре отсутствую^, то процесс описывается однородным уравнением, то есть ъ этом случае будет иметь место толі ко свободный процесс. Хараказрпстич ское уравнение
/_р + іг! = О |
и его корень ^ — f~ . |
20
Свободная составляющая тока
/Lcê - марL - г *
Видим, что свободная составляющая имеет такой ае вид, как и в предыдущей случае.
Вынужденная составляющая tg = и. Ток переходного процесса
i - i . ^ ^ j e - f * .
Определим ток в индуктивности до коммутации :
Согласно первому закону коммутации
і(О*) = |
і(0-). |
|
|
|
Следовательно, |
|
р |
|
|
Для определения постоянной интегрирования Л |
подста |
|||
вим значение ù(o) а уравнение (ІД9j. Получаем |
|
|||
£г |
= й. |
|
|
|
Таким образом, |
|
.X |
t |
|
L--fr |
£ |
* . |
(1 . 20) |
|
Напряжение на индуктивности во время переходного про |
||||
цесса |
|
- л-t |
|
|
u^Lj£-~E |
|
е L . |
( 1 . 2 i ) |
|
При t = О UL = - £ , |
то есть в первый момент пос |
|||
ле коммутации напряжение на индуктивности равно напряже нию источника, а затеи уменьшавшей по тому же закону, что н ток.
Переходный процѳсо закончится черва ьремн, раьноо
tntp-(4r5^p\\QQ,jiu иоиента коммутации. Иа рис. |
|
показаны |
|
кривые тока переходного процесса и напряжения на |
индуктив |
||
ности. |
|
|
|
Энергия, рассеиваемая в сопришіленмн t% |
за |
вреын |
|
переходного процесса |
<^ с .•> -іг с |
^ |
|
ривнф анергии,"запасенной в иь^уктиниоити до Замы.саиия
т о ыв
цепи, так как ^"І0~ индуктивности ичред ком мутацией. Если замкнуть накоротко яатвь с индуктивностьй, по которой протекал еннусиьдальньк ток, то процесс бу- П'п- протекать точно так ке5 но тогца ток ь момент ком-
.мутации будег равен по величине мгновенному значению ке в момент замыкания.
|
Рис. 1.9. |
|
|
|
к тепэрь предположим, что ветвь с индуктивностью, |
||
игключаясь от источника, замыкается на |
сопротивление /"J |
||
(считаем, что переключательП мгловеьно из положения I |
|||
ПРЕХОДИТ В ПОЛОЖаНИѲ 2)(рИС. І.ІО). |
|
|
|
|
Для тока переходного процесса «іожѳт быть гспользо |
||
но |
ранее получонноѳ выражена. ( 1 . 2 0 ) ^ 0 теперь сопротивле |
||
ние |
Цапи посл*і коммутации раь^о г + |
f0 . |
Значит, постоян |
ная арьмени нѳпи будет мѳньые |
£ уг^ |
и ток Судет |
|
тухать быстрее : |
|
|
|
ZI
Напряжение на индуктивности |
Г+ Го |
|
|
Пр.. |
|
* = 0 |
|
Г
Рис* 1.10«'
Следовательно, в первый м- JHT после коммутации напря жение на индуктивности будет во столько раз больше напря жения источника, во сколики раз увеличилось сопротивление
цепи 3ti счет добавления сопротивления Г0 Значит, в
т
эом случае на индуктивност" могу? возникать значительные пвренапряжеітия, котя врѳкя пер. -.одного процесса напряжения будет гораз.ю меньше.
h 8. Вкл"чонид цепи^7А на, гармоническую а.дли
Пусть цепь У L включается на синусоидальную І , . Д . С . e=E.„5in{u?t *Kf/) (рис. i . i i ) .
Дифференциальное уравнение цепи после коммутации
Однородное уравнение L~lc-s'iricg=0 |
совпадав? с |
уравнением ( I . I 2 ) , пооіому для овободно" |
составляющей |
ток*'можно сразу использовать лыріжечае |
(І.ІЗ/, а сменно. |
В качестве вынужденной составляющей в этом случае будет синусоидальный ток, для определения которого нужно рассчитать установившийся процесс в данной цени.
