книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfU(p) |
|
л |
|
|
|
|
|
|
р г |
* гор |
t и>/ |
|
|
|
|||
где кроме оператора р , |
все вѳличилы-вещѳствѳнные поло |
|||||||
жительные числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Привести к табличному виду |
заданную операторную |
|||||||
Функцию можно, разложив'квадратный многочлен р''12(fp * |
||||||||
на простые множители (р -р,)(р |
-р2) |
, |
|
где р, |
и рг |
|||
корни, квадратного |
уравнения |
|
рг |
* 20р + и>% = О . |
||||
Тогда получим : |
|
|
. |
д |
|
|
|
|
U(P) |
= |
(р -р,)(р^Рг~) |
|
|||||
Согласно таблице оригиналов и изображений |
(приложе |
|||||||
ние П, строка 9) f |
|
I |
|
t |
|
_ |
-M) |
|
Б нашем случае |
О = ~pf ( à |
- |
-рг |
• |
|
|
|
|
Вчислителе функции б^имеется постоянная величина
А.Вспомним, что умножение изображении на постоянную величину соответствует умножению оригинала да ту же ве личину. Такимобразом, -оригинал аадаиной функции запи
шется в виде: |
. |
|
или |
Fl К |
|
|
гі "г |
|
Следует заметить, что прежде чем попользовать |
табли |
|
цу, необходимо выяснить,какое преобразование положено |
в |
|
ее основ/, a КЫѲІІНОІ |
преобразование Лапласа или Карсона. |
|
2. Использование теоремы разложении.
Кратко напомним вывод теоремы разложения, данной в курсо высшей математики. Существуют различные способы вы вода теоремы разложения.
Один из них - использование теоремі. о вычетах. Сог
ласно этой "геороыо, ѵйіій |
f(p) |
?= f(i'> |
; то |
f(i) e L |
Reil riß) |
s-31 •' |
, |
ции |
где |
~ число особых точек или число полюсов функ |
F(p). |
|
При анализе переходных процессов в большинстве слу
чаев F(p) |
является правильной рационалыюй дрооьы. |
||||
Этот случай и рассмотрим. |
с/ |
\ |
/ я , |
||
|
— |
|
ГііРі |
||
Итак, полагаем, что изображение г(р/ ~ ~ff(Ôy является |
|||||
правильной рациональной дробью, то есть что числитель и |
|||||
знаменатель функции F(p) |
|
представляют собой многочлены |
|||
F1{p)^amf^am.ipm'\. |
|
. . |
+а,р+а0> |
||
Ш = Ъ Р Я • |
• |
• |
|
|
|
и выполняются условия: |
|
|
|
|
|
1 ) |
т<п) |
|
|
|
|
2) знаменатель не имеет кратких нулей. |
|||||
В этом случав вычисление вычетов производится по фор |
|||||
И, значит, оригинал функции Г[Р) |
определяется вы- |
||||
Выражение (3.37) носит название теоремы разложения
(или формулы разложения). |
|
|||
Здесь |
|
|
|
|
р - корни уравнения Fä(p)=0) |
то есть нули знаме |
|||
нателя функции F(p):, |
|
|||
'С'(Рк)~ числитель функции F(P) |
при подстановке |
|||
А-го нуля знаменателя; |
|
|||
Г2 (ßK) |
- производная знаменателя функции F(p) при |
|||
подстановке |
л" |
- го нуля знаменателя. |
||
Число членов |
суммы (3.3?) равно числу нулей знаме |
|||
нателя. |
|
|
|
|
Теоремой |
разложения широко |
пользуют..^ на практике, |
||
и ее принято рассматривать как осьовной математический аппарат для определения оригинала поего изображению.
