книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfв) путем суммирования полученных результатов полу чают искомую реакцию цепи на заданное воздействие.
§ 3. Воздействие прямоугольного импульса на
колебательный контур
Пусть требуется определить методом наложения эаксн изменения тока в последовательном колебательном контуре при воздействиина него напряжения в виде прямоугольного видеоимпульса (рис. 3.2,а). Представим прямоугольный импульс напряжения в виде суммы двух пункций U, и иг ,
I иш |
|
\ um |
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
а) |
|
6) |
|
|
|
|
и |
|
|
и |
|
|
|
|
|
t |
|
|
! |
* |
|
|
|
о |
tu |
|
|
||
и |
о |
|
и |
||
|
|
|
|
|
|
Рис. |
3.2,а |
|
|
, |
гЧч ... |
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. |
3.2,6 |
|
Функция U, |
является постоянным напряжением, которое под |
||||
ключается к ЦѲПЙ в момент времени |
/ = О и действует на |
||||
промежутке |
времени |
от / = |
0 до / = » |
(рио. 3.2,6). |
|
функция U2 |
также является постоянным напряжением, но |
||||
имеюидаы противоположный знак |
и включаемым в момент вре |
||||
мени Лц . |
|
|
|
|
|
Как известно, при подключении последовательного колебательного контура к постоянному напряжению ti,-V в контуре.возникаетток, который определяется следующим выражением:
Этот ÏOK |
протекает в цепи в промежутке времени от t * D |
||||||||
до t =0 0 |
и равен искомому току i(t) |
в промежутке вре |
|
||||||
мени от |
/ = 0 до / - t u . Согласно рис, 3.2,6 можно считать, |
||||||||
что в момент времени t - tv |
к контуру подключается еще |
|
|||||||
одно напряжение |
иг~ -U, которое по направлению противопо |
||||||||
ложно И< |
L равно ему по абсолютному значению. |
|
|
|
|
||||
Поэтому реакция цепи |
на воздействие ііг будет |
иметь |
|||||||
такой же вид, как и реакция на воздействие U, |
, но |
опаз |
|||||||
дывает на время tu |
и имеет противоположный знак: |
|
|
||||||
|
m - - j |
~ |
4 " . , ( t - Q ) . |
|
|
|
|
||
Истинное значение тока в интервале времени от |
І = tv |
до |
|||||||
t = 00 будет равно |
сумме токов і |
и ^,т . е . |
|
|
|
||||
•Па рис. 3.3 изображены графики токов lf , ct |
и І |
|
|||||||
в контуре приусловии, что постоянная воемени контура |
зна |
||||||||
чительно меньше |
продолжительности импульса tu . |
|
|
|
|
||||
Если цепь имеет |
поотояниуы времени,значительно |
большую |
|||||||
длительности импульса, то кривые токов і,, іг и |
і |
в |
|
|
|||||
контуре будут иметь вид, приведенный на рис, 3.4. |
|
|
|||||||
В этом случае амплитуда колебаний зависит от соотно шения длительности импульса и период свободных колебаний.
Увеличение |
амплитуды колебаний при t > t u |
происходит тог |
||
да, когда |
длительность импульса |
tu равня нечетному чис |
||
лу полупериодов. |
|
|
||
Если продолжительность импульса мала, причем |
||||
|
и |
|
|
|
е'^ |
* / , si/i CDJU * DJU |
, cos ucst, |
* / И |
|
при t > |
tu |
ток в цѳпи определяется вырааѳнием |
||
i(t)~U
§ 4. Типовые воздействия
Ч
a) ЕД!Щшшмзт^^^
Входное воздействие вида
/,і |
JO при / < О |
|
' М Ѵ |
~ [ І при г? > 0 |
(3.1) . |
называют единичной ступончатой функцией, функцией сайда или единичным толчком (рис. 3.6,а),
Если на вход цепи подается воздействие в виде функции ХевисайДа яѳ в момент времени t = Q, а с опозданием
на время t, (ри<.3.6,0),но сигнал записывают |
следующим |
образом : |
|
'О при / < t.. |
|
і при / >t] |
^3"2' |
154
Если включение единичного сигнала происходит с оп режением на время t2 > то входной сигнал в таком случае записывают так:
|
|
|
f o при |
t<-tt |
|
(3.3) |
||
|
|
1.1 при t>-u |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
4 |
Ktl |
|
|
|
У |
Ht-tj |
|
|
|
1 |
• |
— |
|
4 |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|||
|
|
|
t |
|
О |
|
|
