книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfПример 3
При установившемся режиме в схеме рис. 2.16 замыкается рубильник Р, который включает конденсатор,не имеющий заряда. Известны параметры всех элементов и э.д.с. источ-
п и к а : |
const. |
Ыо-)~о]. |
Рис.2.16.
Требуется найти законы изменения всех тонов и напр жения на конденсаторе при переходном режиме.
Решение
. Выберем положительные направления токов, как указано на схеме.
Начальное значение напряжения на конденсаторе
ис{о+)~ис{о-уо.
Определим начальное значение тока в катушке индуктив ности. До коммутации в цени был постоянный ток, величина которого • f В первый момент после коммутации согла но первому закону і оммутации в катушке будат тот же самый ток,- что и Б последний момент перед коммутацией, то есть
Операторная э.д.с. источника r f \ Е
Нарисуем операторную схему (рис.2.17) и составим систе му операторных уравнений по методу уравнений Кирхгофа.
1,1Г) г,
±_
Рис. 2.17.
Решим полученную алгебраическую систему уравнений
относительно операторного тока I, (р): .
г их _ LCEp* /[г CE f L и (о)]р * Е .
IflF/ г
• " P[r,LCp* f (r,rtC *• Dp * r, * гг
Для определения оригинала, то есть тока переходного процесса /, , воспользуемся теоремой разложения;
F,lp) LCEp* |
+[ггСЕ *Lijü)]p |
t} |
, |
|
Fjp)-plrtLCpl |
* (r,rtC*L)p |
*r, |
>/•, J . |
|
Произведем.вычисления, необходимые длн определения і Находим корпи уравнения рг(р) =0 .
r,LCp*+(г,ггС'*L)p |
- |
* г,* гг=0 . |
|
|
M r |
|
J(nf^LF^lt,LC(r, |
|
|
- .- ' |
*.Ç^L |
2rtLC |
tr, .)_ |
|
Далее вычислнеи: |
f/(p) =3pz,-t 1С + 2ff,r2C |
)p • /} tf2 |
||
Затем нужно найти /)[р2)і\ |
£2(р2) |
j |
для этого в |
|||||
выражения для t,(p) |
и FJ (р) |
вместо р |
подставим зна |
|||||
чение второго корня |
знаменателя рг |
и, наконец, нужно |
||||||
найти Ft(pi) |
и ?г(Рі)> |
Для ч ѳ г 0 |
в |
выражения для F,(p) |
||||
и F2'(p) вместо р |
подставим |
значение третьего корня |
||||||
знаменателя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГІОіучим, например, |
выражение |
для |
Ft(ps) . |
|||||
Окончательно выражение для'г, запишется следующим
образом: |
_ |
Fl(p2) |
w |
f(fPj) |
||
|
' |
' С,*гг |
Ft'(Pl) |
F;(P}) |
||
Закон измѳнония напряжения на конденсаторе получим, |
||||||
составив |
по второму закону Кирхгофа |
уравнение для внешне |
||||
го контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if** |
"с = Е, |
|
|
откуда |
ис |
= £ - |
І,Г, . |
|
||
Далее |
ti = |
Г^. |
• |
|
|
|
И, наконец, |
|
|
|
|||
|
|
|
іг - |
I, - Ls . |
|
|
Выкладкипри определении і, получились громоздкими. |
||||||
5то объясняется |
тем, что |
не были взяты конкретные значе |
||||
ния параметров |
цепи и напряжения источника, а задача ре |
|||||
шалась в буквах. По этой же причине нельзя построить при мерные графики изменения переходных неличин, так как рас сматриваемая цепь имеет два реактивных , 'элемента и харак
тер процесса будет определяться соотношением параметров |
||
всех элементов. Если {г,ггС+L)z> 4-t,LC(r, ?гг), то корни |
||
и |
РІ |
:; |
|
будут вещественными и лерехоДЕі. процесс - аперио |
|
дическим. Если же (г,ггС+1)"<q-r,LC(t1+r,)pb корни - комп ные, а пероходны 1 процесс - колебательный.
ç |
9 , Особенности расчета в случае использо |
|
|
вания комплексны?; изобретений воадейстг-^ " ' |
|
|
ву.ющих на цепь гармонических э.д.с. |
|
Рассмотренные в § 8 |
пути расчета пригодныпри любой |
|
форме |
э.д.с. источника. |
|
В случае синусоидальной э.д.с. источника |
||
можно |
госпользоваться изображением э.д.с в виде |
|
|
_ F |
!^ADS V + Р sinY |
|
-m |
р' t со* |
и тогда никаких особенностей не будет, но будут получать ся сложные операторные функции токов. Поэтому часто используют операторное изображение комплекса мгновенного значения э.д.с. Комплекс мгновенного значения э.д.с.
Тогда операторное изображение э.д.с. (опегаторная
э.Д.с) |
с |
( \ А |
|
|
То есть можно |
сказать, что в этом случае исполь |
|||
зуется |
"двукратное |
изображение", аименно, |
сначала |
|
и затем |
,_ |
, . |
' |
. |
к это означает что при определении тока сначала
р
будет найдено операторное изображение комплекса мгновен-*- ного значения тока и переход от изображения к оригиналу даст комплекс мгновенного значения тока. То асть с помо щью тѳорамы разложения еще не будет найден ток переход-' ного процесса. И чтобы его найти,нужно будет взять коэф фициент при мнимой части комплексного числа, полученного при помощи теоремьц разложения. В связи с последним возникает еще одна особенность - особенность учета не нулевых начальных условий.