Пример
ДаШ: |
fin). |
і |
. |
" |
|
%'jP^û)ip^o) |
|
' |
|
Найти оригинал L t\l}J. |
используя |
т<-->»ьиу разлило-• |
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I . |
Убеждаемся в том, что показатель |
|
степени р чис |
|||||||
лителя (/77 |
= О) меньше.показателя степени |
р знамена |
||||||||
теля (У? |
= 2) и что знаменатель не имеет кратких нулей, |
|||||||||
то есть |
теорему разложения применить можно. |
|||||||||
г. |
F,(p) |
- |
/; |
|
|
. |
|
|
|
|
Рг(р) |
*(р*го)(р>50) |
|
|
|
rip)J . |
|||||
3. |
Нули знаменателя [ полюсы функции |
|
||||||||
|
Fjß) |
~(р*20)(р*50) |
=0 |
|
|
|
||||
4. Производная знаменателя |
|
|
|
|||||||
|
Fg[p) |
в |
р * 50 + р |
* ZU = 2р |
+70 . |
|
||||
5. Оригинал согласно |
теореме разложения |
|||||||||
|
f |
W - k |
|
F2'(pK) |
e |
2(~20)t70 |
Ѳ |
|||
|
|
|
|
1~ |
o50* |
- ± g - 2 o t - 'J- p - s o t |
||||
|
|
|
|
2(-50) + '70 c |
|
~ 30 |
|
30 |
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
_ |
J |
|
= |
± |
p ' 2 0 t |
J± |
|
p-sot |
|
|
1р + 20)(рф) |
• |
30 |
e |
Me |
|
• |
||
§ 8. Расчет переходных процессов операторным |
||||||||||
|
|
|
|
методом |
|
|
|
|
|
|
. , Укажем два возможных порядка рас ізс:а для случая |
||||||||||
ненулевых начальных условий. |
' |
|
|
|
||||||
I , |
Определить начальные |
условия. |
|
|
||||||
2) Состаиить систему дифференциальных уравнений |
||||||||||
цепи после коммутации |
(по методу уравнений Кирхгофа или |
|||||||||
методу контурных.токов). |
|
|
|
|
|
|||||
3.)Перейти от дифференциальных уравнѳий к их изобра |
||||||||||
жениям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
Полученную систему операторных алгебраических |
|||||||||
уравнений решить относительно неизвестных изображений. |
||||||||||
5 ) |
От изображений перейти к оригиналам, используя |
|||||||||
таблицы или теорему разложения. |
|
|
|
|||||||
п.
1 ) Определить начальные условия.
2) Нарисовать операторную схему цепи после коммута
ции.
3) Составить систему операторных уравнений с помощью одного из известных методов расчета по методу уравнений Кирхгофа, методу контурных токов,методу узловых напряже ний .
4)Полученную систему уравнений решить относительно известных изображений.
5)От изображений перейти к оригиналам.
Указанные пути рошения пригодны как при нулевых, так и при ненулевых начальных условиях. Но в случае нулевых начальных условий задача может быть решена гораздо проще
Выше было показано, что при нулевых начальных усло виях уравнения для изображения (для операторных токов и напряжений) при замене y c j на р точно поьторяют урав нения, составление для той же цепи комплексным методом, для комплексов токов и напряжений. Операторное н іпрнжениѳ
на любой ветви равно операторному току в этой вѳгзи, умн женному на операторное сопротивление. Поэтому можно исполь зовать метод преобразований, то есть можно найтг эквива лентное операторное сопротивление при параллельном сое динении ветвей, при смешанном соединения и при более сло жном соединении,например, соединении треугольником. За тем действовать как при расчете цепей постоянного тока
или при расчете цепей переменного тока комплексным методом, а именно, по закону Сма найти операторный ток в неразветвленной части цепи и далее по законам Кирхгофа определить опораторныд токи во всех ветвях.
При ненулевых начальных условиях применению методч преобразования мешают внутренние э.д.с, которые не поз воляют з общем случае определить эквивалентное оператор ное сопротивление цепи. Здесь идет речь о применении фор мул преобразования пассивных цепей. Если же использовать формулы преобразования активных ^етвей, то исчезают пре пятствия, не позволяющие применять метод преобпазоваьий и при ненулевых начальных условиях.
123
В случаѳ необходимостиопрадѳлѳния тока в одной вѳтви
следует применяв гоорѳну обэквивалентном генераторе в |
|
операторной форме- |
,• ^ |
|
Ш*ЪТР№"№ |
' |
(3-38) |
||
Здесь trlp> |
~ операторная |
э.д.с. эквивалентного ге |
|||
нератора, Zr(p) |
- |
операторное сопротивление |
эквивалент |
||
ного генератора, Ік(р) |
- операторный ток ветви, в кото |
||||
рой нужно определить |
ток, ZH(o) |
•• операторное сопротив |
|||
ление той же |
ветви. |
|
|
|
|
Рассмотрим несколько примеров расчета |
переходных |
||||
процессов операторным методом. |
|
|
|||
іфИМэр I
Для схемы рис. 2.14 известны параметры элементов f, L,C' Известно также, что г < и Uc(û.) -О .
