книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfпоэтому для импульсной характеристики h(t) получаем:
При t * уО имеем
Â/ty - e'tt-SifitûJ = (У,* ~*-С0*(ывІ - f) . |
(5,49) |
Функция (кривая), характеризующая изменение .амплиту ды колебаний во времени, называется огибающей.
Для огибающей импульсной характеристики имеем
Нт(і) * ^ое **• |
(3.50) |
Импульсные характеристики колебательных цепей обычно за писывают так :
|
kW *Hm(t)-C0$(uot + %) , |
(3.51) |
где f0 |
- начальная фаза импульсной характеристики. |
|
Подставляя выражения (3'«"5І) и (3.47) |
в (3.48)', |
|
получаем |
^ |
|
4«ft/ |
*{ôm-(x)as[6)xtnx)]Hm(f-x)-m[6>.(t-x)*rt]dx. |
|
Преобразовав'произведение,»кооинуоов по формуле
получаем: t
. -o,t-%]dx |
l i |
! ö J x ) H j t ' 4 ^ - ^ ^ i x ^ ^ ^ ] d x . |
||||
|
~ |
'•> |
|
|
|
(5»52); l |
В перьом иктбірале имеет место сумма |
частот ІО + СО^. |
|||||
JTO означает, ч-ою лодынтегральная функция представляет |
||||||
собой произведение медленных-функций Ьт{х) |
Ят fi |
-х) |
||||
на быстро |
(«зменяющийся (осциллирующий) множитель CûS i(.M + b)t)x+ |
|||||
+ Ѵ(х)'іа9І-%].Интеграл от такой функции близок |
нулю, тая |
|||||
как площади положительных и отрицательных |
полуволн взаимно |
|||||
уничтожаются. Выражение |
(3.52) о достаточной для |
ярак-іики |
||||
точностью можно |
поэтому |
записать в упрощенном |
заде: |
|||
4» |
j]Bm(x)-f/m/t-x)-m[(b>-u>e)x |
+ |
+ V(x) + vet +ye]dx . |
( ; ' 5 3 ) |
|
Следует:помнить, что при вычислении интеграла (3.36) основное значение имеют частоты а>„ близкие к о^дяя которых множитель с аргументом ( w -ы0).г является медленной функцией.
Подобный прием вычисления интеграла в математике известен как "способ стационарной фазы".
Используя комплексную форму записи,-получаем . ,_
Если частота Ш источника мало отличается от собственной частоты со0 цепи, получим
hixfà |
I |
^ |
8т(х)-Нт({-х) е |
d*jf |
(3.54) |
где ш - абсолютная расстройка; |
|
|
|||
Вт{х)=-Ь,п(х)е^х*- |
комплексная огибающая входного сиг |
||||
нала. |
|
|
|
' |
|
Понятие комплексной огибающей является дальнейшим развитие понятш комплексная амплитуда гармонического колебания,
Комплексная огибающая - это комплексная функция-времениs |
• |
||||
модуль которой равен переменной амплитуде ßm |
(х)ь а аргу |
||||
мент-переменной начальной фазе зходного сигнале |
|
||||
Множитель ±1*Ьт |
(х)-Нт(і~я) e j 6 e a x dx ~ |
|
|
||
является Переходной комлѳксной амплитудой реакции цепи |
|
||||
J ^ [ i l |
|
d u , - ' |
|
|
|
Обозначимэту амплитуду |
f~fHX{tj. |
|
|
||
Если начальная фаза воздействия на зависит от кремени, |
то |
||||
выражение |
(3.54)'запишем |
хаким образом: |
|
|
|
|
|
і{В„(х)Ш-*)е'ШЩ |
(3.55) |
|
|
В этом случае комплексная амплитуда реакции приобре |
|||||
тает вид |
^ |
|
. |
|
|
Fb№(*)=iI'Bn>(x)-H^t-x)eJt'*'c/x. (3.56)
Реакция цепи
F b . « ) - H U W " " ^ . |
( î . s „ |
Модуль комплексной амплитуды реакции представляет собой переходную амплитуду
Ы*) * i\]*J*lHm(t-x)eJ'oadx |
j . |
(3.58) |
с
При подключении колебательного контура к источнику напря жения резонансной частоты (&и) = 0) выражение (3.58) принимает вид :
( ^ І А № 'H» Lt-x)cfx. |
( 3.59) |
Последнее выражение часто называют интегралом Дюамеля (наложения) для огибающей реакции цепи.