Если начальные условия при составлении операторных уравнений учитывать в виде LL(O) И Ucp°^~ (не умножая на f ) , то при переходе от-комплпкеа мгновенного зна чения к мгновенному значению ненулевых начельные уоломія
133
на будут учтена и задача будет решена неверно. Следовательно, при составлении операторных уравнени
начальные условия необходимо ,/ѵчожить на j .
Покажем изложенные особенности расчета при синусо
:
•'<мьной а.д.с. на конкретном примере расчета 'зхемы рйс. 2,18,.
Т.
-ф-
Рис. 2.18.
В цепи до коммутачии иыл установившийся режим, д
которого известно: |
|
|
Г, - Гг = 20 Ом; |
CJL "'= 30 Ом; |
|
CJ = ш '/- ; |
в(і) = /2?sin (cjt - J0j В. |
|
Требуется найти ток переходного процесса. I ; Расчет цепи до коммутации. Комплексная амплитуда тока
'Мгновенное значение тока
I =2,54 sùi(U -&6°50') А .
Ток в цепи в последний момент перед коммутацией
і(й.).*2,545іп(-86'50') = -2,55 А .
2 ) Начальное значение тока.
.13*
Согласно первому закону коммутации
3)Дифференциальное уравнение цепи после коммутации.
4)Операторное уравнение.
Комплекс мгновенного значения |
э.д.о. |
|
|||||||||
|
' |
|
sI \ г |
J-wt |
,„-,„-jso' -lent |
|
|
||||
|
eK(t)=tme' |
|
=іг?е* |
-е' . |
|
|
|||||
Операторная |
э.д.с. EKtp)===èK(г) . |
|
|||||||||
Начальные условия необходимо умножить |
на j,^ поэтом |
||||||||||
при этоміх(/»9 |
~ операторное изображение комплекса |
||||||||||
мгновенного значения тока. |
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
UP)^LPUP)^LL{O,)=-EK(P). |
|
|
|
|
|||||||
5) |
Операторный |
ток |
|
. |
/ |
, |
|
||||
•4*. |
|
~ |
. К + LP |
|
~ |
Ъ + |
|
|
|||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 6) Оригинал тока - комплекс мгновенного значения |
|||||||||||
тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим теорему разложения : |
|
|
|||||||||
/ / / ) - г - |
Ш Ы - е ^ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Fl(pK) |
8 |
у |
|
|
|
|
|
числитель Я(рк)^ Em |
V L |
i(o)(p~Ju>), |
|
||||||||
знаменатель Fz(p)=(p-Jco) |
|
[rt+Lp), |
|
|
|||||||
нули знаменателя |
ft-ju; |
ря = - |
-г^-~ |
-~ZlO'fc . |
|||||||
Производная знаменателя |
|
|
|
||||||||
Проияводная знаменателя при подстановке первого ну-
Производная знаменателя при подстановка второго ну
ля , |
jx'io' |
-jWzo' |
ъ(Ри)=-Ъ-]ь?1=-Зб/е |
=36/е |
. , |
Чиолитшіь при подстановке первого нуля
'"' |
• |
-Jso° |
. Числитель при цодсумшов.ко второго нуля
Таким образом,
ЧИР*1* |
-Hot |
j(tot-106'io') |
Ivo'Me' -Ilot |
7) Ток переходного процѳсса-і^)(мгновенное значение
т.е.
i(t)-5, Sä sin (eût -юб 'zo') + У, 3& s in чо°<*с>'-е~
JTIU |
* |
-ilôt |
|
|
л |
ш |
L(t)=3tSZSLn(u>t-i06°zo')+ojse |
|
A. |
|
|
§ 10. Свободные колебания в связанных контурах |
||
• |
• . Рассмотрим свободные колебания |
в связанных контурах |
||
в том случае, когда энергия вносится в первый контур припомощи предварительно наряженного конденсатора (рис.2.19), Поатому начальные условия имеют следующий вид:
і,(о)=о,
Составим уравнение баланса напряжений.по второму за кону Кирхгофа. Параметры контуров Г L, С будем считать одинаковыми.
136
Учитывая, что . .
получаем , |
. |
dé |
|
Разделив каждое из уравнений на LC |
и обозначин |
|||
£--г$ |
|
f - - « , |
|
|
получим |
|
|
|
|
du, |
0 ^ du. |
г |
ЫгЦг. |
Л |
-Jp-+*à^-+(*t4+*-âït-=0t |
|
I ( 2 ,30) |
||
Рис. 2,19.
Перейдя от функций времени ut(t) и U,^JK их изображе ниям, по Лампласу, получаем:
137*
л г
Ц,(р)[р *а^р*ш, )*Щ(р)кр^КрЕ.
Один раз сложив, а другой раз вычтя полученные урав нения, найдем
( Ц ( ?)1 Щр)} [ fl* 4К)+Я$Р |
£ [р('+к)+* &] > |
Разделив первое |
уравнение |
нь ji-д а второе на/^л |
|
и обозначив |
„ |
' г. |
|
£ |
я |
- |
г |
^случим
?дѳ |
Г л. ^і7 |
ГІГ" " F |
- 7 |
( 2 . ЗГ) |
|
- |
- ilrfr "(—и V |
> |
Один раз сложив, а другой раз личтя полученные ура нения^ найдем:
///» £ Т _ _ £ і і _ ' |
А |
_ _ І |
138
0,5Ее ' casùjft
Рис,2.20.
139