Требуется найти закон изменения тока при переходном процессе.
РоЛоНИб |
|
|
Начальные условия нулевые. Это ясно из того, |
что |
|
UC(C.) - О и по риоукку видно, что до коммутации |
ток |
|
в индуктивности был равен нулю |
[і(0.)=О] |
|
Следовательно, Uc(0+)-0 |
и . i(o+) -Q. |
|
124
Операторное сопротивление цепи
Операторная з.д.о. источника
Операторный ток согласно закону Она в операторной
форме
Для определения тока как функции времени нужно перейти от изображения тока к его оригиналу, для чего воспользуемся теоремой разложения 3 . 3 7 , то есть запишем
т о к в в и д в / л ) . ^ JJÉL
Определим нули знаменателя
Обозначим
ZL
Тогда
Найдом производную знаменателя f2 (р) * 2ß * ~г
и подставим в н е е нули:
Таким образом , * * J
I2S
Итак,
І(0*77- |
e ' â t s w u « l • |
L (Оси
Полученное выражение совпадает с выведенным для этого случая классическим методом в § 15 первой главы.
Пример 2.
Для схемы рис. 2.15 известно:
|
|
|
|
Рис. |
2.15. |
|
|
|
L |
~ 100 |
В; |
Г, = |
600 |
Ом; |
С, = |
50 пФ; |
|
Гг |
= I 0 |
3 |
Ом; |
Сг = |
100 |
ПФ; |
U£(0.)= |
0. |
Требуется найти закон изменения напряжений на емкос ти Cj (ѵСі) и тока в неразветвлѳнной. части цепи ( І, )
при переходном процесса.
Решение
Начальные условия нулевые, и требуется найти ток в неразвѳтвлѳнной части цепи, поэтому проще всего исполь з о в а т ь метод преобразований, то есть операторный ток 1
записать согласно закону Ома в операторной форме, опре делив предварительно эквивалентное операторное сопротивлѳ* ние непи относительно зажимов генератора.
Значит, f((p) = jffrjj- , j
|
2 T ТгР |
г<ггс,егрг+ |
ггсгР trtctp |
|
С<р(ггСгр+1) |
Операторная э.д.с. источника • Е(р)
т ™ |
г / , |
Щг*СгР+-1) |
+г2с,р / /_
f
- -jr •
ЦР)' "г,г,С~Сгр** (ггСг /Г,Сі |
*ъЩрТг |
Операторное напряжение на емкости Cf |
в связи с |
нулевыми начальными условиями определяется по формуле
значит, .
|
|
и ( р |
) * |
|
|
|
|
Ü&&LLU- |
|
|
||
|
|
|
|
|
Pli-A С,Сгр! |
|
*(ггСг |
tr,C,f |
ггС,)р * t. |
|||
Г |
Подставим численные |
значений |
|
|
||||||||
С |
|
|
10 |
-• 100 ••10'Ю' = /О/О'10-10 |
; |
|
|
|||||
г |
|
|
г |
|
3 s |
|
1гІг |
|
3 |
jf) ~& - |
%1 |
. /п ~,s |
Г,Г |
гС,Сг |
|
3 enSO. in• |
. m |
||||||||
|
|
= |
=600'10* |
|
|
10''• 10'• 10~ |
=3-10' |
|||||
riCl*r£i |
^гС1 -Ю5<иОЮчг<-600-50 |
Ю-1гЧО*50Ч0~'г=18Ч0~* |
||||||||||
|
Следовательно, |
|
|
, |
-А > |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ис,(р)~~ |
|
|
100 (Ю 10 у |
+ /} |
||
|
|
|
|
|
|
ЭЮ-'5р3 *18-10->р' |
р ' |
|||||
|
Для определения оригинала |
Uc |
операторной функ |
|||||||||
ции |
|
UQJP) воспользуемся |
|
теоремой разложения ( 3 . 3 7 ) . |
||||||||
Числитель
F,(p) = іоо(іо-/о у н).