L |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис Зоб. |
|
|
||
|
Функции (3.2) и (3.3) называют смещенными. |
_ . |
||||||
|
Единичная ступенчатая функция |
имеет • разрыв |
непрерывнос |
|||||
|
первого рода, причем значение функции |
Б точке раз |
||||||
|
рыва не определено. Однако в ряде случаев этим функция |
|||||||
|
приписывают в точке разрыва вполне определенное значен |
|||||||
|
причем выбор того или иного значения связан |
с особенн |
||||||
|
ми решаемой задачи. В курсе ТЭРЦ обычно функцию Хѳвисай |
|||||||
|
записывают |
следующим образом: |
|
|
• |
|||
|
1 ^ |
= f o |
при |
t |
< О |
|
|
|
|
|
[ і |
при |
t |
д . |
|
|
|
Постоянное напряжение U (рис. 3.7,а), к которому под ключается цепь в моме:'т £ = 0 , называется ступенчатым воздействием или функцией включения постоянного напряже ния, функция включения аналитически записывается следующ образом:
155
[_U при t > 0 ,
Если цепь отключается от источника э.д.с. с напряжение Ü в момент І s 0 (рис0 3.7,6), то такое непряжение называют функцией сброса или функцией отключения и за сывают так:
/ |
л |
• I ,/'\ [U |
при |
t |
< О |
|
М0 -'></-'А>"[о |
при |
/ |
> 0 . |
<3'б> |
||
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
а) |
|
61 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.7. |
|
|
|
|
|
Функцию |
0).f(o-t)* |
I при |
^ |
< |
О |
|
|
О при |
І |
> |
О |
(3.7) |
|
||
|
|
|
|||||
называют единичной функцией сброса (отключения). |
|
||||||
Из определения единичной функции следует,что |
умно |
||||||
жение любой непрерывной в интервале времени от t |
= - |
||||||
до t - °о |
функции f(t)t |
показанной нарис. 3.8,а,на |
|||||
единичную функцию превращает ее в разрывнуюсо следующи ми особенностями:
при І < О ри t > О
156
Это свойство единичной функции называв і'ся формирую щий и графически показано на рис. 3.8.
Рис. 3,8,
Единичная функция позволяет получить аналитическое вы ражение функций, заданных графически. Так,функция^прад.:- ставленная на рис -3.9э может быть изображена в виде":
|
— i |
FU3) |
|
F (оі I |
F. (t. |
а |
'j |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.9. |
Операторное изображение единичной функции равно -г •
г
15?
|
|
б) дальта-функцин |
Дельта-функция - это функция (рис. 3.10,а), опреде |
||
ляемая |
1 |
выражением |
|
|
jj |
|
1» |
|
|
|
t |
|
t |
|
0. |
0 |
|
|
5) |
|
|
|
зло. |
|
||
t |
Ф 0, |
• (3.8) |
|
t |
= 0 , |
||
У'' |
|||
|
|
||
причем интеграл |
|
|
|
|
|
(3.9) |
|
Значит, дельта-функция - это такой импульс, у которого амплитуда ООСКОНЧОНО большая при бесконечно малой продол жительности, а площадь, ограниченная импульсом\ равна единице. Дельта-функцию иногда называют функцией Дирака, импульсной функцией первого порядка или функцией единично го импульса первого порядка.
Смещенная дельта-функция (рис.ЗЛО,б) определяется
равенством |
|
|
|
|
"О при t |
4 |
ti |
|
_<» при t |
- |
tf ' |
ay«j «этом |
интеграл «= |
|
|
|
IÔU-tt)dt4. |
|
|
|
-о» |
|
л |
Если |
площадь импульса воздействия о и не равна еди |
||
нице, то такое воздействие называют импульсным воздействием 4 обозначают ffa(t) - Sa äff) .
Условия (3.8) и (3.9) с позиций классического катеѵатйчѳского анализа оказывается несовместимыми. Дельта-фун ция относится к классу так называемых обобщенных ФУН Й ее обычно рассматривают как предел поолѳдоват.яя ѵ-ѵот дельта-образных гладких функций, таких, лзпрішвг.
зек как |
|
|
oft) в {СтА(Ц)*ит |
: |
с».II) |
Причем,при / = 0 |
|
|
а пра І ?t О |
|
|
Um |
À |
:~\ - 0 |
|
я
/ f f |
/' |
I I I |
Таким образом.; функция, определяемая ; ак предал по
ледовательности функций (ЗЛО) при /) ^
у
является функцией Дирака» Графическое изображение функц (ЗЛО) гіри различных Л приведено нарис. З.П,а.
я-s
•ai I
Рис. ЗЛІ.
Иногда функцию Дирака аппроксимируют разрывными функци ми Хеви^айда. Последовательность функций
153