Выражения (3.58) и (3„59) позволяют определить искажения огибающей (амплитуды), обусловленные переходным режимом цепи о
Определить огибающую напряжения на конденсаторе, есл последовательный колебательный контур подключается к исто нику гармонического напряжения резонансной частоты.
решение
Входной сигнал |
|
поэтому 4 , = üm=comt, f{t)=0> |
и)и^ш0. |
Импульсная характеристика по напряжению на конденсатора
" По условию задачи йСО=0} поэтому для определения огибаю щей используем выражение'
Вычисляемвходящие, зинтеграл ьелмчины ».
Bm(x)=U,;- Hm(i)^e^'} |
Hm(t-x)*ne |
|
( i ' x ) . |
|
Поэтому |
|
|
|
|
F»,x№il |
и" |
dx=fU„u>.e |
}е |
äx^ |
гэг
так как Ü = ~ = ~f - где Jj- .
Такой же результат был получен ранее, при рассмотрении
переходных процессор в г, L,C - |
контуре. |
§ 14. Вопросы для |
самопроверки |
I , Для каких цепей применяется принцип наложений и
вчем заключается идея его применения?
~' ?.. Какие бывают типовые воздействия и как навьгеаются реакции на них?
3„ В чем заключается фильтрующее воздействие дельт».- функцииѵ
4. Дать определение переходных характеристик и ука зать размерности их.
5. Чем определяется вид переходной функции?
6. Какой порядок определений перзхрднах характеристик ?„Дать определение импульсных характеристик и указать
разѵ.-рнссти их.
8. Как переходная характеристика связана с импульс
ной?
9, Какой порядок оас«ета импульсных характеристик? ТО. Назвать случаи нрименекиі. интеграла Дюамеля для
расчета переходных процессов
u
Но Выполняется ли закон коммутаций при воздействии в цвйй дельта-пункции?
12* Почему для временных характеристик., спксчяятоших поведение различных электрических величии одной » ?о« же цепи„ получаются различные начальные условия?
Ï 3 . К.=<к рассчитать эреканную характеристику даіасіной цепи яерного порядка, яѳ приСэга* к дифференциальному уравнению?
І4„ Какого.вида могут оыті переходные характеристики
вцепи третьего порядка?
'15. Почему при выводе интеграла Дюамеля производят
разбиение в виде сгупенчнтого И Л И импульсного ьоадвРствий 16. Когді применяется икгеграл Дюамеля ьла :,Г'Иоаю;ихѴ
ІЗ.Закв73Ссф„ —
Основный свіыстьа ОдиисгороньbChluеиораоивипиАj
|
Ла'ллст'.ч |
|
|
|
Наки^.ование |
|
4орыула |
|
|
СьОйСТВО .'irtHUi/tKùC'CK |
1? |
|
|
|
|
&,*.иі)ч±£.«.т- |
|
|
|
Л Й ' ] Ѵ іис.ііілуоваьлѳ |
оригинала |
Если •Ht)'r- |
f~(Pl m* |
|
(ïer^intia диаде^енцкриванин) |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
Интегрирование оригинала |
ScJMff(t) |
= Y(t), то |
||
(тбсреыа интегрирование; |
|
|
|
|
Изменение масштаба незави |
|
|
|
|
симого пера.ѵунного ^творе- |
|
|
|
|
MÖ подобия) |
|
|
|
|
U , -:К1;е В ОбЛаСТИ ДОЙСТВИ- , |
|
|
Г ' \ |
|
ït.- • НОІ-О переменного (тео- |
! Г (^"^°J" |
С |
1 / 0 - ' - |
|
рь_- , запаздывания) |
|
|
|
|
Сыоін'НЙЧ £ области |
jKov.xuiöi.i — |
|
|
|
ииі'ѵ u;"0b!-;ьного ( 1'иорѳма і СЬачи;ГіН « »f J
Jinu.*6HH$ i.sjoop*«WHfcit (TOO- i f ' Yy ( x i / [+~x\>l* ^~Ft(p)'^(p), pe»:a .".ь^ртыианип)
ПРИЛОЖЕНИЕ II Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
№
п/п Оригинал
I m
21
3,
t
4
e
! 5
e
6
7 |
î- e |
-at |
|
|
|
|
|
В |
te |
|
|
|
|
|
|
9 |
t-(e |
-e |
) |
|
|||
Ю |
j |
-at |
- ti\ |
|
|||
|
/-(le |
-at |
; |
Изображение
F(P)=JJ(i)^
L
P
1
i
p +«•
J
0-
1 (c-> a )~
j
!P
fC. .