Знаменатель . , |
,r , |
-« |
, |
Fz (p) |
= 3 -10 p |
+ 18-10 |
p* *p . |
Найдем нули знаменателя, то есть корни уравнения
рг + 6-Ю7р +3,33 -Ю* =0.
127
р-*.-3-Ют£Г 9-Ю"-3.33 /О'4 = 3-107t2.38ID7.
.P2°-6,7/os ; .рл*-53,а-ю'.
Производная знаыанахѳдя
f/fp) -S-fO'*p* +36 10'*р tl.
Зіоіівиахоль Функции Uçjfjuuean іри нуля, значит Uc (t)
будет состоять |
на трех слагаемых. Подставим в числитель |
и в производную внаменателя значения трах нулей [0, -b.ZIO' |
|
и 53,6.-ю']. |
|
|
||
и |
п) |
- ,пп , №[f0!0~s(6.2 |
W'itf] |
.,-«'• |
«f, |
|
'9-Ю-*(-6,2 -I06f |
- 36 /О'* |
6,2 /0s 11 |
, |
W0[10 <0'*(-53.8 10s)H] |
|
в-яЛ-«Ч |
|
9] Ш'15 |
(-53.8 tO6)2-36IO'$-53.8 |
10s Ч |
|
|
Ноодѳ выполнения всех арифметических действий во
втором и в третьем слагаемых получим
Ток в нѳразветвлбяной части цепи одновременно являет-*
-.1 и током в емкости |
Сі , поэтому для его определения |
||
ьеиподьзуемся зависимостью |
|
||
|
/ |
= Г ^Мік . |
|
п • |
' |
' dt |
|
і. *50 |
«Г*' 46 6,2 iD6ß-12101г 58-53.8 /оѴШш |
' - |
|
Для проверки правшаносхи решения поставленной зада чи найдем значения Ис, и i f для моментов времени / = О и t - оо. об .зыракаимаи (а) и (х*)*
Затем те же величины и для тах же моыонтов времени і.аидед лб анализа «схемы и сравним результаты.
>ѵ Ііѳрѳход- |
|
|
N. и ыв Вв- |
"•a ( s) ; |
1< (А) |
\ . |
янчяны |
По выраже |
Из анапрзй |
По выраже |
Время |
>ч |
нию ( * ) |
с хѳмы |
нию (Jt-^t) |
' t - o , |
О |
О |
109. Юі - |
|
|
|
|
|
- О.109 |
Из анализа схемы
i i : - i O O _ _ 0 i j 9 8 ' еоо
100 |
Е - 100 |
О |
» о |
Анализ схемы. До коммутации оба конденсатора были нѳзаряжѳны (в условии задачи сказано, что Цс (0.)-'0 , а
в отношении того, что ^сг(0-)=0 |
"говорит" |
схема). |
||||
Значит, |
ЦСі(0.)*0 |
и |
UcJoJ =Р . |
|
|
|
Согласно второму закону коммутации |
|
|||||
|
Uc(°*) |
= Uc(0.) |
, |
поэтому |
||
"с, fa) |
* UCt(0.)*0 |
и иСг(0f) |
~ иСг (0.) |
=0. |
|
|
Первый момент после коммутации |
t = 0. Напряжение |
|||||
на сопротивлении/^ Ur/°+)°UcJo*№* следоветѳлъно, |
ток |
|||||
в /} равен нулю, то есть при/= 0 появившийся скачком
в цѳпи ток замыкается по контуррѵ источник, >"f. Cf я Cz . Величина этого тока . . . £
Ф*) - т у
Закончился переходный процесс t s °° . |
Ток в d |
должен обратиться л нуль, то есть, 'і,\ігж |
= 0, значит, |
не будет тока в параллельных ветвях схемы, то есть все
токи стали равными нулю. А |
коль окоро ток в Гг равон |
нулю, то и напряжение на І"2 |
, следовательно, и на Сг , |
равно нулю. То есть во время переходного процесса конден сатор Сг сначала заряжался, а затем полностью разряжался. Последнее означает, что за время переходного процесса
конденсатор |
Cf |
зарядился до напряжения источника, то |
есть и с \ . |
=£. |
129 |
9.3ак.730оф. |
|
|