|
Получаем |
|
iS-ImSin(u)t*4J-if), |
і ш |
- амплитуда тока в цепи после переходного процесса |
if |
- угол сдвига между э.д.с. и током. |
Рис. І . ІІ . |
|
Ток переходного процесса _.. |
г_ |
L = ts+Lug=Imsin(u)tni/-if) |
+ /le 1 . (1.22) « |
В рассматриваемой цепи до коммутации тока не было. Согласно первому закону коммутации и в начальный момент после коммутации ток будот равеннулю, то есть і(0+) =0. Поэтому из уравнения (1.22) получаем
О = 1 оія if-if)* |
Д. |
|
, Отсюда |
|
|
fl=-ImsLn(y-Lf). |
|
(1.23) |
Окончательно получаем |
|
г |
і =Imsin(cût+y-if)-Im |
Unty-if)£~~r. |
(1 . 24) |
Напряжение на индуктивности
г*
и. =L |
І^=Іт |
|
LûLsLn(u)t |
, |
+ y-L? |
+ 900)-> |
|
||
L |
|
dt |
m |
|
|
r x |
-±-t |
( 1 . 2 5 ) |
|
|
|
|
|
+ r i m |
sin |
(y-ifle |
L |
|
|
Правильность полученных результатов можно проверить, |
|||||||||
подставив в выражения (1.24) и (1.25) |
значение t |
= О. |
|||||||
Эта проверка для тока 1(0+) |
|
дает значениенуль, а для |
|||||||
напряжения на индуктивности она дает |
|
|
|||||||
Ui(0+) |
= ImoüLsin({f/-^*90°)+rIm |
sinLy-if). |
|||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
||
\(0+) |
= Emsùiifcosi\l>-y) |
+ Emcosifsin(Y--tf) |
= |
||||||
Последнее легко установить из анализа схемы. В момент |
|||||||||
коммутации напряжение источника |
окажется приложенным к |
||||||||
зажимам индуктивности, поскольку напряжение на'сопротив |
|||||||||
лении будет равно нулю, так как і(0+) |
'= 0. |
|
|||||||
Как видно из |
выражений (1.24) и (.1.25), в даняоы |
||||||||
случае при переходном процессе |
|
на синусоидальные |
напря |
||||||
жения на участках и ток цепи налагаются свободные |
состав |
||||||||
ляющие, значения которых уменьшаются по экспоненциальному |
|||||||||
закону. Б результате ток л |
напряжения в течение |
некото |
|||||||
рых промежутков времени могут |
|
превосходить максимальные |
|||||||
значения установившегося режима. |
' |
|
|||||||
т |
|
Em |
|
|
I г |
|
Ет |
, |
|
Выражения для свободных составляющих показывают, что |
|||||||||
если іу |
~ if = О, |
а значит, sin |
( Ф - $)~0,то свободные |
||||||
составляющие будут равны нулю. Действительно, |
|
||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
-4-t |
|
|
|
a, |
= r i |
sin Ы-фг |
|
-О. |
|
|||
|
|
|
|
||||||
JO |
есть,если включение цепи произвести а момент, |
||||||||
когда начальная фаза напряжения источника ^ - < ^ |
=алс£руг} |
||||||||
свободных составляющих не будет и в цепи сразу после |
|||||||||
включения наступит |
установившийся режим. |
•>•. |
|||||||
Ток переходного процесса будет достигать наибольших значений при включении цепи в момент, когда (fJ -tf -&Û0, то есть когда вынужденная составляющая тока имеет свое
максимальное значение. В этом случае |
£ |
|
i = Imstn(a?t*90e)-Ime |
1 ' |
|
m |
m |
|
И |
-— |
t |
u=-IMu>LsLnu)t+lmr£ |
L . |
|
Если постоянная времени будет зблика ( Г—* О и Т = -ф , то есть свободная составляющая тока
будет затухать медленно,то через полпериода после вклю чения цѳпЕ ток достигнет почти удвоенной амплитуды вынуж денной составляющей :
І |
^ г і . |
|
|
МАКС |
ГП |
|
|
Таким образом, при включении линейной цепи rt L |
|||
на синусоидальное напряжение ток ни при наки.- |
условиях не |
||
может превышать.удвоенной амплитуды вынужденного тока. |
|||
Кривые переходного тока, его вынуждѳглой и свободной |
|||
составляющих для случая, когда |
- 90° |
и Т |
|
достаточно велико, приведены на риг. I . I 2 и І.ІЗ.
§ 9. Включение цепи fj С ѵ* постоянную э.д.с.
Для цепи с последовательным соединением активного сопротивления г и ѲМІОСТИ С (рис. целесообраз но составить дифферѳнцг-ільноѳ уравнение относительно напряжения на емкости ис , так как согласно второму за
кону коммутации это напряжение не может изменился скач кам: W + и- Е .
dt |
' |
. т _ |
f L dt |
u' ~L- |
• |
Тогда уравнение для свободной состаьлк/"чо иапрчле-
нья на емкоет.. будет
a a
г С ?? |
->ис -О. |
п.г?. |
dt |
с* |
Z7 |
|
|
Его характеристическое уравнение
и корень p^--L- |
_ |
Следовательно, свободная составляющая напряжения на емкости
и-.ссѣ = Де FT |
(1 . 28) |
Рис. |
|
|
Величина /'6" = Т |
представляет собой постоянную |
|
времени данной цепи. За враын ? = f С |
свободная сос |
|
тавляющая напряжения на емкости уменьшается в С = 2,718.., раз. Покажем, что размерностью Т являются секунды:
Г С |
им |
cl |
|
|
|
При включении цепи гг |
ЬС на постоянное напряжение |
|
конденсатор будет заряжаться до напряжения источника. Следовательно, после переходного процесса напряжение на аажимах конденсатора будет р;івно Е , аозтоиу вынужден ная составляющая Ucg - Е
Напрякение на ьмкости при переходной процессе
и г |
+иг |
-Е-+ Ае гс . |
(1.29) |
с -а Ц |
сс6 |
|
|
Для определения постоянной интегрирования |
исполь |
||
зуем начальные условии. К начальный условиям в |
данной |
||
случав относится напряженно на конденсаторе .при f в о, До коммутации конденсатор не был заряжен, то есть
и (0~)~0} поэтому согласно второму закону коммутации в начальный ыомѳнт посла кошіутации_напря.4«циь на коядо^ йаторсpa4iHQ нулюга (От) = О.'
OR
При t = 0 |
из уравнения (1.29) имеем О = Е + |
А} |
откуда |
Й~-Е. |
|
Таким образом, |
|
|
|
и с ~ Е - Е & W , |
(I.3G) |
то есть напряжение на емкости постепенно нарастает до окончательного значения ( uCg ~ £ )и тем медленнееs чем больше поотиянн.зя времени цепи 'Г'= У С.