37/П |
Оригинал |
|
|
|
|
I I |
|
g+ -ai. |
|
a7i ь-а. \ ~Y |
a. J |
12
Si ft CL1 i
13
COS coi
14
Sift (lot+f)
7 5
16
I ? -at
6 'COS cot
18
Яq . SlHLOt
iШ
\
1 |
9 |
! |
|
|
|
i |
sh cot |
|
|
j |
|
2 |
0 |
i |
cAcot |
I 9 6 !!
Продолжение приложения
•
Изображение
L p(p+a)(p+e)
0 t
P StÙnf -t-OJCOSf
P cost-usùti |
Г |
Lû (p+a)2- t et)*-
Pfa
(р+а)г*сйг
OL
(p+a)z + LO*
и)
pZ-tù*- \
P
p2 _ СО*
ПРШіОійНиВ ш
Расчет переходных процессов в последовательном нонтуре г, L , С при включении источника си нусоидального напряжения операторным методом
Будем считать,что в контуре к моменту коммутации (рис.П.І) существуют нулевые начальные условиям
|
|
pL |
|
CJ^) р..jus |
i |
|
PC |
|
|
|
J |
|
Р и с Л І Д . |
|
при / = о, |
Vc((f)» о, i(o) * |
о. |
Заменим синусоидальную функцию.показательной и |
||
найдем ее |
изображение по Лаллаоу (форм.5 табл.П): |
|
Е„
e(t)~Eaus(tJ*4>)*Èair*t*
Из операторной схемы контура (рис.пл; следует, что
|
Em _і |
|
|
|
|
|
Ufr |
P-Ju |
'Cß |
Em |
/ |
|
|
r*pL |
J_ |
1С |
f-/u р*і2др*и>* |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(ПЛ .. ) |
|
Cm |
|
|
|
|
|
|
LC |
p-jco |
(р*а)г-аг*ы;~ |
LC p-jcü |
ipsôf-ï2' |
|
где |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученного изображения в габлД!:;ит, но есть |
|||||
изображения, входящие сомножителями ь |
ПЛ , поэтому |
|||||
для определения оригинала можно применить теорему сьор
тываайЬ (см.таблл), из которой слодуат,чть еолч
Г 97
f,it. |
; |
FJp)^f3(t), |
so |
|
|
tip) |
|
Fi(p)*jf,(t-T)fjT)dt. |
Примем |
|
|
—f— = eJut |
= /7W - |
|
Тогда
Используя табличный ині-егра;:.
ax
Je shêxdx = (я a t f x - / ^ r j ,
на идеи
Учитывая, чго
198
получaѳы
Вея» дейсгвигѳльнуаГчаоуь этого выражения, найдем мгновенное значение напряжения
U[t) -Re[u« |
(t)} |
-Jßsinfof+Y-r)-- |
|
||
F |
-it Г |
Г |
X |
1 |
|
--^f£-ç~ |
|
Jsüt(f |
-V)chxt* ~ |
[cos(Y-vjt-$in(*-f)\shet |
|
Если контур колебательный 'о
' и = 4*ЧІ wfatTV-Y)- |
~ |
- s ~ |
a |
!sùï(V~ 4f)cosuj * |
ZOJC |
ZuL |
I |
|
|
Em
-%[$siß(4>-r)t£aK(4>-f)]su,U,i\. л
ПРИЛОЖЕНИЕ ІУ
Переходные процессы в последовательном колеба тельном контуре при "включении источника с
линейно-нарастающей э.д.о.
t
В последOBÛÏельЧЫЕ колѳбаселькый ' ) кон тур ^рио.П.2; включается источник напряжения с линейяонараотающей э.д.о.
199