книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях

ГЛАВА ВТОРАЯ

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ I« Общие свидания

Общая задача анализа переходных процессов в электри­ ческих цепях с сосредоточенными параметрами при произволь­ ной форме воздействующих э.д.с. сводится к решению неод­ нородной системы интегродиффѳрѳнциальных уравнений.

Для решений линейных интегродифференциальных уравне­ нии в теории электрических цепей нашел широкое применение операторный метод. ;

Начало применения метода для решения линейных диффе­ ренциальных уравнений было положено исследованиями М.й.ващвнкйзахарченко, который в середине XIX века на­ писал монографию "Символическое исчисление и приложение его к интегрировании линейных дифференциальных уравнений". Несколько позднее английский инженер О.Хевисайд использо­ вал операторный методдонрешения электрических задач. Ііри этом им не было сделано строгое математическое обос­ нование метода. Эта задача была впоследствии выполнена рядом отечественных и иностранных ученых: А.W. .Данилевским, А.Л.Дурье, A.M.Эфросом, Д.Р.Карсоном, К.В.Вагнером и др.

операторный метод применяется не только для решения зсдач анализа, ко и зля обоснования методов синтеза линей­ ных электрических цепей.

$ <Üf ÜÜMOBHUB пол^дімия операторного метода

В основе операторного метода лежит теория функций комплексного переменного. Сущ.іоотг операторного метода заключается в том, что некоторой заданной функции J^(i)

комплексного переменного / ) = 6 f / a J , называемая изображе­ нием. При этом оказывается, что производные и интегралы от оригинала выражаются алгебраическими функциями от изоб ражения и начальных значений самой функции f(t), ее про­ изводных и интегралов. Поэтому система интѳгродиффѳрѳнци-

альных уравнений относительно оригиналов^заменяется систе­ мой алгебраических уравнений относительно изображений. После решения полученной системы алгебраических уравнений находят изображения искомых функций и при помощи обрат­ ного сопоставления - оригиналы, то есть искомые функции времени.

Операторный метод можно сравнить с логарифмированием, когда от чисел переходят к логарифмам,над логарифмами производят необходимые действия, соответствующие действиям над числами; наконец, по найденному логарифму, пользуясь

если можно взять интеграл. Для этого н'.тбходиѵо. чтобы подынтегральная функция затухяла

Интегрирование оригинала в пределах отнуля до соответствует делению изображения на оператор р .

C 2 . I I)

Изображение для неопределенного интеграла можно най­ ти, выражая его через определенный с нерѳиѳнныы верхним

fit)

ГИС,2.1.

6. Теорема запаздывания

Смещение оригинала л сторону положительных / на величину t„ соответствует умножению изображении на е~***

104

Ш=[f(t)e-ftdé.

8. Изображение прямоугольного импульса, джихель-

(рис. 2.2).

Ааалатнчѳское выражение такого импуіьса, представ­

ленного s вида двух единичных функций, будет

Аналогично, изобразимте комплекса синусоидального

Тогда f ( t ) * f y ) . £ - - J -

10. Изображение синусоидальной функции

В приложении даны таблица основных свойств преобра­ зований Лапласа (приложение I ) и таблица оригиналов

и изображений по Лапласу (приложение П).

§ 4. Зависимость между операторными функциями,

изображающими токи и напряжения для основ­

ных ВЯОМѲНТОВ цепи

а) Активное сопротивление

-изображающие соответственно ток

вактивном сопротивлении и напряжение на его зажимах.

—4ZZ3—

. t№~

«г

Рис. 2.3,а

Коэффициент пропорциональности между операторным напряжением и операторным током называется операторным сопротивлением: Zr(P) * Г ( 2 . 2 4 ) .

На основании (2.23) можно нарисовать операторную схему замещения активного сопротивления (рис, 2.3,6).

6\

Рис. 2.3,6

Рис. 2.4,а

б) Иажуктивнооть

ІОР